Для каких значений переменных верны равенства выражающие свойства

1. Ответ

   Ответ дан
   olgapuzanova031

   при значениях а=b
   наверно

Не тот ответ, который вам нужен?

Найди нужный

Самые новые вопросы

• Главная 
• Вопросы & Ответы 
• Вопрос 11027569

Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

Возьмём два числовых выражения 32-20 и 144 : 12.

Соединим их знаком равенства. 32 -20 = 144 : 12 (и), т. к. 12=12

Получим высказывание, которое называется числовым равенством.

Это высказывание истинно.

14 + 4 • 8 = 4 • 9 (л), т. к. 46≠ 36

Определение 1. Два числа или два числовых выражения, соединённые знаком равенства, называются числовым равенством.

Определение 2. Высказывание вида a = b , где а и в числовые выражения, называется числовым равенством.

Символически числовое равенство записывается так: a = b.

Если знаком равенства соединены 2 числовых выражения, значения которых равны, то получится истинное числовое равенство, если не равны, то ложное.

Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Свойства истинных числовых равенств

1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.

Если a = b (и), то a +c = b + c тоже истинно.

Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл

Доказать: a +c = b + c (и).

Доказательство:

По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a +c = a + c .

По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в, получим, а + с = в + с ч.т.д.

Следствие: Любой член истинного числового равенства можно переносить из одной части в другую, поменяв знак на противоположный.

a + m = b + m + n

a = – m + b + m + n

a = b + n

2) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.

Если a = b (и), то a• c = b•c тоже истинно.

Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл

Доказать: a•c = b• c (и).

Доказательство:

По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a• c = a•c .

По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в, получим, а • с = в • с ч.т.д.

Следствие: Обе части истинного числового равенства можно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

В начальной школе истинные числовые равенства называют верными, ложные– неверными.

II. Повторение.

-Какие выражения называются числовыми выражениями? (Они образуются из чисел, знаков действий и скобок).

-Что такое значение числового выражения? (Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения).

-Существуют ли числовые выражения, значения которых нельзя найти?

Какие действия выполняются раньше 1 или 2 ступени? (действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание)).

-Что называетсявыражением с переменной (Запись, состоящая из чисел, знаков действий, скобок и букв)

-Областью определения выражения с переменной? (множество тех значений переменной, при которых выражение имеет смысл).

-Какие преобразования относятся к тождественным?

-приведение подобных;

-раскрытие скобок;

-приведение дробей к общему знаменателю;

-группировка или заключение в скобки)

-Что такое тождественное преобразование? (Замена выражения с переменной другим выражением тождественно равным ему называется тождественным преобразованием).

-Как называются такие записи: (3 + 2)) – 12 или 3х-у:+)8, (их нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной).

Задача 1. Найти значение выражения Зх(х-2) + 4(х-2) при х = 6.

Решение.

1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3-6(6-2) + 4(6-2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:

3-6-(6-2) + 4-(6-2) = 18-4 + 4-4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения

Зх(х-2)+4(х-2) равно 88.

2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его:

Зх(х-2) + 4(х-2) = (х-2)(Зх+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо Х число 6, выполним действия: (6-2)-(3-6 + 4)= 4-(18+4) = 4-22 = 88.

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18-4+4-4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х-2) + 4(х-2)-выражением (х – 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

-Какие два выражения называются тождественно равными? (если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны).

– Как получить тождество? (Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождествомна этом множестве).

Например, 5(х + 2) = 5х + 10 – тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: ( х  R)5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Задача 2. Разложить на множители выражение ax–bx+ab–b2.

Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax–bx+ab–b2 = = (ax–bx) + (ab–b2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ax–bx)+(ab–b2) = x(a–b)+b(a–b) – это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x(a–b)+b(a–b) = (a–b)(x–b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

Итак, ax–bx+ab–b2 – (a–b)(x–b).

Числовые неравенства.

I. Повторение изученного:

– Какое предложение называют числовым равенством?

– Приведите примеры числовых равенств.

Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 – 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 – 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = 7-3.

– Можно ли числовое равенство считать высказыванием? (Да)

– Какое числовое равенство истинно? (Если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают).

– Назовите свойства истинных числовых равенств.

Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если два числовых выражения соединить знаком «>» или «<», то получим числовое неравенство.

Определение. Два числовых выражения, соединённые знаком «>» или «<», образуют числовое неравенство.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7 (И). Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 +2 < 13-7(Л).

Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное. А, следовательно, к числовым неравенствам можно применить логические операции.

Конъюнкцию двух числовых неравенств принято записывать в виде двойного неравенства.

(5 > 4 / 5 < 6) <=> (4 < 5 < 6)

Дизъюнкцию числового равенства и неравенства записывают в виде нестрогого неравенства

(5 > 4 V 5 = 4) <=> (5≥ 4 )

Определение. Если два числовых неравенства имеют одинаковые знаки, то их называют неравенствами одинакового смысла, если у неравенств разные знаки, то неравенствами противоположного смысла.

a >b и c > d – одинакового смысла;

a >b и c < d – противоположного смысла.

Рассмотрим свойства истинных числовых неравенств.

Свойство 1.

Для любых чисел a и b верно, что если a >b, то a – b > 0.

(a, b) (a >b=>a – b > 0).

Доказательство:

Нам дано, что a >b.По опр отношения «>», существует такое натуральное число к, что a = b + к. => по 2 опр разности a – b = к. Так как к N , к > 0, то a – b > 0 ч.т.д.

Свойство 2.

Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

(a, b, с) (a >b => a +с > b + с).

Доказательство:

По условию a > b, тогда по 1 свойству a – b > 0 => (a – b) + (с – с) > 0 =>применяем сочет свойство (a + с) – (b + с) > 0 => по свойству 1 a +с > b + с ч.т.д.

Свойство 3.

Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же положительное число, в результате получим истинное числовое неравенство того же смысла.

(a, b, с>0) (a >b => a • с > b • с).

Доказательство:

По условию a > b, => a – b > 0 => (a – b) • с > 0 =>применяем распределит свойство a • с – b • с > 0 => a • с > b • с ч.т.д.

Свойство 4.

Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же отрицательное число, в результате получим истинное числовое неравенство противоположного смысла (с противоположным знаком).

(a, b, с<0) (a >b => a • с < b • с).

Свойство 5

Истинные числовые неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, в результате получается неравенство того же смысла.

(a, b, с, d) (a >b и c >d => a + c > b +d).

Свойство 6

Истинные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак того неравенства, из которого вычитаем.

(a, b, с, d) (a > b и c => a – c > b – d).

Свойство 7

Истинные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство того же смысла.

(a, b, с, d) (a >b >0 и c >d >0 => a • c > b • d).

Свойство 8

Истинные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство противоположного смысла.

(a, b, с, d) (a < b < 0 и c < d < 0 => a • c > b • d).

Свойство 9

Обе части истинного числового неравенства можно возводить в одну и ту же степень с натуральным показателем, при этом получается неравенство того же смысла.

(a, b и nN) (a > b =>an > bn).