Что такое квадратный корень и какие у него свойства

Квадра́тный ко́рень из числа (корень 2-й степени) — число , дающее при возведении в квадрат[1]: Равносильное определение: квадратный корень из числа — решение уравнения Операция вычисления значения корня из числа называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Наиболее часто под и подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения [⇨] для комплексных чисел и других математических объектов, например матриц и операторов.

У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются и у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при всегда неотрицательно (а на положительных — положительно); арифметический корень из числа обозначается с помощью знака корня (радикала)[2][3]: .

Пример для вещественных чисел: потому что

Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус[2]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения :

Рациональные числа[править | править код]

При рациональных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном , разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа , представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от [4][5]. Верно и то, что любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные (вещественные) числа[править | править код]

Теорема. Для любого положительного числа существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку[6].

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала[3].

Комплексные числа[править | править код]

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:

(что, конечно, неверно)

Ошибка возникла из-за того, что неарифметический квадратный корень является многозначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

то (см. Формула Муавра)

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из ; оба значения корня имеют вид где:

Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением в квадрат[7].

Пример: для квадратного корня из формулы дают два значения:

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции с . Арифметический квадратный корень является гладким при , в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.[8]

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

Квадратный корень в элементарной геометрии[править | править код]

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того.
[9]

Квадратный корень в информатике[править | править код]

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня[править | править код]

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора[править | править код]

при .

Грубая оценка[править | править код]

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем
Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

В частности, если , а , то
[10]

Итерационный аналитический алгоритм[править | править код]

Последовательные приближения рассчитываются по формуле:

тогда

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для взять начальное приближение то получим:

В заключительном значении верны все приведённые цифры, кроме последней.

Столбиком[править | править код]

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

Записать число N (в примере — 69696) на листке.
Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Обобщения[править | править код]

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц[11], функций[12], операторов[13] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

См. также[править | править код]

Быстрый инверсный квадратный корень
Вложенные радикалы
День квадратного корня
Итерационная формула Герона
Квадратное уравнение
Корень (математика)
Кубический корень
Теорема Абеля — Руффини

Примечания[править | править код]

↑ Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
↑ 1 2 Элементарная математика, 1976, с. 49.
↑ 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1970, с. 33.
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
↑ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3.
↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.

Литература[править | править код]

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — 720 с.

Ссылки[править | править код]

Алгоритмы вычисления квадратного корня
A geometric view of the square root algorithm
Соловьев Ю., Старый алгоритм

Источник

Зачем нужен квадратный корень? Очень хороший вопрос…

Попробуй на калькуляторе извлечь корень из ( displaystyle 3).

Получается число, которое никогда не кончается: ( sqrt{3}=1,732050807568ldots )

Как же такое число запомнить? А как его записать, если, допустим, нельзя округлять? Например на ЕГЭ?

Очень просто. С помощью квадратного корня. Пишешь ( sqrt{3} ) и все.

Именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня. К слову такие числа называются иррациональными.

Ну и давай теперь разберемся с квадратным корнем…

К примеру, перед нами уравнение ( {{x}^{2}}=4 ).

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ( 4 )?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ, что есть два таких числа: ( 2 ) и ( -2 ).

Квадратный корень – это решение такого уравнения!

Дадим первое определение квадратного корня:

Квадратный корень из числа ( a ) — это решение уравнения ( {{x}^{2}}=a ).

Операция вычисления значения корня из числа ( a ) называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

У квадратного корня есть специальный символ: ( sqrt{ } ), который называется радикалом.

Но есть еще одно равнозначное определение квадратного корня. Сейчас мы его тоже приведем.

Что такое арифметический квадратный корень?

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). ( (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))?

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа ( a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ( a)».

Но подождите! В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом!

Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему “Модуль числа”!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки “плюс-минус” являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Наглядный пример разницы между квадратным уравнением и квадратным корнем

Этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это:

Пусть есть две ситуации:

1) ( x^2=64;)

2) ( x= sqrt{64}.)

В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет ( |х| =sqrt{64}) (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня ( x_1 = +8text{ и }х_2 = -8.)

Во втором случае у нас нет квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда “одно неотрицательное число”, то есть 8.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)?

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Еще один пример для закрепления

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной ( displaystyle 1) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: ( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}).

Таким образом, ( {{c}^{2}}=1+1=2).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что ( c=sqrt{2}). Корень из двух приблизительно равен ( displaystyle 1,41), но, как мы заметили раньше, ( c=sqrt{2}) – уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 20), а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что ( displaystyle 15) в квадрате равно ( displaystyle 225), а также, наоборот, что ( displaystyle 225) – это ( displaystyle 15) в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

1
( sqrt{0}=?);
2
( sqrt{64}=?);
3
( sqrt{121}=?);
4
( sqrt{289}=?);

Ответы:

1
( displaystyle 0);
2
( displaystyle 8);
3
( displaystyle 11);
4
( displaystyle 17);

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

1
( sqrt{0,0196}=?);
2
( sqrt{0,0961}=?);
3
( sqrt{0,0144}=?).

