Какая фигура называется квадратом и свойства
Êâàäðàò — ïðàâèëüíûé ÷åòûð¸õóãîëüíèê. Ó êâàäðàòà âñå óãëû è ñòîðîíû îäèíàêîâû.
Êâàäðàòû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü äëèíîé ñòîðîíû, à âñå 4 óãëà ïðÿìûå è ðàâíû 90°.
Êâàäðàòîì ìîæåò ñòàòü ïàðàëëåëîãðàìì, ðîìá ëèáî ïðÿìîóãîëüíèê, êîãäà ó íèõ îäèíàêîâûå äëèíû äèàãîíàëåé, ñòîðîí è ðàâíûå óãëû.
Ñâîéñòâà êâàäðàòà.
– ó âñåõ 4-õ ñòîðîí êâàäðàòà îäèíàêîâàÿ äëèíà, ò.å. ñòîðîíû êâàäðàòà ðàâíû:
AB = BC = CD = AD
– ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû:
AB||CD, BC||AD
– êàæäûé óãîë êâàäðàòà ïðÿìîé:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
– ñóììà óãëîâ êâàäðàòà ðàâíà 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
– êàæäàÿ äèàãîíàëü êâàäðàòà èìååò òàêóþ æå äëèíó, êàê è äðóãàÿ:
AC = BD
– êàæäàÿ èç äèàãîíàëåé êâàäðàòà äåëèò êâàäðàò íà 2 îäèíàêîâûå ñèììåòðè÷íûå ôèãóðû.
– óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:
AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2
– òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàçûâàþò öåíòð êâàäðàòà è îíà îêàçûâàåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.
– âñå äèàãîíàëè äåëÿò óãîë êâàäðàòà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, òàêèì îáðàçîì, îíè îêàçûâàþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ êâàäðàòà:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
– äèàãîíàëè äåëÿò êâàäðàò íà 4 îäèíàêîâûõ òðåóãîëüíèêà, êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå òðåóãîëüíèêè â îäíî âðåìÿ è ðàâíîáåäðåííûå è ïðÿìîóãîëüíûå:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Äèàãîíàëü êâàäðàòà.
Äèàãîíàëüþ êâàäðàòà ÿâëÿåòñÿ âñÿêèé îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2-å âåðøèíû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ êâàäðàòà.
Äèàãîíàëü âñÿêîãî êâàäðàòà áîëüøå ñòîðîíû ýòîãî êâàäðàòà â √2 ðàç.
Ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû äèàãîíàëè êâàäðàòà:
1. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ñòîðîíó êâàäðàòà:
2. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïëîùàäü êâàäðàòà:
3. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïåðèìåòð êâàäðàòà:
4. Ñóììà óãëîâ êâàäðàòà = 360°:
5. Äèàãîíàëè êâàäðàòà îäíîé äëèíû:
6. Âñå äèàãîíàëè êâàäðàòà äåëÿò êâàäðàò íà 2-å îäèíàêîâûå ôèãóðû, êîòîðûå ñèììåòðè÷íû:
7. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:
8. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç äëèíó îòðåçêà l:
9. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
D – äèàìåòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
d – äèàãîíàëü êâàäðàòà.
10. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
D – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
d – äèàãîíàëü.
11. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ëèíèþ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà:
C – ëèíèÿ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà;
d – äèàãîíàëü.
Ïåðèìåòð êâàäðàòà. Ïëîùàäü êâàäðàòà.
Âïèñàííûé êðóã â êâàäðàò – ýòî êðóã, ïðèìûêàþùèé ê ñåðåäèíàì ñòîðîí êâàäðàòà è èìåþùèé öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè – ñòîðîíà êâàäðàòà (ïîëîâèíà).
Ïëîùàäü êðóãà âïèñàííîãî â êâàäðàò ìåíüøå ïëîùàäè êâàäðàòà â π/4 ðàçà.
Êðóã, îïèñàííûé âîêðóã êâàäðàòà – ýòî êðóã, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç 4-ðå âåðøèíû êâàäðàòà è êîòîðûé èìååò öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè â √2 ðàç.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà ðàâåí 1/2 äèàãîíàëè.
Ïëîùàäü êðóãà îïèñàííîãî âîêðóã êâàäðàòà áîëüøàÿ ïëîùàäü òîãî æå êâàäðàòà â π/2 ðàç.
Источник
Определение.
Квадрат – это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Основные свойства квадрата
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
| AC┴BD | AO = BO = CO = DO = | d | |
| 2 |
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата
Определение.
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
Периметр квадрата
Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.
Формулы определения длины периметра квадрата
1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
P = 4a
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
P = 2Dо√2
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
P = 4Dв
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:
Площадь квадрата
Определение.
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.
Формулы определения площади квадрата
1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
S = Dв2
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение.
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:
Окружность вписанная в квадрата
Определение.
Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.
Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:
Источник
Задачи:
- определять и объяснять понятия через
практический показ, используя
наглядность; - учит распознавать геометрические
фигуры с учетом их свойств; - формировать умение находить периметры
геометрических фигур; - формировать прочный вычислительный
навык, умение решать простые и составные
задачи; – продолжить работу по обогащению
словарного запаса, расширению кругозора
учащихся; - способствовать сохранению здоровья
детей через использование динамических
упражнений, смены видов деятельности и
создания психологически- комфортной
среды на уроке.
Оборудование:
- раздаточный материал,
- блокнот обратной связи,
- геометрические фигуры,
- пригласительные билеты,
- магнитофон.
Ход урока
- Организационный момент.
1.
Долгожданный дан звонок
Начинается урок.
Тут затеи и задачи,
Игры, шутки, все для вас!
Пожелаем вам удачи-
За работу в добрый час.
2. Запись числа в тетради.
– Прочитайте число на доске.(1 марта)
– Что мы можем сказать про это число? (однозначное,
нечетное)
– К какому времени года относится месяц
март?
– Сколько времен года вы знаете?
– Назовите весенние месяцы по порядку.
– Сколько их?
– Чем примечателен месяц март? (праздником
8 марта)
– Что это за праздник 8 марта?
– Почему его отмечают? (беседа о празднике 8
марта)
8 Марта во многих странах мира
отмечается Международный Женский день. В 1910
году международная конференция женщин
приняла решение ежегодно отмечать день,
посвященный женщинам. В России эту дату
впервые отметили в 1913 году.
- Этап подготовки к активному усвоению
знаний.
1. Минутка чистописания.
В честь наступающего праздника мы сегодня
на уроке будем прописывать цифру 8 . ( показ
на доске таблицы )
– Что мы можем сказать про цифру 8? ( цифра 8
обозначает число 8)
– Какое оно? (однозначное, четное)
– Назовите предыдущее, последующее число.
– Вспомним состав числа 8.
Самостоятельная работа учащихся.
2. Ребята, сегодня нам прислали пакет
от имени ваших пап. В этом пакете лежат
пригласительные билеты.
(чтение приглашения учителем)
«Дорогие ребята, скоро наступит
праздник мам. Если вы активно будете
работать на уроке, выполнять все задания
правильно, то получите пригласительный
билет на праздник».
Тему урока вы узнаете, если выполните
правильно первое задание.
3. Арифметический диктант.
( У каждого ученика карточка с
ответами)
Поставить точку ручкой около
того числа, которое будет ответом на
поставленный вопрос.
– Назовите наибольшее
однозначное число (9).
– К празднику Защитников
Отечества для учащихся 3-х,
4-х классов были проведены
соревнования. Из 3-х классов участвовало 30
учащихся, а из 4-х 40 учащихся. На сколько
меньше участвовало детей из 3-х классов, чем
из 4-х?(10)
– Сколько получится, если 5 взять
три раза? (15)
– 12 увеличить на 6. (18)
– 35 уменьшить на 10. (25)
– В конкурсе «Русский медвежонок»
участвовало 20 человек из 2б класса и 14
человек из 2в класса. Сколько всего детей из
этих классов участвовало в конкурсе «Русский
медвежонок»? (34)
– Найти сумму чисел 20 и 16. (36)
– Найти разность чисел 70 и 2. (68)
Задание: соединить точки,
начиная с наименьшего числа, заканчивая
наибольшим.
– Какая геометрическая фигура
получилась? (квадрат)
– Тему урока вы назвали вы сами.
Сегодня на уроке мы узнаем,
какая геометрическая фигура называется
квадратом и познакомимся с его свойствами.
Этап усвоения знаний.
1. На доске плакат с
геометрическими фигурами.
– Покажите квадрат.
– Почему вы так думаете? (стороны
равные, углы прямые)
Это свойства квадрата.
– Как по -другому можно назвать квадрат? (прямоугольник,
четырехугольник, многоугольник)
2. Чтение учеником стихотворения про
квадрат.
Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны
Одинаковой длины.
Вам его представить рад
Как зовут его? (квадрат)
3. Чтение правила на стр. 30.
Физминутка:
Вырос высокий цветок на поляне.
Утром весенним раскрыл лепестки.
Всем лепесткам красоту и питание
Дружно дают под землей лепестки.
4. Практическая работа.
На столах у учащихся лежат геометрические
фигуры.
– назовите все геометрические фигуры.
– А теперь докажем, что это квадрат,
прямоугольник.
Возьмем треугольник и при помощи прямого
угла способом наложения докажем, что у
квадрата все углы прямые.
– Измерьте с помощью линейки стороны
квадрата.
– Какие они?
– А как назовем вторую фигуру? (прямоугольник)
– Почему она так называется? (все углы
прямые)
– Давайте убедимся в этом.
– При помощи треугольника измерим все углы.
– Сколько сторон у прямоугольника? (4)
– Как называются стороны, которые лежат
одна против другой? противоположные)
– Покажите их.
– Способом перегибания проверим, что они
равны.
– Теперь сравним квадрат и прямоугольник.
– Чем они похожи? (прямые углы, 4 стороны,
противоположные стороны равны)
– Чем отличаются? ( у квадрата все стороны
равны)
– Можно ли начертить квадрат, зная только
длину одной стороны?
– Почему?
– Начертите в тетради квадрат со стороной 3
см.
-А теперь найдите периметр этого квадрата.
– Вспомните, что называется периметром
геометрической фигуры?
Запись решения. Р=3+3+3+3=12 (см)
– А как по- другому можно найти периметр
квадрата?
Р=3*4=12 (3 взять 4 раза)
Так мы будем находить периметр, когда
начнем изучать действие умножение.
Ребята, а что обычно дарят женщинам в день
8 марта? (Всем женщинам дарят цветы) У нас
сегодня составлен необычный букет,
состоящий из геометрических фигур. Давайте
назовем их. (плакат с букетом на доске.)
- Этап закрепления новых знаний.
– А что еще дарят женщинам на праздник
кроме цветов?
1. Решение задачи.
У каждого ученика на парте лежит текст
задачи.
– Прочитайте задачу про поздравительные
открытки.
« Ребята к празднику делали
поздравительные открытки. Девочки сделали
12 открыток, а мальчики на 8 больше. Сколько
всего открыток сделали дети на праздник?»
– Почему мальчики сделали больше открыток,
чем девочки?
– Прочитайте условие задачи, назовите
вопрос задачи.
– Сделаем краткую запись задачи, а решать
будем по группам.
– первая группа запишет решение
выражением;
-вторая группа запишет решение по
действиям.
Анализ задачи.
– можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
– почему?
– как узнать, сколько открыток сделали
мальчики?
– а теперь можно ответить на вопрос задачи?
– как?
Один ученик решает у доски по действиям.
Проверка первой группы с использованием
блокнотов.
Релаксационная пауза. (магнитофонная
запись)
2. Задание на развитие логического
мышления. (работа по индивидуальным
таблицам)
– Какие фигуры изображены? (квадраты)
В каждом квадрате найти одинаковые фигуры
и отличающиеся от других.
3. Самостоятельная работа.
– Какие весенние цветы чаще всего дарят вы
отгадаете, если решите примеры правильно
| МИМОЗА | |
| 35+23=58 48-15=33 39+21=60 78-44=34 60-13=47 63+36=99 | 33-И 58-М 99-0 34-З 60- М 47- А |
Показ открытки с цветком.
Домашнее задание: составить букет из
своих геометрических фигур.
- Итог урока.
-Что узнали на уроке?
– Что называется квадратом?
Так как вы хорошо поработали на уроке,
выполнили все задания верно, получаете
пригласительные билеты на праздник.
Источник
Квадрат, геометрическая фигура
четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы прямые. К. служит мерою площадей плоских фигур и криволинейных поверхностей, поэтому найти какую-нибудь площадь значит вычислить, сколько раз заключается в ней площадь К., принимаемого за единицу. Квадратом или квадратным числом называется произведение двух равных множителей, напр. 9 = 3∙3, а2 = а∙а, а2 + 2ab + b2 = (а + b)(а + b) и т. п. Квадратным корнем из какого-нибудь числа называется величина, которая, будучи умножена сама на себя, дала бы данное: так, 3 есть квадратный корень из 9 и пр.
В. В. В.
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон.
1890—1907.
Смотреть что такое “Квадрат, геометрическая фигура” в других словарях:
Квадрат геометрическая фигура — четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы прямые. К. служит мерою площадей плоских фигур и криволинейных поверхностей, поэтому найти какую нибудь площадь значит вычислить, сколько раз заключается в ней площадь К., принимаемого за… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Кольцо (геометрическая фигура) — Кольцо Кольцо термин в геометрии, используемый для описания похожих на кольцо объектов. Открытое кольцо является топологическим эквивалентом цилиндра и проколотой плоскости. Площадь такого кольца определяется как разность площадей кругов… … Википедия
Квадрат — Это статья о геометрической фигуре. Другие значения слова см. на странице Квадрат (значения) Квадрат … Википедия
квадрат — КВАДРАТ, а, м Геометрическая фигура, представляющая собой равносторонний прямоугольник; что л., по форме напоминающее такой прямоугольник. Ванная комната выложена белыми квадратами кафеля … Толковый словарь русских существительных
Банкноты Государства Израиль — Список банкнот Государства Израиль составлен по официальным материалам Банка Израиля[1]. Официальными денежными единицами в разные годы служили в Израиле палестинский фунт и милль Англо Палестинского банка, израильская лира и прута Национального… … Википедия
ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР — Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера
Четырёхугольник — ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ ┌─────────────┼────────────┐ невыпуклый выпуклый самопересекающийся … Википедия
Мондриан — (Mondrian) Пит (1872 1944) Один из крупных художников авангарда. Творчество М., подобно искусству его великих соотечественников, Рембрандта и Ван Го га, выходит далеко за рамки национальной голландской живописи. Выдающемуся художнику и мыслителю… … Энциклопедия культурологии
Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия
ХАОСА ТЕОРИЯ — раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими… … Энциклопедия Кольера
Источник