Что такое идеальный газ какими свойствами он обладает

Математическая модель, которая приближает поведение реальных газов

идеальный газ является теоретическим газ , состоящий из множества беспорядочно движущихся точечных частиц , которые не подвергаются межчастичным взаимодействиям . Концепция идеального газа полезна, потому что она подчиняется закону идеального газа , упрощенному уравнению состояния и поддается анализу с помощью статистической механики .

в большинстве обычных условий (например, при стандартной температуре и давлении ) большинство реальных газов качественно ведут себя как идеальный газ. Многие газы, такие как азот , кислород , водород , благородные газы , и некоторые более тяжелые газы, такие как двуокись углерода с ними можно обращаться как с идеальными газами в разумных пределах. Обычно газ ведет себя больше как идеальный газ при более высокой температуре и более низком давлении , поскольку потенциальная энергия из-за межмолекулярных сил становится менее значительной по сравнению с частицами. ‘кинетическая энергия , и размер молекул становится менее значительным по сравнению с пустым пространством между ними. Один моль идеального газа имеет емкость 22,7 · 10947 (13) литров при стандартной температуре и давлении (температура 273,15 K и абсолютное давление ровно 10 Па ), как определено IUPAC с 1982 года.

Модель идеального газа имеет тенденцию терпеть неудачу при более низких температурах или более высоких давлениях, когда межмолекулярная силы и размер молекул становятся важными. Он также не подходит для большинства тяжелых газов, таких как многие хладагенты , и для газов с сильными межмолекулярными силами, особенно для водяного пара . При высоких давлениях объем реального газа часто значительно превышает объем идеального газа. При низких температурах давление реального газа часто значительно меньше, чем у идеального газа. В некоторой точке низкой температуры и высокого давления реальные газы претерпевают фазовый переход , например, в жидкость или твердое тело . Однако модель идеального газа не описывает и не допускает фазовых переходов. Они должны моделироваться более сложными уравнениями состояния. Отклонение от поведения идеального газа можно описать безразмерной величиной , коэффициентом сжимаемости , Z.

Модель идеального газа была исследована как в Ньютоновская динамика (как в «кинетической теории ») и в квантовой механике (как «газ в коробке »). Модель идеального газа также использовалась для моделирования поведения электронов в металле (в модели Друде и модели свободных электронов ), и это одна из наиболее важных моделей. в статистической механике.

Если давление идеального газа снижается в процессе дросселирования , температура газа не изменяется. (Если давление реального газа снижается в процессе дросселирования, его температура либо падает, либо повышается, в зависимости от того, является ли его коэффициент Джоуля – Томсона положительным или отрицательным.)

Типы идеального газа

Существует три основных класса идеального газа:

• классический или идеальный газ Максвелла – Больцмана ,
• идеальный квант Бозе-газ , состоящий из бозонов , и
• идеальный квантовый ферми-газ , состоящий из фермионов .

Классический идеальный газ может быть разделены на два типа: классический термодинамический идеальный газ и идеальный квантовый болт. zmann газ. Оба по существу одинаковы, за исключением того, что классический термодинамический идеальный газ основан на классической статистической механике , а некоторые термодинамические параметры, такие как энтропия , указаны только с точностью до неопределенной аддитивной константы. Идеальный квантовый газ Больцмана преодолевает это ограничение, принимая предел квантового бозе-газа и квантового ферми-газа в пределе высокой температуры для определения этих аддитивных констант. Поведение квантового газа Больцмана такое же, как у классического идеального газа, за исключением указания этих констант. Результаты квантового газа Больцмана используются в ряде случаев, включая уравнение Сакура – ​​Тетроде для энтропии идеального газа и уравнение ионизации Саха для слабоионизованного плазма .

Классический термодинамический идеальный газ

Классические термодинамические свойства идеального газа могут быть описаны двумя уравнениями состояния :

Закон идеального газа

идеальный газ law – это уравнение состояния идеального газа, определяемое по формуле:

где

• P – давление
• V – объем
• n – количество вещества в газе (в молях )
• R – газовая постоянная (0,08206 L·атм ·K·моль )
• T – ab температура растворенного вещества .

Закон идеального газа является расширением экспериментально обнаруженных газовых законов . Это также может быть получено из микроскопических соображений.

Реальные жидкости при низкой плотности и высокой температуре приближаются к поведению классического идеального газа. Однако при более низких температурах или более высокой плотности реальная текучая среда сильно отличается от поведения идеального газа, особенно когда она конденсируется из газа в жидкость или когда откладывается из газ в твердое тело. Это отклонение выражается как коэффициент сжимаемости .

Это уравнение получено из

После объединения трех законов мы получаем

V ∝ n TP { displaystyle V propto { frac {nT} {P}}}

То есть:

V = R (n TP) { displaystyle V = R left ({ frac {nT} {P}} right)} PV = n RT { displaystyle PV = nRT} .

Внутренняя энергия

Другое уравнение состояния идеального газа должен выражать второй закон Джоуля , согласно которому внутренняя энергия фиксированной массы идеального газа является функцией только его температуры. Для настоящих целей удобно постулировать примерную версию этого закона, написав:

U = c ^ V n RT { displaystyle U = { hat {c}} _ {V} nRT}

где

• U – это внутренняя энергия
• ĉV- безразмерная удельная теплоемкость при постоянном объеме, приблизительно 3/2 для одноатомного газа , 5/2 для двухатомный газ и 3 для нелинейных молекул, если не учитывать квантовый колебательный вклад. Эти формулы являются результатом применения классической теоремы о равнораспределении .

То, что U для идеального газа зависит только от температуры, является следствием закона идеального газа, хотя в общем случае ĉ V зависит от температура и интеграл необходимы для вычисления U.

Микроскопическая модель

Чтобы переключиться с макроскопических величин (левая часть следующего уравнения) на микроскопические (правая часть), мы используйте

n R = N k B { displaystyle nR = Nk _ { mathrm {B}}}

, где

Распределение вероятностей частиц по скорость или энергия задаются распределением скорости Максвелла .

Модель идеального газа зависит от следующих предположений:

• Молекулы газа неразличимы, маленькие твердые сферы
• Все столкновения упругий, и все движения – трение ess (отсутствие потерь энергии при движении или столкновении)
• Применяются законы Ньютона
• Среднее расстояние между молекулами намного больше, чем размер самих молекул
• Молекулы постоянно движутся в случайных направлениях с распределением скоростей
• Между молекулами нет сил притяжения или отталкивания, кроме тех, которые определяют их точечные столкновения
• Единственные силы между молекулами газа и окружающей средой те, которые определяют точечные столкновения молекул со стенками
• В простейшем случае нет дальнодействующих сил между молекулами газа и окружающей средой.

Предположение о сферической форме частиц необходимо, чтобы не было разрешенных вращательных мод, в отличие от двухатомного газа. Следующие три предположения очень взаимосвязаны: молекулы твердые, столкновения упругие, межмолекулярные силы отсутствуют. Предположение, что пространство между частицами намного больше, чем сами частицы, имеет первостепенное значение и объясняет, почему приближение идеального газа не работает при высоких давлениях.

Теплоемкость

Безразмерная теплоемкость при постоянном объеме обычно определяется как

c ^ V = 1 n RT (∂ S ∂ T) V = 1 n р (∂ U ∂ T) V { displaystyle { hat {c}} _ {V} = { frac {1} {nR}} T left ({ frac { partial S} { partial T }} right) _ {V} = { frac {1} {nR}} left ({ frac { partial U} { partial T}} right) _ {V}}

где S это энтропия . Эта величина обычно является функцией температуры из-за межмолекулярных и внутримолекулярных сил, но для умеренных температур она приблизительно постоянна. В частности, теорема о равнораспределении предсказывает, что константа для одноатомного газа равна V = 3/2, а для двухатомного газа – V = 5 / 2, если пренебречь вибрациями (что часто является отличным приближением). Поскольку теплоемкость зависит от атомной или молекулярной природы газа, макроскопические измерения теплоемкости предоставляют полезную информацию о микроскопической структуре молекул.

Безразмерная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна:

c ^ P = 1 n RT (∂ S ∂ T) P = 1 n R (∂ H ∂ T) P = c ^ V + 1 { displaystyle { hat {c}} _ {P} = { frac {1} {nR}} T left ({ frac { partial S} { partial T}} right) _ {P} = { frac {1} {nR}} left ({ frac { partial H} { partial T}} right) _ {P} = { hat {c}} _ {V} +1}

, где H = U + PV – энтальпия газа.

Иногда проводят различие между идеальным газом, где ĉ V и ĉ P могут изменяться в зависимости от температуры, и идеальным газом , для которых это не так.

