Какие бинарные отношения обладают свойством эквивалентности

Классы эквивалентных элементов и их свойства

Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%a%% — некоторый элемент из %%M%%. Рассмотрим множество всех элементов из %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%.

Классом эквивалентности %%M_a%%

называется множество всех элементов %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%, то есть множество

$$
M_a = {x in M : x~R~a}.
$$

Пример

Пусть %%M%% — множество всех жителей России и %%R%% — отношение эквивалентности «проживать в одном городе». Найти классы эквивалентных элементов %%M_a%% для %%a in M%%.

Класс элементов, эквивалентных элементу %%a%%, имеет вид:
$$
M_a = {x in M : x text{ проживает в одном городе с человеком } a}
$$

В зависимости от элемента %%a%% получаем несколько классов эквивалентности. Например, класс эквивалентности жителей Москвы или Санкт-Петербурга.

Свойства классов эквивалентности

Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%M_a, M_b, dotsc, M_z, dotsc%% — все классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда эти классы имеют следующие свойства.

Свойство 1

Для любого элемента %%a in M%% выполняется условие
$$
a in M_a
$$

Действительно, по определению, класс %%M_a = {x in M : x~R~a}%%. Тогда для элемента %%a%% должно выполняться условие %%a in M_a leftrightarrow a~R~a%%, которое выполняется в связи с тем, что отношение %%R%% рефлексивно по определению отношения эквивалентности. Следовательно, %%a in M_a%%.

Как следствие этого свойства можно сказать, что всякий класс %%M_a%% является непустым множеством.

Свойство 2

Пусть %%M_a%% и %%M_b%% классы эквивалентности для отношения %%R%%. Классы %%M_a%% и %%M_b%% равны тогда и только тогда, когда элемент %%a%% находится в отношении %%R%% к элементу %%b%%.
$$
M_a = M_b leftrightarrow a~R~b.
$$

Свойство 3

Пусть %%M_a%% и %%M_b%% классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда классы %%M_a%% и %%M_b%% не имеют общих элементов.
$$
M_a neq M_b rightarrow M_a cap M_b = varnothing
$$

Свойство 4

Объединение всех классов эквивалентности множества %%M%% равно множеству %%M%%.
$$
bigcup_{ain M}{M_a} = M.
$$

Разбиение множества

Совокупностью подмножеств %%M_i%%, где %%i in I%% (множеству индексов), множества %%M%% называется разбиением множества %%M%% если выполняются следующие условия:

Каждое из подмножеств %%M_i%% непусто.
Объединение всех подмножеств %%M_i%% равно множеству %%M%%.
Два различных подмножества %%M_i%% и %%M_j%%, где %%i neq j%%, не имеют общих элементов.

Теорема. Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%%. Тогда совокупность классов эквивалентности множества %%M%% образует его разбиение.

Действительно, если в качестве подмножеств %%M_i%% взять классы эквивалентности %%M_a%%, то все три условия выполняются:

Каждый класс эквивалентности является непустым множеством, согласно свойству 1.
Объединение всех классов эквивалентности есть множество %%M%%, согласно свойству 4.
Два различных класса эквивалентности не имеют общих элементов, согласно свойству 3.

Все условия определения разбиения выполнены. Следовательно классы эквивалентности есть разбиение множества %%M%%.

Примеры

Пусть дано множество %%M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }%%, тогда разбиением этого множества могут быть следующие совокупности множеств:

%%A_1 = {1, 2, 3}, A_2 = {4, 5, 6, 7}, A_3 = {8, 9, 0 }%%.
%%B_1 = {0, 7, 2}, B_2 = {1, 3, 5 }, B_3 = {4, 6, 8, 9}%%.

Но следующие совокупности не являются разбиением:

%%C_1 = {1, 2, 3}, C_2 = {4, 5, 6, 7}, C_3 = {8, 9, 0, 3}%%.
%%D_1 = {0, 7, 2}, D_2 = {1, 3, 5 }, D_3 = {4, 6, 8, 9}, D_4 = varnothing%%.
%%E_1 = {0, 1, 2}, E_2 = {3, 4, 5}, E_3 = {6, 7, 8}%%.

Совокупность множеств %%C_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 3 разбиения множеств: множества %%C_1%% и %%C_3%% имеют общий элемент %%3%%.

Совокупность множеств %%D_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 1 разбиения множеств: множество %%D_4%% пусто.

Совокупность множеств %%E_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 2 разбиения множеств: объединение множеств %%E_1, E_2%% и %%E_3%% не образует множество %%M%%.

Источник

Разбиение множества

Пусть — произвольное множество. Семейство непустых и попарно не пересекающихся множеств называют разбиением множества , если объединение множеств семейства равно , то есть

Сами множества называют элементами (или членами) разбиения .

Например, множества и образуют разбиение отрезка . Тривиальными разбиениями являются, по определению, разбиение , состоящее только из самого , и разбиение, состоящее из всех одноэлементных подмножеств множества .

Пусть — эквивалентность на множестве и . Множество всех элементов , эквивалентных , т.е. множество , называют классом эквивалентности по отношению и обозначают . Отметим, что в силу рефлексивности для любого элемента класс эквивалентности не пуст, так как .

Теорема 1.4. Для любого отношения эквивалентности на множестве множество классов эквивалентности образует разбиение множества . Обратно, любое разбиение множества задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения.

Покажем, что отношение эквивалентности на множестве определяет некоторое разбиение этого множества. Убедимся вначале, что любые два класса эквивалентности по отношению либо не пересекаются, либо совпадают.

Пусть два класса эквивалентности и имеют общий элемент . Тогда и . В силу симметричности отношения имеем , и тогда и . В силу транзитивности отношения получим . Пусть , тогда . Так как , то и, следовательно, .

Обратно, если , то в силу симметричности получим и в силу транзитивности — , то есть . Таким образом, .

Итак, любые два не совпадающих класса эквивалентности не пересекаются. Так как для любого справедливо (поскольку ), т.е. каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности по отношению , то множество всех классов эквивалентности по отношению образует разбиение исходного множества . Таким образом, любое отношение эквивалентности однозначно определяет некоторое разбиение.

Теперь пусть — некоторое разбиение множества . Рассмотрим отношение , такое, что имеет место тогда и только тогда, когда и принадлежат одному и тому же элементу данного разбиения:

Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых и имеет место и , то и в силу определения отношения принадлежат одному и тому же элементу разбиения. Следовательно, и отношение транзитивно. Таким образом, — эквивалентность на .

Фактор-множество

Теорема 1.4 позволяет отождествлять отношения эквивалентности и разбиения: любая эквивалентность определяет единственное разбиение и наоборот.

Множество всех классов эквивалентности по данному отношению эквивалентности на множестве называют фактор-множеством множества по отношению и обозначают .

Пример 1.14. а. На множестве целых чисел определим отношение равенства по модулю , где . Положим , если и только если делится на .

Легко проверяется, что это отношение эквивалентности. Действительно, рефлексивность следует из того, что для любо и делится на ; симметричность — из того, что если делится на , то и делится на . Для доказательства транзитивности заметим, что если делится на и делится на , то и их сумма делится на . Другими словами, для любых целых из и следует , что доказывает транзитивность отношения .

Равенство чисел и по модулю означает, что при делении на эти числа дают одинаковые остатки. Действительно, для каждого имеем , где — остаток от деления на . Следовательно, , то есть . Таким образом, каждое число попадает в тот же класс эквивалентности по отношению , что и остаток от деления его на . Поскольку всего различных остатков может быть ровно , получаем ровно попарно различных классов эквивалентности по данному отношению:

где класс состоит из всех целых чисел, дающих при делении на остаток .

Отметим, что мы установили взаимно однозначное соответствие между фактор-множеством и множеством , состоящим из чисел .

Второе множество дает нам как бы wнаглядный образ” построенного фактор-множества. Нельзя считать, что фактор-множество равно множеству . Нет, указанное фактор-множество состоит из элементов, каждый из которых есть не число, а множество всех целых чисел, при делении на дающих фиксированный остаток. Но каждому такому классу эквивалентности однозначно сопоставляется целое число от 0 до , и, наоборот, каждому целому числу от 0 до соответствует единственный класс эквивалентности по отношению . Заметим, что в математике часто используется прием сопоставления фактор-множеству такого находящегося с ним во взаимно однозначном соответствии множества, которое легко представить и описать.

б. На множестве действительных чисел зададим отношение , полагая, что числа и равны по модулю 1 тогда и только тогда, когда число является целым. Из определения следует, что каждое число по модулю 1 равно своей дробной части.

Примечание. Под дробной частью числа понимается число из полуинтервала , такое, что для некоторого целого . Поэтому дробной частью отрицательного числа , где , будет число . Так, Дробной частью будет не , а .

Так как отношение определено через равенство, то легко понять, что все свойства отношения эквивалентности для него выполняются. Каждый класс эквивалентности будет содержать числа с равными дробными частями. Это значит, что каждый класс эквивалентности по данному отношению однозначно определяет некоторое число из полуинтервала и, наоборот, каждому числу однозначно сопоставляется класс эквивалентности, состоящий из всех действительных чисел, дробная часть которых равна . Таким образом, фактор-множество и полуинтервал на числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии. Этот полуинтервал можно рассматривать как представление определенного выше фактор-множества.

Связь между понятиями эквивалентности и отображения

Установим теперь связь между понятиями эквивалентности и отображения. Заметим, что для любого отношения эквивалентности на множестве можно определить отображение , положив , т.е. сопоставив каждому содержащий его класс эквивалентности. Это отображение сюръективно, так как каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности, т.е. для каждого справедливо .

Отображение определенное таким образом, называют канонической сюръекцией множества .

Покажем, что любое отображение однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности.

Теорема 1.5. Пусть — произвольное отображение. Отношение на множестве , для которого , если и только если , является отношением эквивалентности, причем существует биекция фактор-множества на множество .

Доказательство. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения следуют непосредственно из его определения, т.е. — эквивалентность.

Зададим отображение фактор-множества в множество следующим образом: . Из способа задания отношения следует, что отображение определено корректно, т.е. каждому классу эквивалентности поставлен в соответствие единственный элемент .

Докажем, что — биекция, для чего убедимся в том, что это инъекция и сюръекция одновременно. Пусть классы эквивалентности и не совпадают. В силу теоремы 1.4 это означает, что они не пересекаются, т.е. не эквивалентно . Из определения отношения следует, что . Таким образом, — инъекция. Если элемент , то найдется такой элемент , что , то есть — сюръекция фактор-множества на множество . Итак, — биекция.

Следовательно, в силу доказанных теорем 1.4 и 1.5 существует связь между тремя понятиями — отображением множества, отношением эквивалентности на множестве и разбиением множества. Но неверно, что существует взаимно однозначное соответствие между отображениями и отношениями эквивалентности (заметим, что теорема 1.5 этого и не утверждает). Два разных отображения могут определять одно и то же разбиение отображаемого множества, тем самым задавая на нем одно и то же отношение эквивалентности. Так, например, любое биективное отображение задает на одно и то же разбиение — тривиальное разбиение на одноэлементные множества.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение.

Бина́рное (двухместное) отноше́ние (соответствие[1][2]) — отношение между двумя множествами и , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: [3]. Бинарное отношение на множестве — любое подмножество , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

Связанные определения[править | править код]

Свойства отношений[править | править код]

Бинарное отношение на некотором множестве может обладать различными свойствами, например:

рефлексивность: ,
антирефлексивность (иррефлексивность): ,
корефлексивность: ,
симметричность: ,
антисимметричность: ,
асимметричность: ,
транзитивность: ,
евклидовость: ,
полнота (или связность[4]): ,
связность (или слабая связность[4]): ,
трихотомия: верно ровно одно из трех утверждений: , или .

Виды отношений[править | править код]

Виды бинарных отношений[править | править код]

Обратное отношение[уточнить] (отношение, обратное к ) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов , полученных перестановкой пар элементов данного отношения . Обозначается: . Для данного отношения и обратного ему верно равенство: .
Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.
Рефлексивное отношение — двухместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого этого множества элемент находится в отношении к самому себе, то есть для любого элемента этого множества имеет место . Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
Антирефлексивное отношение (иррефлексивное отношение; так же, как антисимметричность не совпадает с несимметричностью, иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью) — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого элемента этого множества неверно, что оно находится в отношении к самому себе (неверно, что ).
Транзитивное отношение — двухместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых из и следует (). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
Нетранзитивное отношение[уточнить] — двухместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых этого множества из и не следует (). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
Симметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов и этого множества из того, что находится к в отношении , следует, что и находится в том же отношении к — . Примером симметричных отношений могут быть равенство, отношение эквивалентности, подобие, одновременность.
Антисимметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых и из и следует (то есть и выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
Асимметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых и из следует . Пример: отношения «больше» (>) и «меньше» (<).
Отношение эквивалентности — бинарное отношение между объектами и , являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, подобие, одновременность.
Отношение порядка — отношение, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности: отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует нестрогий порядок, а отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — строгий порядок.
Функция одного переменного — бинарное отношение , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что каждому значению отношения соответствует лишь единственное значение . Свойство функциональности отношения записывается в виде аксиомы: .
Биекция (взаимно-однозначное отношение) — бинарное отношение , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению соответствует единственное значение , и каждому значению соответствует единственное значение .

