Что такое кривые безразличия и какими свойствами они обладают

Вышеназванные аксиомы (1-6) позволяют описать потребительские предпочтения с помощью непрерывной функции полезности, так как ставят в соответствие каждому набору «А» некоторое значение полезности U (А). Таким образом,“U(A)>U(B)” это то же самое, что ” А>В”. Кривые безразличия тогда представлены линией, на которой все наборы Х характеризуются тем, что U(X)= const.

Какие именно значения полезности присваиваются каждой кривой безразличия, не играет роли; необходимо только, чтобы более предпочтительному набору благ соответствовало большее число. Следовательно, мы рассматриваем порядковую функцию полезности U, которая позволяет осуществлять монотонные преобразования.

Как правило, любое положительное преобразование является монотонной трансформацией. Например: умножение функции полезности на положительное число; сложение;прибавление (вычитание) постоянной; возведение в нечетную степень для всех значений функции полезности и возведение в четную степень для положительных значений функции полезности; логарифмирование, извлечение корня и т.д.

В результате подобных преобразований новая функции полезности будет представлять те же предпочтения, что и исходная функция полезности.

Сделанные выше предположения о свойствах предпочтений становятся свойствами функции полезности, описывающей эти предпочтения.

Аксиома ненасыщения (4) определяет следующие свойства функции полезности:

1. полезность должна расти и по товару X, и по товару Y’,

2. кривые безразличия, выступающие как линии уровня функции полезности, имеют отрицательный наклон.

(Аксиома выпуклости кривой безразличия к началу координат (6) при увязывании с функцией полезности, сначала требует рассмотрения третьего и четвертого свойства функции полезности).

3. Предельная полезность (MUх), характеризующая изменение полезности при малом изменении потребления одного блага: MUх (Хo)= dU/ dX в точке Хо, является важной характеристикой функции полезности. Но MUх – есть первая производная функции полезности, поэтому она характеризует наклон непрерывной функции U в данной точке. Убывание MUх выражает неизменность полезности при малом изменении потребления блага X. Из этого следует, что, при росте потребления Х и при неизменном потреблении Y полезность растет убывающим темпом.

4. При движении вдоль кривой безразличия предельная норма замещения благом Х блага Y (MRSxy), выражающая наклон кривой безразличия, взятый с обратным знаком, равна отношению предельных полезностей двух благ MRSxy =-dY/dX= MUх/MUy. Таким образом, с помощью функции полезности можно измерить MRSxy, которая выражает субъективную предельную готовность индивида заплатить за дополнительную единицу блага Х некоторым количеством блага Y, если считать данное количество блага Y, отдаваемое за одну дополнительную единицу блага X, реальной мерой полезности, получаемой от блага X. (Примем следующий порядок в обозначениях: в MRSxy на первом месте пишем значок того блага, которым заменяем, т.е. Х, а на втором –то благо, от которого отказывается, т.еY).

5. Рассмотрение третьего и четвертого свойства функции полезности позволяет объяснить выпуклость кривых безразличия к началу координат убыванием предельной полезности блага Х (MU х) при росте предельной полезности блага Y (MUy) по мере замены потребления товара Y на товар Х.

Виды кривых безразличия

1. Кривые безразличия нормального (традиционного) вида (рис.2.3).

Кривые безразличия нормального (традиционного) вида могут быть представлены функцией полезности Кобба-Дугласа U(X, Y)= (Xa, Yb),где Х и Y – количество товаров, a и b– положительные параметры.

Пример. Картофель и мясо; одежда и продукты питания и т.п.