Отношение теплоемкости постоянного объема к постоянному давлению – это индекс адиабаты

γ = c P c V { displaystyle gamma = { frac {c_ {P}} {c_ {V}}}}

Для воздуха, который представляет собой смесь газов, это соотношение составляет 1,4.

Энтропия

Используя только результаты термодинамики , мы можем пройти долгий путь в определении выражения для энтропии идеального газа. Это важный шаг, поскольку, согласно теории термодинамических потенциалов , если мы можем выразить энтропию как функцию U (U – термодинамический потенциал), объема V и количества частиц N, то у нас будет полное изложение термодинамического поведения идеального газа. Мы сможем вывести как закон идеального газа, так и выражение для внутренней энергии.

Поскольку энтропия является точным дифференциалом , при использовании цепного правила изменение энтропии при переходе из эталонного состояния 0 в какое-либо другое состояние с энтропией S может записывается как ΔS, где:

Δ S = ∫ S 0 S d S = ∫ T 0 T (∂ S ∂ T) V d T + ∫ V 0 V (∂ S ∂ V) T d V { displaystyle Дельта S = int _ {S_ {0}} ^ {S} dS = int _ {T_ {0}} ^ {T} left ({ frac { partial S} { partial T}} right ) _ {V} ! DT + int _ {V_ {0}} ^ {V} left ({ frac { partial S} { partial V}} right) _ {T} ! DV}

, где опорные переменные могут быть функциями числа частиц N. Используя определение теплоемкости при постоянном объеме для первого дифференциала и соответствующее соотношение Максвелла для второго, получаем:

Δ S = ∫ T 0 TCVT d T + ∫ V 0 В (∂ P ∂ T) V d V. { displaystyle Delta S = int _ {T_ {0}} ^ {T} { frac {C_ {V}} {T}} , dT + int _ {V_ {0}} ^ {V} left ({ frac { partial P} { partial T}} right) _ {V} dV.}

Выражение C V через ĉ V как разработанное в предыдущем разделе, дифференцируя уравнение состояния идеального газа и интегрируя, получаем:

Δ S = c ^ VN k ln ⁡ (TT 0) + N k ln ⁡ (VV 0) { displaystyle Delta S = { hat {c}} _ {V} Nk ln left ({ frac {T} {T_ {0}}} right) + Nk ln left ({ frac {V} {V_ {0 }}} right)}

что означает, что энтропия может быть выражена как:

S = N k ln ⁡ (VT c ^ V f (N)) { displaystyle S = Nk ln left ( { frac {VT ^ {{ hat {c}} _ {V}}} {f (N)}} right)}

где все константы были включены в логарифм как f (N), который равен некоторая функция числа частиц N, имеющая те же размеры, что и VT, чтобы аргумент логарифма был безразмерным. Теперь мы накладываем ограничение на то, чтобы энтропия была обширной. Это будет означать, что когда обширные параметры (V и N) умножаются на константу, энтропия будет умножена на ту же константу. Математически:

S (T, a V, a N) = a S (T, V, N). { displaystyle S (T, aV, aN) = aS (T, V, N). ,}

Отсюда мы находим уравнение для функции f (N)

af (N) = f ( а N). { displaystyle af (N) = f (aN). ,}

Дифференцируя это по a, устанавливая a равным 1, а затем решая дифференциальное уравнение, получаем f (N):

f (N ) = Φ N { displaystyle f (N) = Phi N ,}

где Φ может различаться для разных газов, но не зависит от термодинамического состояния газа. Он будет иметь размеры VT / N. Подставляем в уравнение для энтропии:

S N k = ln ⁡ (V T c ^ V N Φ). { displaystyle { frac {S} {Nk}} = ln left ({ frac {VT ^ {{ hat {c}} _ {V}}} {N Phi}} right). ,}

и используя выражение для внутренней энергии идеального газа, энтропию можно записать:

SN k = ln ⁡ [VN (U c ^ V k N) c ^ V 1 Φ] { displaystyle { frac {S} {Nk}} = ln left [{ frac {V} {N}} , left ({ frac {U} {{ hat {c}} _ {V}) kN}} right) ^ {{ hat {c}} _ {V}} , { frac {1} { Phi}} right]}

Поскольку это выражение для энтропии в терминах U, V и N – это фундаментальное уравнение, из которого могут быть выведены все другие свойства идеального газа.

Это все, что мы можем зайти, используя только термодинамику. Обратите внимание, что приведенное выше уравнение является ошибочным – когда температура приближается к нулю, энтропия приближается к отрицательной бесконечности, что противоречит третьему закону термодинамики . В вышеупомянутом «идеальном» развитии есть критическая точка, а не абсолютный ноль, в которой аргумент логарифма становится единицей, а энтропия становится равной нулю. Это нефизично. Вышеприведенное уравнение является хорошим приближением только в том случае, если аргумент логарифма намного больше единицы – концепция идеального газа не работает при низких значениях V / N. Тем не менее, будет «наилучшее» значение константы в том смысле, что предсказанная энтропия как можно ближе к фактической энтропии, учитывая ошибочное предположение об идеальности. Квантово-механический вывод этой постоянной разработан при выводе уравнения Сакура – ​​Тетрода , которое выражает энтропию одноатомного (V = 3/2) идеального газа. В теории Сакура – ​​Тетрода постоянная зависит только от массы газовой частицы. Уравнение Сакура – ​​Тетрода также страдает от расходящейся энтропии при абсолютном нуле, но является хорошим приближением для энтропии одноатомного идеального газа при достаточно высоких температурах.

Альтернативный способ выражения изменения энтропии:

Δ SN kc ^ V = ln ⁡ (PP 0) + γ ln ⁡ (VV 0) = ln ⁡ (PV γ P 0 V 0 γ ) ⟹ PV γ = const. для изоэнтропического процесса { displaystyle { frac { Delta S} {Nk { hat {c}} _ {V}}} = ln left ({ frac {P} {P_ {0}}} right ) + gamma ln left ({ frac {V} {V_ {0}}} right) = ln left ({ frac {PV ^ { gamma}} {P_ {0} V_ {0 } ^ { gamma}}} right) подразумевает PV ^ { gamma} = const. ; { text {для изоэнтропического процесса}}}

Термодинамические потенциалы

Выражение энтропии как функция T, V и N:

S k N = ln ⁡ (VT c ^ VN Φ) { displaystyle { frac {S} {kN}} = ln left ({ frac {VT ^ {{ hat {c}} _ {V}}} {N Phi}} right)}

химический потенциал идеального газа рассчитывается из соответствующего уравнения состояния (см. термодинамический потенциал ):

μ = (∂ G ∂ N) T, P { displaystyle mu = left ({ frac { partial G} { partial N}} right) _ {T, P}}

где G – свободная энергия Гиббса и равна U + PV – TS, так что:

μ (T, P) = k T (c ^ П – пер ⁡ (к T с ^ PP Φ)) { displaystyle mu (T, P) = kT left ({ hat {c}} _ {P} – ln left ({ frac {kT ^ {{ hat {c}} _ {P}}} {P Phi}} right) right)}

Химический потенциал обычно соотносится с потенциалом при некотором стандартном давлении P, так что μ o (T) = μ (T, P o) { displaystyle mu ^ {o} (T) = mu (T, P ^ {o})} :

μ (T, P) = μ o (T) + k T ln ⁡ (PP o) { displaystyle mu (T, P) = mu ^ {o } (T) + kT ln left ({ frac {P} {Po}} right)}

Для смеси (j = 1,2, …) идеальных газов, каждый при парциальном давлении P j , можно показать, что химический потенциал μ j будет задан приведенным выше выражением с заменой давления P на P j.

. Термодинамические потенциалы для идеального газа могут теперь можно записать как функции от T, V и N как:

где, как и раньше,

c ^ P = c ^ V + 1 { displaystyle { hat {c }} _ {P} = { hat {c}} _ {V} +1} .

Наиболее информативный способ записи потенциалов – в терминах их естественных переменных, поскольку каждое из этих уравнений может использоваться для вывода все остальные термодинамические переменные системы. В терминах естественных переменных термодинамические потенциалы однокомпонентного идеального газа равны:

U (S, V, N) = c ^ VN k (N Φ V e S / N k) 1 / c ^ V { Displaystyle U (S, V, N) = { hat {c}} _ {V} Nk left ({ frac {N Phi} {V}} , e ^ {S / Nk} right ) ^ {1 / { hat {c}} _ {V}}} A (T, V, N) = N k T (c ^ V – ln ⁡ (VT c ^ VN Φ)) { стиль отображения A (T, V, N) = NkT left ({ hat {c}} _ {V} – ln left ({ frac {VT ^ {{ hat {c}} _ {V}}) } {N Phi}} right) right)} H (S, P, N) = c ^ PN k (P Φ ke S / N k) 1 / c ^ P { displaystyle H (S , P, N) = { hat {c}} _ {P} Nk left ({ frac {P Phi} {k}} , e ^ {S / Nk} right) ^ {1 / { hat {c}} _ {P}}} G (T, P, N) = N k T (c ^ P – ln ⁡ (k T c ^ PP Φ)) { displaystyle G (T, P, N) = NkT left ({ hat {c}} _ {P} – ln left ({ frac {kT ^ {{ hat {c}} _ {P}}} {P Phi }} right) right)}

В статистической механике связь между свободной энергией Гельмгольца и статистической суммой является фундаментальной и используется для расчета термодинамических свойств иметь значение; см. интеграл конфигурации для получения более подробной информации.

Скорость звука

Скорость звука в идеальном газе дается формулой Ньютона-Лапласа:

c sound = K s ρ = (∂ П ∂ ρ) s, { displaystyle c _ { text {sound}} = { sqrt { frac {K_ {s}} { rho}}} = { sqrt { left ({ frac { partial P} { partial rho}} right) _ {s}}},}

где изэнтропический объемный модуль K s = ρ (∂ P ∂ ρ) s { displaystyle K_ {s} = rho left ({ frac { partial P} { partial rho}} right) _ {s}} .

Для изэнтропического процесса идеального газа PV γ знак равно const ⇒ п ∝ (1 V) γ ∝ ρ γ { displaystyle PV ^ { gamma} = const Rightarrow P propto left ({ frac {1} {V}} right) ^ { gamma } propto rho ^ { gamma}} , поэтому

c звук = (∂ P ∂ ρ) s = γ P ρ = γ RTM { displaystyle c _ { text {sound}} = { sqrt { left ({ frac { partial P} { partial rho}} right) _ {s}}} = { sqrt { frac { gamma P} { rho}}} = { sqrt { frac { gamma RT} {M}}}}

Здесь

γ – это индекс адиабаты, (ĉP/ĉV)s – энтропия на частицу газ. ρ – это массовая плотность газа. P – давление газа. R – универсальная газовая постоянная T – температура M – молярная масса газа.

Таблица уравнений идеального газа

Идеальные квантовые газы

В вышеупомянутого уравнения Сакура – ​​Тетрода , лучший выбор константы энтропии оказался пропорционален квантовой тепловой длине волны частицы, и точке, в которой аргумент логарифм становится равным нулю, примерно равен точке, в которой среднее расстояние между частицами становится равным тепловой длине волны. Фактически, сама квантовая теория предсказывает то же самое. Любой газ ведет себя как идеальный газ при достаточно высокой температуре и достаточно низкой плотности, но в момент, когда уравнение Сакура – ​​Тетрода начинает разрушаться, газ начинает вести себя как квантовый газ, состоящий из бозонов или фермионы . (См. Статью о газе в рамке для получения информации об идеальных квантовых газах, включая идеальный газ Больцмана.)

Газы, как правило, ведут себя как идеальный газ в более широком диапазоне давлений. когда температура достигает температуры Бойля .

Идеальный газ Больцмана

Идеальный газ Больцмана дает те же результаты, что и классический термодинамический газ, но делает следующую идентификацию для неопределенной постоянной Φ:

Φ = T 3 2 Λ 3 g { displaystyle Phi = { frac {T ^ { frac {3} {2}} Lambda ^ {3}} {g}}}

где Λ – тепловая длина волны де Бройля газа, а g – вырождение состояний.

Идеальные бозе- и ферми-газы

Идеальным газом бозонов (например, фотонным газом ) будет управлять Бозе-Эйнштейн статистика , а распределение энергии будет в форме распределения Бозе – Эйнштейна . Идеальный газ фермионов будет определяться статистикой Ферми – Дирака , а распределение энергии будет иметь форму распределения Ферми – Дирака .

См. Также

• Коэффициент сжимаемости – Поправочный коэффициент, который описывает отклонение реального газа от поведения идеального газа
• Динамический бильярд – Динамическая система абстрагируется от идеальной игры в бильярд с упругими столкновениями за пределами границ – бильярдные шары как модель идеального газа
• Таблица термодинамических уравнений
• Безмасштабный идеальный газ

Ссылки

ПримечанияСсылки