Какие бинарные отношения обладают свойством транзитивности

Бинарные отношения в общем случае обладают свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, связности.

1. Рефлексивное отношение – отношение , в котором для любого выполняется

.

Другая запись такого отношения .

Главная диагональ матрицы такого отношения содержит только единицы.

Примером рефлексивного отношения является отношение «подобие треугольников, заданное на множестве всех треугольников евклидовой плоскости»: каждый треугольник подобен себе самому;

– отношения « » и «иметь общий делитель».

2. Антирефлексивное отношение – отношение , в котором ни для какого не выполняется

или .

Главная диагональ матрицы такого отношения содержит только нули.

Примером антирефлексивного отношения является отношение «перпендикулярность прямых, заданных на множестве всех прямых евклидовой плоскости»:

– никакая прямая не перпендикулярна себе самой;

– отношения «<» и «быть сыном».

Отношение «быть симметричным относительно оси » не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным: точка плоскости симметрична сама себе, если она лежит на оси и несимметрична сама себе в противном случае.

3. Симметричное отношение – отношение , в котором для пары

из следует или .

Иначе говоря, для любой пары отношение симметричности выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще. Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали: для любых и . Для симметричного отношения .

Примером симметричного отношения является отношение «быть симметричным относительно оси », которое является симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой;

отношение «проживать в одном доме», заданное на множестве всех жителей некоторого города: если живет в одном доме с , то живет в одном доме с .

4. Антисимметричное отношение – отношение ,в котором для

пары из и следует, что или

.

Примером антисимметричного отношения является отношение « », заданное на множестве действительных чисел: действительно, если , и , то .

5. Транзитивное отношение – отношение ,в котором для любых

из и следует или

.

Примером транзитивного отношения являются отношения «равенство», « », «жить в одном городе»: действительно если ; если ; если и живут в городе и и живут в городе , то и также живут в городе .

Отношение «быть сыном» нетранзитивно: если является сыном и является сыном то это не значит, что является сыном . Отношение «пересекаться», то есть «иметь непустое пересечение», заданное на системе множеств, также нетранзитивно. Например, пересекается с , пересекается с , однако и не пересекаются.

Транзитивное замыкание отношения. Транзитивное замыкание отношения – это отношение , которое определяется следующим образом: , если в существует цепочка из элементов , в которой между соседними элементами выполнено отношение : .

Если транзитивно, то . Действительно, если , то(цепочка состоит из двух элементов и ), поэтому . Если же , тосуществует цепочка . Но так как транзитивно, то , поэтому . Из включения в обе стороны следует .

Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком», являющееся объединением отношений «быть сыном», «быть внуком», «быть правнуком» и т.д. Транзитивным замыканием отношения «иметь общую стену» для жильцов дома является отношение «жить на одном этаже».

6. Связное (полное) отношение – отношение , в котором для пары

из следует или ,

или .

Примером связного (полного) отношения является отношение «быть старше», заданное на множестве родных братьев и сестер некоторой семьи: если , то либо старше , либо старше .

Рассмотренные свойства можно определить с помощью выражений:

1. , 2. , 3. , 4. ,

5. (где – композиция отношений), 6. .

Если даны два отношения и , то операции над этими отношениями сводятся к операциям над ними, аналогичные операциям над множествами:

объединению ; пересечению ; разности ; симметрической разности . Дополнение отношения ( ) будет равно .

На основании приведенных выше свойств отношений можно дать им ряд определений.

Отношение частичного порядка – отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение линейного порядка – отношение частичного порядка, которое связно.

Отношение строгого порядка – отношение, которое антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение строгого линейного порядка – связное отношение строгого порядка.

В теории множеств важную роль играют два вида специальных бинарных отношений: эквивалентности и порядка, прообразами которых являются понятия равенства, предшествования и предпочтения.

Рефлексивные и иррефлексивные бинарные отношения

В этой лекции дана определенная классификация бинарных отношений на множестве. В основе этой классификации лежат специальные свойства отношений.

Бинарное отношение на множестве называют рефлексивным, если диагональ множества содержится в , т.е. для любого элемента множества .

Если же , то бинарное отношение на множестве называют иррефлексивным.

Указанные свойства бинарных отношений на множестве называют рефлексивностью и иррефлексивностью.

Бинарные отношения равенства и подобия на множестве геометрических фигур рефлексивны: каждый треугольник равен самому себе и подобен самому себе. На самом деле рефлексивны все отношения равенства: равенство чисел, равенство векторов, равенство множеств и т.п. Также рефлексивными являются, например, бинарное отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел, поскольку для любого числа всегда , и отношение включения множеств, так как для любого множества всегда .