Предельная норма замещения в точке оптимального выбора равна отношению предельной полезности блага Х предельной к полезности блага Y, т.е. MRSxy=МUx/MUy. Предельная полезность товара является частной производной функции полезности по отношению к объему данного блага , поэтому предельная полезность по благу Х будет:

МUx=dU/ dX= aXa-1 Yb,

а по благу Y:

МUy=dU/ dY= bXaYb-1, т.е. MRSxy= МUx/MUy= aY/bX,

Предпочтения нормального вида являются гомотетичными, т.е. предельная норма замещения зависит только от соотношения благ в наборе (aY/bX), а не от абсолютной величины объемов благ. Если потребитель предпочитает набор (X1, Y1) набору (X2,Y2;), то дня любого а> 0 он предпочтет набор (аX1, аY1) набору (аХ2, аY2). Поэтому кривые безразличия как бы параллельны друг другу, и это дает возможность на основании исследования одной кривой делать вывод о поведении потребителя в целом.

Для гомотетичных функций полезности MRSxy одинакова в каждой точке вдоль проходящего через начало координат луча с положительным наклоном, т.е. все кривые безразличия имеют в точке пересечения с таким лучом одинаковый наклон.

2. Кривые безразличия для взаимозаменяемых товаров (совершенных субститутов).

Функцию полезности для совершенных субститутов можно записать как U(X,Y)=aX+bY, где а > 0 и b>0 , параметры.MRSxy = k, где k – константа. Если одна единица блага меняется на единицу другого блага, то MRSxy =1(рис.2.4).

Примеры: кока-кола и сок, мороженое и пирожное, молоко и кефир и т.д.

Угол наклона кривых безразличия не всегда равен -1. Он зависит от степени заменяемости благ. Например, набор благ, состоящий из пакета кефира и двух йогуртов, дает угол наклона -1/2. В общем случае угол наклона определяется как -а/b.

3.Кривые безразличия для взаимодополняемых благ (совершенных комплементов).

Функцию полезности для совершенных комплементов (рис.2.5) можно представить как U(X,Y)=min{X,Y}, MRSxy=0 если товары дополняют друг друга в потреблении, то заменить один другим невозможно)

Примеры: компьютер и программное обеспечение, видеокамера и кассета к ней, монитор и процессор, инсулин и шприц, телевизор и антенна т.п.

Угловая точка определяется как минимальное отношение параметров объемов благ, соответствующих предпочтениям потребителя. Например, если вы предпочитаете пить только одну чашечку кофе только с одной ложечкой сахара, и для вас это лучшее решение, то вторая ложка сахара или вторая чашка кофе вам будут не нужны.

4. Кривые безразличия для независимых (безразличных) благ, или строгое предпочтение (рис.2.6).

Функцию полезности для набора (X,Y) c предпочитаемым благом Х и с безразличным благом Y можно представить в виде U(X, Y)= U(Y), U(X)=0

Пример. Сок и спиртные напитки, если потребитель любит сок и никогда не пьет ничего спиртного.

5. Благо и антиблаго

Функцию полезности для набора (X.Y) с благом Х можно и антиблагом Y можно представить в виде U(X,Y)=aX-bY, где X- благо, Y- антиблаго; а > 0 и b>0 , параметры.

Кривые безразличия для наборов, включающих благо и антиблаго, имеют положительный наклон (рис. 2.7). Потеря полезности от увеличения потребления антиблага Y должна компенсироваться приростом полезности от увеличения потребления блага Х . Большая полезность соответствует тем кривым безразличия, которые расположены ближе к оси ОХ, т.е. U3>U2>U1>U0 (меньше антиблага Y при том же количестве блага Х), Графически определить, благом или антиблагом является товар, можно, лишь обозначив направление изменения совокупной полезности. На рис. 1.7. полезность потребителя возрастает при увеличении объема блага Х и сокращении объема блага Y (см. направление стрелок на графике).

Поскольку предельная полезность антиблага отрицательна, то предельная норма замены также будет отрицательной. MRSxy<0,

Итак, увеличение объема антиблага в товарном наборе потребителя не приведет к изменению совокупной полезности набора только в том случае, если объем блага возрастет еще больше, чтобы компенсировать отрицательную полезность антиблага.

6. Несовместимые товары

Эти товары лучше не потреблять вместе (рис.2.8). Пример: молоко и свежие огурцы, коньяк и селедка и т.д.

Функцию полезности для набора (X.Y) можно представить в виде U(X,Y)=X2+Y2

7. Квазилинейные предпочтения.

Функцию полезности для набора (X.Y)можно представить как U(X, Y)= V(X)+ Y , где V(X) – нелинейная часть функции полезности, Y -линейная часть функции полезности (рис.2.9)

При квазилинейных предпочтениях каждая кривая безразличия фактически есть вертикально смещенный вариант одной и той же кривой безразличия. Квазилинейная, или «частично линейная» функция полезности линейная по Y, но, возможно, нелинейная по X. Линейная часть представляет собой товар, потребляемый в относительно больших количествах в сравнении с нелинейным товаром, потребление которого практически не изменяется или изменяется сравнительно незначительно при росте второго товара.

Пример. Одного маркера хватает на подготовку большого количества слайдов для проектора.

8. Лексикографические предпочтения

Особенность лексикографических предпочтений – в невозможности быть представленными непрерывными кривыми безразличия (2.10).

Это ранжирование предпочтений названо лексикографическим из-за сходства с порядком слов в словаре: буква А всегда предшествует букве Б. Но если оба слова начинаются с А, то они располагаются уже с учетом того, какая буква следует за А. Здесь же в роли букв выступают товары.

Для лексикографических предпочтений предельная норма замещения не определяется, поскольку из-за особенностей построения наборов благ данного вида невозможно вывести функцию полезности и рассчитать предельные полезности товаров.

Пример. Вы предпочитаете набор, в котором есть скатерть, независимо от того, есть ли в нем салфетки. Но если в набор входит и скатерть и салфетки, то он будет предпочитаться, только если будет включать больше салфеток. Опишем то же самое ранжирование предпочтений более формализовано. Пусть потребительский набор состоит из двух товаров – Х и Y. Тогда предпочтения потребителя таковы, что если имеется два набора A=(Х1,Y1) и B=(X2,Y2) , то:

а) Х1>Х2 ,подразумевает, что А f В,

б) X1 =Х2: и Y1 > Y2 подразумевают, что А f В.

Потребитель всегда предпочитает набор, в котором больше Х, независимо от количества Y; и только если оба набора содержат одинаковое количество Х, количество Y приобретает значение 1. На рис. 2.10. наборы, принадлежащие области V, включая и наборы, обозначенные точками на жирной линии выше набора А, предпочитаются А, поскольку наборы справа от А содержат больше товара X, а наборы на указанной линии содержат столько же Х и больше Y. В области W, включая тонкую линию вниз от А, располагаются наборы, которым предпочитается набор А (поскольку наборы слева от А содержат меньше X, а наборы на тонкой линии – столько же X, но меньше Y). Но если все наборы области V предпочитаются набору А, а набор А предпочитается всем наборам области W, то не может существовать наборов, между которыми и набором А потребитель не делает различия. Это означает, что множество “безразличных” потребителю наборов представлено единственным набором А. Данное рассуждение поясняет нам, почему лексикографические предпочтения не могут быть описаны непрерывными кривыми безразличия.

9. Дискретные (неделимые) блага

Функцию полезности для набора (X.Y) можно представить в виде:

U= f(X,Y) , X N (рис. 2.11).

Пример. Домашний кинотеатр и все остальные товары.

10.Набор с точкой насыщения

Функцию полезности для набора (X.Y) можно представить в виде

U=Z- (Х- Х)2+(Y- Y)2, где Х и Y – потребляемые товары, Х и Y – точки насыщения, т.е. объемы благ Х и Y, которые насыщают потребителя. Z –максимальная полезность набора насыщения (рис.2.12).

Пример. Если потребителю для «полного счастья» необходимо выпить ровно 1л кока колы и съесть 5 пирожных.