Какие бывают свойства арифметических действий
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Цель:
- закрепить знания учащихся о свойствах сложения
и умножения; арифметические действия с нулем и
натуральными числами; - формировать вычислительные навыки, умение
решать задачи, уравнения; - развивать познавательную активность,
математическую смекалку, творческое мышление
учащихся; - воспитывать бережное отношение к природе,
чувство ответственности за окружающий мир.
Оборудование: интерактивная доска,
картинки с заданиями, слайдовая презентация
урока.
ХОД УРОКА
I. Организация урока. Психологический
настрой
Итак, друзья, внимание!
Вновь прозвенел звонок.
Садитесь поудобнее
Начнем сейчас урок.
– Я рада видеть ваши красивые лица, ваши улыбки
и уверена этот урок вам принесет радость и новые
знания.
II.Сообщение темы урока.
– Сегодня мы закрепляем знания об
арифметических действиях и их свойствах, и вы
расширите свои знания о природе и ее обитателях.
III.Оформление тетрадей.
IV. Игра «Секрет». Устный счет
– Хотите узнать о ком будем говорить на уроке?
Тогда внимание.
Слайд 2.
Пчела 55.
Кузнечик 62.
Муравей 56.
– У этого насекомого темное тело, достигающее в
длину почти 2 см., со светлыми щетинистыми
полосками, крылья прозрачные, слегка бурые. На
задних лапках имеются приспособления для сбора
цветочной пыльцы. Чтобы собрать полстакана меда
пчеле нужно облететь 1 млн. цветов. Пчела может
ужалить лишь один раз в своей жизни. Ее жало
усеяно зазубринами, и пчеле очень трудно его
убрать после укуса назад из-за этого она и
погибает.
– Муравей распространенное насекомое. Живут
они везде: в сыпучих песках пустыни, в степях, на
морских побережьях, на высокогорных склонах и
проникают даже в жилые дома. Но в основном они
живут в своем гнезде под землей или в гнилых пнях
деревьев.
– Кузнечика можно обнаружить в траве уже в
начале лета. Стрекотание кузнечика вызывается
тем, что кузнечик трет друг о друга свои крылышки.
Питаются кузнечики растительной пищей, мелкими
насекомыми и их личинками.
– О ком из этих насекомых будем говорить на
уроке узнаете выполнив задание.
- Из верхней строчки выберите наименьшее число.
- Из средней строчки выберите наибольшее число.
- Из нижней строчки выберите не наименьшее и не
наибольшее число. - Сложите их (56).
– О ком будем говорить? Верно о муравьях. И у нас
есть уникальная возможность сейчас на уроке
понаблюдать за муравьями.
Слайд 3. Видеоролик о муравьях. (Приложение 1)
V. Игра «Добыча муравья»
– Среди муравьев есть разведчики. Нашел
муравей добычу и созывает к ней собратьев. А
найти добычу от дома и обратно помогают метки.
Это капельки пахучей жидкости, которой муравей
отмечает свой путь.
Слайд 4.
– Посчитав правильно мы узнаем, что нашел
муравей.
28 – 14 + 106 : 20 * 100 + 40 : 8 = 80
– Что же он нашел?
– Муравьи очень трудолюбивы. Слайд
5. За одну минуту муравьи приносят в
муравейник 20 насекомых. А сколько насекомых
принесут за 1 час муравьи?
20 * 60 = 1200 насекомых.
– А какую пользу приносят муравьи? (Уничтожают
вредных насекомых, улучшают почву, рыхля и
удобряя ее).
Слайд 6.
VI. Игра «Найди ошибку»
– Посмотрите внимательно на экран, найдя
ошибку и исправив ее, вы узнаете сколько лет на
земле живут муравьи.
17 : 17 =
1
150000000 : 1 = 1
4 : 7 = 0 (ост. 4) 13988 + 1 = 13989
0 * 12148 = 0 10000 –
1 = 9999
Слайд 7.
– Повторяем законы сложения и умножения.
Внимание на экран.
34 + 8 = 8 +
34
(переместительный)
60 + 18 + 2 = 60 + (18 + 2) (сочетательный)
12 * 7 = 7 *
12
(переместительный)
(9 * 10) * 6 = 9 * (10 * 6)
(сочетательный)
(10 + 4) * 5 = 20 * 5 + 4 * 5 (распределительный)
– На партах есть карточки с заданием. Вычислим,
наиболее удобным способом, применяя законы
сложения и умножения.