Напротив, бинарное отношение на множестве действительных чисел, задаваемое строгим неравенством , иррефлексивно, равно как и отношение строгого включения множеств.

Не следует путать иррефлексивное отношение с нерефлексивным, т.е. не являющимся рефлексивным, отношением. Иррефлексивное отношение нерефлексивно, но не всякое нерефлексивное отношение иррефлексивно. Иррефлексивному отношению на не принадлежит ни один элемент диагонали , а нерефлексивное отношение может содержать некоторые (но не все!) элементы диагонали. На рис. 1.7 приведены примеры графиков иррефлексивного и нерефлексивного отношений (пунктиром указаны диагонали множеств).

Симметричные и антисимметричные бинарные отношения

Бинарное отношение на множестве называют:

1) симметричным, если для любых из следует ;
2) антисимметричным, если для любых из одновременной справедливости и следует, что .

Соответствующие свойства бинарных отношений на множестве называют симметричностью и антисимметричностью.

График симметричного бинарного отношения на множестве симметричен относительно диагонали (рис. 1.8).

Теорема 1.1. Бинарное отношение на множестве симметрично, если и только если бинарное отношение на множестве , обратное к , совпадает с .

Пусть , то есть . Тогда, в силу симметричности . Следовательно, . Аналогично доказывается включение .

Теперь пусть . Тогда и . Из определения обратного отношения вытекает, что . Следовательно, — симметричное бинарное отношение.

Теорема 1.2. Бинарное отношение на множестве антисимметрично, если и только если .

Действительно, если , то и (т.е. ). Но из выполнения соотношений и ввиду антисимметричности следует, что , то есть .

Обратно, пусть . Предположим, что и , причем . Тогда и , но . Получаем противоречие.

Отметим, что для антисимметричного бинарного отношения на множестве может иметь место равенство .

Все бинарные отношения в геометрии типа равенства или подобия симметричны. Так, если треугольник подобен треугольнику , то и второй из этих треугольников подобен первому. Бинарные отношения неравенства чисел и включения множеств, как строгие, так и не строгие, антисимметричны.

Бинарное отношение на множестве называют транзитивным, если для любых из того, что и , следует . Соответствующее свойство бинарного отношения называют транзитивностью.

Пример 1.12. а. Пусть — некоторое множество населенных пунктов. Зададим на нем бинарное отношение достижимости: из пункта достижим пункт , если есть дорога, по которой можно доехать из в . Это отношение транзитивно, поскольку если из пункта можно доехать до пункта , а из есть дорога до , то из можно проехать в .

б. Бинарные отношения равенства и подобия в геометрии являются транзитивными: если треугольник подобен треугольнику , а этот последний подобен треугольнику , то первый треугольник подобен третьему.

в. Бинарное отношение неравенства на множестве действительных чисел не транзитивно, так как из того, что и , вовсе не следует, что . Аналогично, если друг , а друг , то — вопреки известной поговорке — это не означает, что друг .

Транзитивность бинарного отношения

Докажем следующее важное свойство транзитивного бинарного отношения.

Теорема 1.3. Бинарное отношение на множестве транзитивно тогда и только тогда, когда его квадрат содержится в нем, т.е. .

Пусть бинарное отношение на множестве транзитивно и . В силу определения композиции бинарных отношений на множестве существует такой элемент , что и , откуда ввиду транзитивности получаем , то есть , а значит, .

Обратно, пусть бинарное отношение на множестве таково, что , а и . Тогда в силу определения композиции бинарных отношений на множестве имеем . Поскольку , то . Таким образом, из того, что и , следует, что , т.е. бинарное отношение на множестве транзитивно.

Доказанное свойство целесообразно использовать для проверки транзитивности бинарного отношения на некотором множестве в тех случаях, когда построение квадрата является более легкой задачей по сравнению с исследованием свойства транзитивности на основе определения.

Плотное бинарное отношение

Бинарное отношение на множестве называется плотным, если для любых , отличных друг от друга и таких, что , найдется , отличный и от и от , такой, что и .

Образно говоря, для любой пары элементов, связанных плотным отношением, всегда найдется третий элемент, который “встраивается между ними” и связан с каждым из них тем же отношением. Так, отношения неравенства (строгого и нестрогого) на множествах рациональных и действительных чисел плотны, но аналогичные отношения на множествах целых и натуральных чисел плотными не являются. В самом деле, каковы бы ни были рациональные (или действительные) числа и , из того, что , следует, что существует число , отличное как от , так и от , такое, что . Например, подходит число . Но для целых чисел и такого “промежуточного” целого числа нет.

Если — плотное бинарное отношение на множестве и для некоторых имеет место , то найдется , такой, что и . Отсюда в силу определения композиции отношений следует, что . Значит, из следует , то есть .

Итак, если плотно, то оно содержится в своем квадрате. Напомним, что для транзитивного бинарного отношения . Следовательно, если бинарное отношение одновременно плотно и транзитивно, то .

Классы бинарных отношений

Среди всех бинарных отношений на произвольном множестве выделяют классы отношений в зависимости от свойств, которыми эти отношения обладают.

Бинарное отношение на некотором множестве называют:

1) эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;
2) толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично;
3) порядком (или частичным порядком), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно;
4) предпорядком (или квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно;
5) строгим порядком, если оно иррефлексивно, антисимметрично и транзитивно;
6) строгим предпорядком, если оно иррефлексивно и транзитивно.

Определенные выше бинарные отношения называют отношениями эквивалентности, толерантности, порядка (частичного порядка), предпорядка (квазипорядка), строгого порядка, строгого предпорядка.

Пример 1.13. а. Бинарное отношение параллельности двух прямых или двух плоскостей в евклидовой геометрии, если считать каждую прямую (плоскость) параллельной самой себе, есть отношение эквивалентности.

б. Бинарное отношение на множестве всех непустых подмножеств некоторого множества , для которого тогда и только тогда, когда , является толерантностью. Это отношение рефлексивно и симметрично, но не транзитивно. Действительно, из того, что и , никак не следует, что (рис. 1.9).

в. Примером отношения порядка является естественный числовой порядок, т.е. отношение неравенства на любом числовом множестве.

Часто это отношение называют просто естественным порядком. Поскольку в дискретной математике нам приходится иметь дело со многими порядками на нечисловых множествах, мы все время будем говорить „естественный числовой порядок”, подчеркивая тем самым, что речь идет об отношении порядка на множестве действительных чисел (или об его ограничении на множества рациональных, целых или натуральных чисел).

г. На множестве натуральных чисел зададим бинарное отношение , означающее, что делит ( является делителем ). Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителем самого себя. Покажем антисимметричнсть. Пусть делит и в то же время делит . Тогда найдется натуральное число , такое, что , и найдется , такое, что . Отсюда , что на множестве натуральных чисел возможно только при . Следовательно, . Покажем транзитивность. Если делит , а делит , то найдутся натуральные числа , такие, что и . Отсюда имеем , т.е. — делитель . Таким образом, “отношение делимости” на множестве является отношением порядка.

Если распространить это отношение на множество целых чисел, то оно будет уже только предпорядком, поскольку теряется свойство антисимметричности. Например, 2 делится на –2 и –2 делится на 2, однако .

д. Рассмотрим множество всех подмножеств множества . Покажем, что отношение включения на множестве есть порядок. Это отношение рефлексивно, так как для любого множества справедливо включение . Поскольку для любых двух множеств и из и следует, что , рассматриваемое отношение антисимметрично. Из определения включения вытекает, что если и , то . Следовательно, отношение транзитивно.

е. Отношение строгого неравенства на числовом множестве, равно как и отношение строгого включения множеств, есть отношение строгого порядка.

ж. В качестве примера отношения строгого предпорядка можно привести отношение “строгой достижимости” на некотором множестве населенных пунктов: пункт считаем строго достижимым из отличного от него пункта , если есть дорога (автомобильная, железная и т.п.) из в , причем принимается, что никакой пункт не является строго достижимым из себя самого.

Связь между классами бинарных отношений

Отношения толерантности, эквивалентности, предпорядка и порядка — важнейшие в современной математике. Связь между этими четырьмя классами бинарных отношений показана на рис. 1.10. Можно сказать, что эквивалентность есть транзитивная толерантность или симметричный предпорядок. Порядок же есть антисимметричный предпорядок.

Для любого бинарного отношения можно построить отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда или существует последовательность , такая, что и для каждого выполняется . В частности, если , то есть , то это означает, что приведенное условие выполняется при . Следовательно, , то есть .

Отношение называют рефлексивно-транзитивным замыканием бинарного отношения на соответствующем множестве.

Можно также обозначить , и тогда .

Отношение является рефлексивным, так как . Докажем его транзитивность. Пусть для каких-то выполняется и . Докажем, что . Будем считать, что элементы попарно различны (так как при или доказывать нечего). Тогда существуют последовательности

и ,

такие, что для каждого и для каждого .

В итоге получаем последовательность

, где ,

для всякого , для всякого , такую, что для любого , то есть , что и требовалось доказать.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.