Операции над отношениями[править | править код]

Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств и суть подмножества множества , то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных , :

,
,
.

Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.

Например, , , то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрогого порядка, а их пересечение пусто.

Кроме перечисленных важное значение имеют ещё операции обращения и умножения отношений, определяемые следующим образом. Если , то обратным отношением называется отношение , определённое на паре , и состоящее из тех пар , для которых . Например, .

Пусть , . Композицией (или произведением) отношений и называется отношение такое, что:

Например, для отношения строгого порядка на множестве натуральных числе его умножение на себя определено следующим образом: .

Бинарные отношения и называются перестановочными, если . Для любого бинарного отношения , определённого на , имеет место , где символом обозначено равенство, определённое на . Однако равенство не всегда справедливо.

Имеют место следующие тождества:

Аналоги последних двух тождеств для пересечения отношений не имеют места.

Примечания[править | править код]

↑ Цаленко М. Ш. Соответствие // Математическая энциклопедия. — 1985. — Т. 5 (Слу-Я). — С. 77.
↑ Соответствие. Большая российская энциклопедия.
↑ Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры.. — М.: Физматлит, 1994. — С. 47-48. — 320 с. — ISBN 5-02-014644-7.
↑ 1 2 Дубов Ю. А., Травкин СИ., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. — М.: Наука, 1986. (с. 48)

Литература[править | править код]

Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.

Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. — М.: Учебники Высшей школы экономики, 2006. — 300 с.

Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Кн. 1: Множества, отображения, отношения, последовательности, ряды, функции, свойства функций, дифференциальное и интегральное исчисление, функции многих переменных // Математика без формул. — Изд. 6-е, испр. — М.: URSS, 2017. — 231 с. — ISBN 978-5-9710-3871-9.

Источник

Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.

Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.

Определение

Бинарным отношением, определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = {1, 2}%%. Тогда

$$
M^2 = big{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)big}
$$
Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим
$$
R = big{(2,1)big}
$$

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется рефлексивным,
если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a~R~a%%.
$$
begin{array}{l}
forall ain M~~a~R~a text{ или}\
forall ain M~~(a,a) in R.
end{array}
$$

Примеры

Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным, так как каждое действительное число равно самому себе.

Симметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным,
если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a~R~b%% следует условие %%b~R~a%%.

$$
begin{array}{l}
forall a,bin M~~a~R~b rightarrow b~R~a text{ или}\
forall a,bin M~~(a,b) in R rightarrow (b,a) in R.
end{array}
$$

Примеры

Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = {a,b,c}%%. При этом %%R = big{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)big}%%. Для этого отношения имеем %%forall x,y in M ~~ (x,y) in R rightarrow (y,x) in R%%. По определению %%R%% симметрично.

Транзитивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным,
если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~c%% следует условие %%a~R~c%%.

$$
begin{array}{l}
forall a,b,cin M~~a~R~b land b~R~c rightarrow a~R~c text{ или}\
forall a,b,cin M~~(a,b) in R land (b,c) in R rightarrow (a,c) in R.
end{array}
$$

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным, так как для любых элементов выполняется условние %%forall a,b,cin M~~a > b land b > c rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).

Антисимметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным,
если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~a%% следует условие %%a = b%%.

$$
begin{array}{l}
forall a,b,cin M~~a~R~b land b~R~a rightarrow a = b text{ или}\
forall a,bin M~~(a,b) in R land (b,a) in R rightarrow a = b.
end{array}
$$

Пример

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если %%a geq b%% и %%b geq a%%, %%a = b%%.

Эквивалентное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением эквивалентности,
если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка,
если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.

Построение отрицаний

Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:

отношение %%R%% рефлексивно,
отношение %%R%% симметрично,
отношение %%R%% транзитивно,
отношение %%R%% антисимметрично.

Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.

Отрицание рефлексивности

По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%forall a in M~~a~R~a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%overline{forall a in M~~a~R~a}%%. Используем равносильность %%overline{forall x P(x)} equiv exists x overline {P(x)}%%. В нашем случае получаем %%forall a in M~~a~R~a equiv exists ain M~~a~nottext{R }~a%%, что и нужно.

Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:

%%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда
$$
exists a in M~~a~not R~a
$$
%%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда
$$
exists a, b in M~~ a~R~b land b~not R~a
$$
%%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда
$$
exists a, b, c in M a~R~b land b~R~c land a~not R~c
$$
%%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда
$$
exists a, b in M~~ a~R~b land b~R~a land a neq b.
$$

Источник