VII. Комментированное управление
(200 * 18) * 5 = (200 * 5) * 18 = 18000
(400 + 8) * 3 = 400 * 3 + 8 * 3 = 1224
654 + 2812 + 346 + 88 = (654 + 346) + (2812 + 88) = 3900
Класс ведет…
Слайд 8.
VIII. Решение задачи
Одна муравьиная семья за 6 часов уничтожает 16500
гусениц. Сколько гусениц уничтожит семья за 13
часов?
6 часов – 16500 гусениц.
16 часов – ?
16500 : 6 = 2750 гусениц за 1 час.
2750 * 13 = 35750 гусениц.
– Можем сразу ответить на вопрос задачи? Чего
не знаем?
Не зря муравьев называют санитарами леса.
IX. Физминутка
– Отдыхаем.
Нужно быстро поморгать,
Глаза прикроем, но не спать! (пауза).
Глаза открыли!
Смотрим влево, смотрим вправо,
Пальцы мы к глазам подносим,
Смотрим в точку секунд восемь (пауза).
Вправо и вниз взглянем дружно,
Это глазкам очень нужно.
Слайд 9.
X. Решение уравнения
– Муравейник – дом муравьиной семьи. Главные в
доме царицы, они приносят потомство. Охраняют их
муравьи – трутни. Остальные – рабочие.
Муравейники устроены сложно, многочисленные
входы, которые охраняют рабочие муравьи.
Открывают их и открывают в зависимости от погоды
и времени суток. А зимует вся муравьиная семья в
подземной части дома – там не так холодно.
– А сколько лет могут стоять муравейники на
одном месте вы узнаете, решив уравнение:
420 + Х = 753 – 233
420 + Х = 520
Х = 100
Муравейники разорять нельзя!
– Лучшее средство сохранить муравейник –
огородить его. Так мы спасем муравьев от зверей,
которые иногда не прочь полакомиться этими
насекомыми.
XI. Работа в группах
– У каждого на парте геометрическая фигура.
Образовали группы, согласно этим фигурам.
Слайд 10.
Ребята огородили муравейник, изгородь имеет
форму прямоугольника , длина изгороди 120 см.,
ширина изгороди 110 см.
S – ?
P – ?
Р = (120 + 110) * 2 = 440 см.
S = (120 * 110 = 13200) см2.
Найдите площадь и периметр получившейся
изгороди.
XII. Самостоятельное решение уравнение
– А это уравнение решите самостоятельно.
Х * 2 = 112 : 8
Х * 2 = 14
Х = 7
Чему равен Х? Х = 7.
– Столько лет не покладая лапок трудится
рабочий муравей.
Слайд 11.
– Вы знаете, что у муравья 6 лапок, есть глаза, но
нет органов слуха. Пара усиков помогает муравьям
различать запахи и ориентироваться в
пространстве.
В муравейнике 1805106 лапок.
Запишите это число, разложим его на сумму
разрядных слагаемых. А теперь узнайте сколько
муравьев?
1805106 : 6 = 300851
– Кто решил, помогаем соседу, знаем: Помогая
другим – учимся сами.
– А как узнать сколько усиков?
300851 * 2 = 601702 усика.
Слайд 12.
– А знаете ли вы, что не будь муравьев, которые
являются единственными опылителями какао, мы
никогда не смогли бы попробовать шоколад.
Спасибо муравьям – все получают шоколад!
XIII. Рефлексия
– А сейчас свои впечатления.
– Доволен ли ты как прошел урок?
– Было ли вам интересно?
– Что вызвало затруднение?
– Какая работа на уроке особенно понравилась? (Быстро,
четко, несколько слов).
XIV. Итог урока
Слайд 13.
– Все старательно работали! Молодцы!
Оценки.
– Вы закрепили свои знания по математике и
расширили свои знания по экологии. Охрана
природы – одна из основных обязанностей
человека. Будем природе друзьями!
– ВСЕМ СПАСИБО!
Источник
| № | Название свойства (правила) | Математическая запись | Формулировка свойства (правила) |
| Переместительное свойство сложения | А + В = В + А | От перестановки слагаемых значение суммы не меняется (о перестановке слагаемых) | |
| Прибавление нуля | А + 0 = А | ||
| Сочетательное свойство сложения | (А + В) + С = А + (В + С) | Если при сложении нескольких чисел сумму рядом стоящих слагаемых заменить её значением, значение общей суммы не изменится (о группировке слагаемых, о перестановке скобок) | |
| Переместительное свойство умножения | А * В = В * А | От перестановки множителей значение произведения не изменится (о перестановке множителей) | |
| Умножение единицы и на единицу, деление на единицу | 1 * А = А А * 1 = А А : 1 = А | ||
| Умножение нуля и на нуль | 0 * А = 0 А * 0 = 0 | ||
| Сочетательное свойство умножения | (А * В) * С = А * (В * С) | Если при умножении нескольких чисел произведение рядом стоящих множителей заменить его значением, значение общего произведения не изменится (о группировке множителей, о перестановке скобок) | |
| Невозможность деления на нуль | А : 0 | ||
| Распределительное свойство умножения относительно сложения | А*(В + С) = А* В + А* С (А + В)*С = А*С + В*С | Значение произведения суммы на число не изменится, если на него умножить каждое слагаемое и полученные результаты сложить | |
| Распределительное свойство умножения относительно вычитания | А* (В – С) + А*В – А*С (А – В)*С = А*С – В*С | ||
| Монотонность сложения | А = В А + С = В + С | ||
| Монотонность умножения | А = В А*С = В*С |
Приложение № 3
Программа М.И. Моро и др. УМК «Школа России», 2класс, концентр «Сотня», раздел: «Арифметические действия», тема: «Умножение и деление»
Логико–математический анализ темы урока: «Деление»
1.Определения смысла деления с позиции математики
В курсе математики существуют различные трактовки конкретного смысла действия деления. Это связано с тем, что трактовки определений смысла деления могут основываться на различных математических теориях: аксиоматической, теории множеств, теории скалярных величин. Рассмотрим эти определения:
а) при аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление определяется как операция, обратная умножению. Поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если a*b=c, то, зная произведение c и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.
Определение: Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a: b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.
б) с точки зрения теории множеств деление чисел связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).
Определение: Если a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:
b – число элементов в каждом подмножестве, то частное a: b – это число таких подмножеств;
b – число подмножеств, то частное a: b – это число элементов в каждом подмножестве.
в) с точки зрения теории скалярных величин деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более крупной.
Определение: если натуральное число a – мера величины X при единице величины E , а натуральное число b – мера новой единицы величины E1 при единице величины E , то частное a: b – это мера величины X при единице величины E1:
a: b=mE(X): mE(E1)=mE1(X)
2. Анализ методического подхода к изучению конкретного смысла деления в начальном курсе математики
В программе М.И.Моро и др. УМК «Школа России» при изучении конкретного смысла деления за основу берется теоретико – множественный подход. С точки зрения этого подхода конкретный смысл деления раскрывается как связь между операцией разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления. Изучение смысла действия деления осуществляется последовательно через анализ младшими школьниками разного рода ситуаций, связанных с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. Сначала ученикам предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с заданным числом элементов и неизвестным количеством этих подмножеств (на примерах задач на деление по содержанию). Затем, предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с неизвестным числом элементов и заданным количеством этих подмножеств (на примере задач на деление на равные части). В учебнике не дается явного определения смысла деления, авторы используют контекстуальный способ неявного определения (через анализ ситуаций). Такой способ определения позволяет учащимся понять, что деление – это арифметическое действие, которое связано с разбиением групп предметов поровну (на равные части). При ознакомлении со смыслом деления используется индуктивный путь познания, поэтому чтобы ученики смогли выделить и понять существенные признаки деления необходимо рассмотреть достаточное количество разнообразных ситуаций.
Психолого – дидактический анализ знания
Предмет усвоения: знание конкретного смысла деления
Существенные признаки:
Термин: деление
Родовое отношение: арифметическое действие
Видовой признак: действие, связанное с разбиением групп предметов поровну (на равные части)
Несущественные признаки:
фабула (сюжет рассматриваемых ситуаций),
числовые характеристики (число элементов множества, число элементов в каждом из равночисленных подмножеств, количество подмножеств)
Средства усвоения:
знания: конкретного смысла вычитания, конкретного смысла умножения;
умения: практически выполнять операцию разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и находить численность разбиения.
Этап усвоения: восприятие, осмысление
Действие, направленное на формирование знания конкретного смысла деления:
умение устанавливать связь между операцией разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления.
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 3052 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org – Контакты – Последнее добавление
Источник