Какие арифметические действия обладают свойством коммутативности

Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:

Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)=(ycirc x) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Дистрибутивность (распределительный закон)
Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $ oplus $ и $ otimes $ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $ mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ xotimes (yoplus z) $ $ =(xotimes y)oplus(xotimes z) $; и/или правой: $ (yoplus z) otimes x $ $ =(yotimes x)oplus(zotimes x) $ дистрибутивности.

Примеры

  1. Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.

    Спойлер


    Пусть $ small A in mathbb{M} _{m times p} ,B in mathbb{M} _{p times n}: $ $ small C=Atimes B; C in mathbb{M} _{mtimes n} Rightarrow $ $ small c_{ij}= underset{k=1} {overset{p} {sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ smallforall A,B in mathbb{M}_{n} Atimes B overset{?}{=} Btimes A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ small underset{k=1} {overset{m} {sum }}a_{ik}b_{kj}overset {?}{=} underset{k=1}{ overset{m}{sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.

    [свернуть]

  2. Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
    $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ то в выражении $ a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n}, ,a_{i} in mathbb{P} i=overline{1,n} $ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.

    Спойлер

    Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
    База индукции:
    Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ small forall ,a_{1}, a_{2}, a_{3} in mathbb{P}: $ $ small ( a_{1}circ a_{2})circ a_{3}= a_{2}circ (a_{1}circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
    Предположение индукции:
    $ small forall ,n in mathbb{N}: $результат выражения $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} ,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
    Шаг индукции:
    Пусть предположение индукции справедливо для $ small forall , n in mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ small n+1 .$
    Пусть $ small 1leq pleq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} = $ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m})circ $ $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
    $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) = a $
    $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m}) = b $
    $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n} circ a _{n+1}) = c $
    По базе индукции имеем $ small (a circ b) circ c = a circ (b circ c ),$ то есть $ small [ (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) ] circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1})=$ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small [ (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) ].$
    В силу свободы выбора $ small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.

    [свернуть]

  3. Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.

    Спойлер

    Пусть $ A in mathbb{M} _{mtimes n}; B,C in mathbb{M} _{ntimes m},$ докажем, что $ Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C.$ Заметим, что $ A=left | a_{ij} right |,$ $ B=left | b_{ji} right |,$ $ C=left | c_{ji} right |,$ $ i=overline{1,m},$ $ j =overline{1,n}$, тогда $ Acdot (B+C)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} right | + left | c_{ji} right |)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} + c_{ji} right |) = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot (b_{ji} + c_{ji})right | = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} + underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right |=$ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} right | + left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right | = $ $ Acdot B+Acdot C.$
    Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

    [свернуть]

Источники:

  • В. В. Воеводин «Линейная алгебра» Издание 2, 1980 года, стр. 9-13
  • А. И. Кострыкин «Введение в алгебру. Основы алгебры», 1994 года, стр. 155-160
  • А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» издание 9, 1968 года, стр. 147-161
  • Белозеров Г.С. Конспект лекций

Таблица лучших: Основные свойства бинарных алгебраических операций.

максимум из 30 баллов

МестоИмяЗаписаноБаллыРезультат
Таблица загружается

Навигация по записям

Источник

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно отно­сительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине­ние и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозна­чать символами: * (читается – «звездочка») и о (читается – «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

(x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х – у) z ≠ х – (у – z). Например, (12 – 7) – 3 ≠ 12 – (7 – 3).

Читайте также:  Каким лечебным свойством обладает толстянка

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х – у ≠ у – х. На­пример, 12-7≠7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция оназывается дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y)оz = (x o z)*(y o z) и 2) z o(х*у) = (z o х)*(z о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз­ведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)z – = хz-уz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натураль­ных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получа­ем х уz = ху-хz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. опера­ция возведения в степень не является дистрибутивной слева отно­сительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень – операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из­вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для лю­бых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства

(x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z – справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы­ражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на при­мере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

(x + у)·(z + р)= x·(z + р) + у·(z + р)= (x·z + x·р) + (у·z + y·р).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно за­писать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре ней­тральными и поглощающими.

Определение. Элемент е из множества X называется нейтраль­ным относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощаю­щим относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера­ции существует, то он единственный.

Так, в множестве целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умноже­ния: для любого x из множества верны равенства: х·0 = 0·х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сло­жению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Определение. Пусть * – сократимая и коммутативная алгебраи­ческая операция, заданная на множестве X. Тогда операция оназы­вается обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.

Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х – у тогда и только тогда, когда у + z = х.

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество целых неотрицательных чисел, которое являет­ся объединением множества натуральных чисел и нуля: = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сло­жения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (, +, •). Ее основ­ные характеристики:

1) Сложение и умножение на множестве ассоциативно и комму­тативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:

(V х,у € ) х + у = у + х;

(V х,у € ) х·у = у·х;

(V х,у,z € ) (х + у) + z = х + (у + z);

(V х,у,z € ) (х·у)·z = х·(у·z);

(V х,у,z € ) (х +у)·z = х·z +у· z.

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произ­ведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:

х + а= у + а => х = у

х·а = у·а => х = у.

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:

(V х € ) х + 0 = 0 + х = x:;

(V х € ) х· 0 = 0· x = 0.

Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

(V х,у € ) х •1 = 1•x = x.