Ответы:

1
( displaystyle 0,14);
2
( displaystyle 0,31);
3
( displaystyle 0,12);

Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

умножение;
деление;
возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

СВОЙСТВО	ПРИМЕР
Корень произведения равен произведению корней: ( displaystyle sqrt[{}]{ab}=sqrt[{}]{a}cdot sqrt[{}]{b})	( displaystyle sqrt[{}]{64cdot 9}=sqrt[{}]{64}cdot sqrt[{}]{9}=8cdot 3=24)
Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя: ( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b > 0)	( displaystyle sqrt[{}]{frac{64}{9}}=frac{sqrt[{}]{64}}{sqrt[{}]{9}}=frac{8}{3}=2frac{2}{3})
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: ( displaystyle {{left( sqrt{a} right)}^{n}}={{left( sqrt{{{a}^{n}}} right)}^{{}}}), при ( displaystyle age 0)	( displaystyle {{left( sqrt{2} right)}^{4}}=sqrt{{{2}^{4}}}=sqrt{16}=4)

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

1
( sqrt{5}cdot sqrt{3}=sqrt{15})
2
( sqrt{2}cdot sqrt{6}=sqrt{12})

Минуууточку. ( 12) это ( displaystyle 4cdot 3), а это значит, что мы можем записать вот так:

( sqrt{2}cdot sqrt{6}=sqrt{12}=sqrt{4cdot 3}=sqrt{4}cdot sqrt{3}=2sqrt{3})

Усвоил? Вот тебе следующий:

( displaystyle sqrt{4}cdot sqrt{6}=2cdot sqrt{6}=2sqrt{6})

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

( displaystyle sqrt{2}cdot sqrt{8}=sqrt{16}=4)

( displaystyle sqrt{12}cdot sqrt{3}=sqrt{36}=6)

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

( displaystyle sqrt{5}cdot sqrt{3}cdot sqrt{2}=sqrt{10cdot 3}=sqrt30)

Теперь полностью самостоятельно:

1
( displaystyle sqrt{4}cdot sqrt{6}cdot sqrt{5})
2
( displaystyle sqrt{3}cdot sqrt{6}cdot sqrt{7})
3
( displaystyle sqrt{32}cdot sqrt{2})

Ответы:

1
( displaystyle sqrt{4}cdot sqrt{6}cdot sqrt{5}=sqrt{4cdot 6cdot 5}=sqrt{120}=sqrt{4cdot 30}=2sqrt{30});
2
( displaystyle sqrt{3}cdot sqrt{6}cdot sqrt{7}=sqrt{3cdot 6cdot 7}=sqrt{126});
3
( displaystyle sqrt{32}cdot sqrt{2}=sqrt{32cdot 2}=sqrt{64}=8).

Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, чтокорень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

( displaystyle {{left( sqrt{12} right)}^{2}}=12)

( displaystyle {{left( sqrt{17} right)}^{2}}=17)

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

( displaystyle sqrt{{{3}^{6}}}=sqrt{{{left( {{3}^{3}} right)}^{2}}}={{3}^{3}}=27)

( displaystyle sqrt{{{3}^{5}}}=sqrt{{{3}^{4}}cdot 3}=sqrt{{{left( {{3}^{2}} right)}^{2}}cdot 3}={{3}^{2}}cdot sqrt{3}=9sqrt{3})

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

1
( displaystyle sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
2
( displaystyle sqrt{{{6}^{6}}})
3
( displaystyle {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

1
( displaystyle sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}}=sqrt{9}=3)
2
( displaystyle sqrt{{{6}^{6}}}=sqrt{{{left( {{6}^{3}} right)}^{2}}}={{6}^{3}}=216)
3
( displaystyle {{left( sqrt{8} right)}^{7}}={{left( sqrt{8} right)}^{6}}cdot sqrt{8}=512sqrt{8})

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко!

( displaystyle 4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Допустим, у нас записано число ( displaystyle 3sqrt{5})

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из ( displaystyle 9)!

( displaystyle 3sqrt{5}=sqrt{9}cdot sqrt{5}=sqrt{45})

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

( displaystyle 3sqrt{10}-sqrt{45}cdot sqrt{2}=sqrt{90}-sqrt{90}=0)

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример – ( displaystyle 4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8})
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

( displaystyle 4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: ( displaystyle 3sqrt{7}) или ( displaystyle 2sqrt{17})?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

( displaystyle 3sqrt{7}=sqrt{9cdot 7}=sqrt{63})

( displaystyle 2sqrt{17}=sqrt{4cdot 17}=sqrt{68})

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если ( displaystyle 68>63), значит, ( displaystyle sqrt{68}>sqrt{63}).

Отсюда твердо делаем вывод, что ( displaystyle 3sqrt{7}<2sqrt{17}). И никто не убедит нас в обратном!

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle 90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Ну что, начнем раскладывать ( displaystyle 4225) на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на ( displaystyle 5) (вспоминаем признаки делимости):

( displaystyle begin{array}{l}sqrt{4225}=sqrt{845cdot 5}=sqrt{169cdot 5cdot 5}=\=sqrt{13cdot 13cdot 5cdot 5}=5cdot 13=65end{array})

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

( displaystyle sqrt{2304}=?)

Ну что, получилось ( displaystyle 48)? Молодец, все верно!

Определение

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа ( displaystyle a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ( displaystyle a).

Главное!

Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Свойства арифметического корня

СВОЙСТВО	ПРИМЕР
Корень произведения равен произведению корней: ( displaystyle sqrt[{}]{ab}=sqrt[{}]{a}cdot sqrt[{}]{b})	( displaystyle sqrt[{}]{64cdot 9}=sqrt[{}]{64}cdot sqrt[{}]{9}=8cdot 3=24)
Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя: ( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b > 0)	( displaystyle sqrt[{}]{frac{64}{9}}=frac{sqrt[{}]{64}}{sqrt[{}]{9}}=frac{8}{3}=2frac{2}{3})
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: ( displaystyle {{left( sqrt{a} right)}^{n}}={{left( sqrt{{{a}^{n}}} right)}^{{}}}), при ( displaystyle age 0)	( displaystyle {{left( sqrt{2} right)}^{4}}=sqrt{{{2}^{4}}}=sqrt{16}=4)

Сравнение корней

При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

P.S. Последний бесценный совет ????

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
понять тему с помощью статей учебника YouClever;
набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершен?