Что такое средняя линия трапеции каким свойством она обладает

Серединный отрезок

Трапеция — фигура (четырехугольник), что состоит из четырех сторон, две из которых лежат на параллельных прямых, а остальные нет. Параллельные — верхнее и нижнее основание, 2 другие имеют название боковых сторон. Из этого следует, что четырехугольник состоит из двух оснований.

Средняя линия — отрезок, который соединяет середины боков фигуры и обозначается буквой m. Интересно, что если в треугольнике таких отрезков можно провести 3, то в таком четырёхугольнике исключительно одну.

Свойство и формулы

Серединная линия равняется половине сумм длины двух оснований. Это определение является теоремой, доказательство и для того чтобы его сформулировать, необходимо обратить внимание на свойство срединного отрезка в треугольнике.

Средняя линия трапеции

Доказать теорему просто. Для этого в трапеции проводят серединный отрезок так, чтобы он опускался с верхней точки фигуры и пересекался с продленным нижним основанием. Такая линия делит четырёхугольник на два треугольника. Причем средняя линия фигуры также принадлежит треугольнику и выполняет те же функции. Она равна половине нижней стороны, которая состоит из двух отрезков, равных основаниям трапеции.

Свойство такого отрезка — в четырехугольнике он параллелен основаниям. Учитывая эти данные, их можно использовать как признак при решениях различных заданий для выявления этого понятия.

Формула для нахождения записывается так:

m = (a + b) / 2, где a, b — обозначение длины оснований.

Тригонометрия углов применима в формуле:

m = a — h (ctga +ctg b)/ 2;
m = b — h (ctga +ctg b)/ 2.

Как найти среднюю линию трапеции

Полусумма оснований трапеции вычисляется через диагонали и их угол пересечения и высоту. Итак, для этого находится:

m = d 1 d 2 /2 h * sina;
m = d 1 d 2 /2 h * sinb.

Углы а, b находятся при нижнем основании, а линия h является высотой, проведенной к этому отрезку.

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту записывается так:

m = S / h.

Кроме этого, такой отрезок делит фигуру на две части и имеет место соотношение их площадей, которое выражается в виде:

S 1 /S 2 =3a+b/a+3b, где основания a<b.

Все эти формулы используются для решения задач и доказывания определённых утверждений.

Примеры заданий

Серединный отрезок трапеции равен 15 дм, а одно из оснований на 6 дм длиннее от другого. Определить длину параллельных сторон в трапеции.

Чтобы найти нужные стороны, нужно припустить, что на одну приходится х дм, соответственно на другую — (х+6) дм. Учитывая свойство серединного отрезка в этой фигуре, следует, что m = a + b /2.

Средняя линия трапеции формула

m =2х+6/2=15, от сюда следует, что х=12 дм.

В результате a =12 дм, b =18 дм.

Следующее задание, где требуется искать стороны, что лежат на параллельных прямых. При этом дано их соотношения 4:7 средняя линия равна 55 дм.

Итак, пусть k — коэффициент пропорциональности, основания относятся как 4 k :7 k. Получается уравнение (4k +7k)/2=55. Отсюда следует, что k =10, то есть на нужные отрезки приходится по 40 и 70 дм.

Таким образом, средняя линия треугольника и трапеции имеет одинаковое свойство. Темы между собой очень похожи. Следовательно, средняя линия трапеции равна половине сумм двух оснований.

Источник

Привет!

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели!

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты! Будь уверен!

Приступим!

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°
( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ) и ( displaystyle angle 3+angle 4=180{}^circ )

Средняя линия трапеции (( displaystyle MN)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:

( displaystyle AM=MB, CN=ND).

Средняя линия параллельна основаниям: ( displaystyle MNparallel BCparallel AD).
Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: ( displaystyle MN=frac{BC+AD}{2}).

Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.

Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: ( displaystyle k=frac{BC}{AD}).
Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: ( displaystyle {{S}_{Delta AOB}}={{S}_{Delta COD}}).

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:

( displaystyle AB=CD).

Свойства равнобедренной трапеции:

диагонали равны: ( displaystyle AC=BD);
углы при основании равны: ( displaystyle angle A=angle D,text{ }angle B=angle C);
сумма противолежащих углов равна ( displaystyle 180{}^circ ): ( displaystyle angle A+angle C=angle B+angle D=180{}^circ ).

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: ( displaystyle A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=ADcdot BC+A{{B}^{2}}).

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: ( displaystyle {{S}_{ABCD}}=frac{BC+AD}{2}cdot h).

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

НЕ ПРОПУСТИ!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ) и ( displaystyle angle 3+angle 4=180{}^circ ))

Почему так?

Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что ( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle 2) – внутренние односторонние углы при параллельных ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) и секущей ( displaystyle AB).

Поэтому ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ).

И точно так же ( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle 4) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC), но секущая теперь – ( displaystyle CD).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Снова порассуждаем об углах:

Опять ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) – параллельные, а диагональ ( displaystyle AC) – секущая. Поэтому ( displaystyle angle 1=angle 2).

А теперь рассмотрим сразу 2 диагонали и 4 угла:

( displaystyle angle 1=angle 2)

( displaystyle angle 3=angle 4)

Что из этого может следовать?

Очень важный факт:

Треугольники ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: ( displaystyle K=frac{a}{b}).

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

( displaystyle m=frac{a+b}{2}), то есть:

Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований.

А ещё:

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь, во всяком случае), а вот запомнить хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция, – используй параллельность и всё получится!

НРАВИТСЯ УЧЕБНИК?

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

Почему? ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) – параллельны, а ( displaystyle AB) и ( displaystyle CD) – секущие, поэтому:

( angle 1+angle 2=180{}^circ );
( angle 3+angle 4=180{}^circ ).

Треугольники ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) подобны по двум углам.
(( displaystyle angle 1=angle 2) и ( displaystyle angle 3=angle 4) – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) равен отношению оснований:

( K=frac{a}{b})

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса “Подготовка к ЕГЭ с репетитором”

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём ( displaystyle CEparallel AB). Тогда четырехугольник ( displaystyle ABCE) – параллелограмм.

Возьмём середину ( displaystyle M) стороны ( displaystyle AB) и середину ( displaystyle K) стороны ( displaystyle CE).

Оба: ( displaystyle MBCK) и ( displaystyle AMKE) – снова параллелограммы (( displaystyle MBparallel CK) и ( displaystyle MB=CK); ( displaystyle AMparallel KE) и ( displaystyle AM=KE)).

Ну вот, значит ( displaystyle MKparallel AD), да ещё ( displaystyle MK=BC=a).

Поедем дальше.

Проведём ( displaystyle KN) – среднюю линию в ( displaystyle Delta ECD).

Знаем, что ( displaystyle KNparallel ED) и ( KN=frac{1}{2}ED)

Что же из всего этого следует?

( displaystyle MNparallel AD) (так как через точку ( displaystyle K) можно провести лишь одну прямую параллельную ( displaystyle AD), поэтому ( displaystyle MK) и ( displaystyle KN) – одна прямая ( displaystyle MN))
( displaystyle MN=MK+KN=a+frac{b-a}{2})
( displaystyle MN=frac{a+b}{2})

Вот и доказали!

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему?

Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:

( angle 1+angle 2=180{}^circ ) (трапеция же!)

( angle 3+angle 2=180{}^circ ) (вписанный четырехугольник)

( Rightarrow angle 1=angle 3). Ну, и так же ( angle 2=angle 4).

В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:

( displaystyle E) – точка пересечения продолжений боковых сторон;
( displaystyle F) и ( displaystyle H) – середины оснований;
( displaystyle G) – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком-нибудь четырехугольнике какие-нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой, то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.

( left{ begin{array}{l}angle 1+angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ -так, как, трапеция\angle 1=angle 2\angle 3=angle 4 -так, как, биссектрисаend{array} right.Rightarrow 2cdot angle 2+2cdot angle 3=180{}^circ Rightarrow )

( angle 2+angle 3=90{}^circ Rightarrow angle AEB =90{}^circ )

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями ( FH=frac{AD+BC}{2})

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на ЕГЭ!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проведём ( displaystyle BKparallel AC) и ( displaystyle BLparallel FH).

Обозначим ( displaystyle BC=text{ }a); ( displaystyle AD=b).

Тогда:

( displaystyle Delta KBD) – прямоугольный
( begin{array}{l}left{ begin{array}{l}LD=frac{b}{2}+frac{a}{2}=frac{a+b}{2}\LK=a+frac{b}{2}-frac{a}{2}=frac{a+b}{2}end{array} right.Rightarrow BL-медиана~в~ Delta KBD.\end{array})

Значит, ( BL=frac{KD}{2}) (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).

То есть ( BL=frac{a+b}{2}).

Но ведь ( displaystyle FH=BL) (так как ( displaystyle BFHL) – параллелограмм)( Rightarrow ) ( FH=frac{a+b}{2}).

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил.

Это статистика. Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе – иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.

Потому что их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук.

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс/мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:

Источник

17 января 2021

Средняя линия – это…
Как найти среднюю линию (формула)
Ее свойства
Вторая средняя линия

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Мы снова затронем тему трапеций (что это?).

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это…

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.

Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:

А вот так у треугольников:

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.

Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.

Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:

AE = EB и СF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.

Возьмем для примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.

В итоге получится вот что:

Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.

И это просто, так как у них одинаковы углы:

BLC и QLD – как вертикальные;
BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

DLQ = BLC

А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.

А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:

KL = 1/2AQ

Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

Она параллельна основаниям трапеции;
Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:
S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)
Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

В нашем случае, это отрезок KL.

Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:

Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам…

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Комментарии и отзывы (2)

Очень здорово, что здесь все так подробно описано со всеми рисунками и формулами, что сразу становится все понятно.

Кто же это такой умный придумал, опять небось древние греки? Они были великими мастерами в геометрии, а мне эта наука всегда тяжело давалась, особенно с доказательствами, ужас просто, но со средней линией трапеции я разобрался, наверное поумнел за эти годы.

Источник