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно­жению (исключая деление на нуль):

Читайте также:  Какие лечебные свойство зверобоя

x-у = z ó у + z = x

х:у~2 ó у-z = х.

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

(a-c)+b, если а≥с

(а+b) – c= a+(b-c), если b≥c

а – (b + с) = b) – с = (a – с) – b, если a ≥ b + с;

(a+b):c = a:c+b:c, если a:c и b:c;

(a:c)·b, если а:с

(а·b) : c= a·(b:c), если b:c

а:(b-с) = (а:b):с= (а:с):b, если a:b и a:c

Названные характеристики алгебры (, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.

Упражнения

1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение ком­мутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

2.Коммутативны ли следующие алгебраические операции:

а) возведение в степень на множестве N;

6) деление на множестве Q;

в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?

3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Qрациональных чисел?

4.Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.

5.Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.

6.Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.

7.Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру (, +, •).

53. Основные выводы § 11

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со сле­дующими понятиями:

– алгебраическая операция на множестве;

– множество, замкнутое относительно алгебраической операции;

– частичная алгебраическая операция;

– нейтральный элемент относительно алгебраической операции;

– поглощающий элемент относительно алгебраической операции;

– обратная операция.

Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свой­ствами:

– коммутативности;

– ассоциативности;

– дистрибутивности (слева и справа);

– сократимости.

Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру (, +, •).

Источник

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно отно­сительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине­ние и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозна­чать символами: * (читается – «звездочка») и о (читается – «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

(x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х – у) z ≠ х – (у – z). Например, (12 – 7) – 3 ≠ 12 – (7 – 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х – у ≠ у – х. На­пример, 12-7≠7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция оназывается дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y)оz = (x o z)*(y o z) и 2) z o(х*у) = (z o х)*(z о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз­ведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)z – = хz-уz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натураль­ных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получа­ем х уz = ху-хz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. опера­ция возведения в степень не является дистрибутивной слева отно­сительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень – операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из­вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для лю­бых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства

(x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z – справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы­ражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на при­мере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

(x + у)·(z + р)= x·(z + р) + у·(z + р)= (x·z + x·р) + (у·z + y·р).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно за­писать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре ней­тральными и поглощающими.

Читайте также:  Какие мероприятия проводятся для усиления защитных свойств помещений

Определение. Элемент е из множества X называется нейтраль­ным относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощаю­щим относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера­ции существует, то он единственный.

Так, в множестве целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умноже­ния: для любого x из множества верны равенства: х·0 = 0·х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сло­жению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Определение. Пусть * – сократимая и коммутативная алгебраи­ческая операция, заданная на множестве X. Тогда операция оназы­вается обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.

Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х – у тогда и только тогда, когда у + z = х.

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество целых неотрицательных чисел, которое являет­ся объединением множества натуральных чисел и нуля: = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сло­жения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (, +, •). Ее основ­ные характеристики:

1) Сложение и умножение на множестве ассоциативно и комму­тативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:

(V х,у ? ) х + у = у + х;

(V х,у ? ) х·у = у·х;

(V х,у,z ? ) (х + у) + z = х + (у + z);

(V х,у,z ? ) (х·у)·z = х·(у·z);

(V х,у,z ? ) (х +у)·z = х·z +у· z.

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произ­ведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:

х + а= у + а => х = у

х·а = у·а => х = у.

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:

(V х ? ) х + 0 = 0 + х = x:;

(V х ? ) х· 0 = 0· x = 0.

Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

(V х,у ? ) х •1 = 1•x = x.

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно­жению (исключая деление на нуль):

x-у = z ó у + z = x

х:у~2 ó у-z = х.

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

(a-c)+b, если а≥с

(а+b) – c= a+(b-c), если b≥c

а – (b + с) = b) – с = (a – с) – b, если a ≥ b + с;

(a+b):c = a:c+b:c, если a:c и b:c;

(a:c)·b, если а:с

(а·b) : c= a·(b:c), если b:c

а:(b-с) = (а:b):с= (а:с):b, если a:b и a:c

Названные характеристики алгебры (, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.

Упражнения

1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение ком­мутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

2.Коммутативны ли следующие алгебраические операции:

а) возведение в степень на множестве N;

6) деление на множестве Q;

в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?

3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Qрациональных чисел?

4.Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.

5.Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.

6.Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.

7.Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру (, +, •).

53. Основные выводы § 11

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со сле­дующими понятиями:

– алгебраическая операция на множестве;

– множество, замкнутое относительно алгебраической операции;

– частичная алгебраическая операция;

– нейтральный элемент относительно алгебраической операции;

– поглощающий элемент относительно алгебраической операции;

– обратная операция.

Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свой­ствами:

– коммутативности;

– ассоциативности;

– дистрибутивности (слева и справа);

– сократимости.

Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру (, +, •).

Лекция 24. Выражения

План:

1. Понятие выражения

2. Тождественные преобразования выражений

§ 12. ВЫРАЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА

Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное зна­комство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, – это уточнить и углубить знания о вы­ражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и число­вых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

Изучение данных понятий связано с использованием математиче­ского языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он будет представлен частично в связи с необходимостью больше внимания уде­лить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;

2) знаки операций +,-,•, : ;

3) знаки отношений <, >, =, : ;

4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения – числовые равенст­ва, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник