Какие бывают свойства действий
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Тема:Свойства действий над числами
Цели урока: вспомнить и повторить свойства действий над числами. В течение урока развивать у учащихся навык записывать свойства при помощи буквенных равенств. знать; уметь
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)
Сложение
a, b – числа, над которыми выполняется сложение, с – результат сложения
3. Новый материал. (12 мин.)
Сложение многозначных чисел производится поразрядно.
Пример: 9067542 + 34981 = 9102523
Законы сложения.
1) переместительный: a + b = b + a;
Пример. 310 + 1454 = 1454 + 310. Каким бы мы способом не складывали результат будет равен 1764.
2) сочетательный: (a + b) + c = a + (b + c);
Пример: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;
3) закон сложения числа с нулём: а + 0 = а.
Вычитание
a (уменьшаемое) – b (вычитаемое) = c (разность)
Пример: 42397 – 17963 = 24434
Свойства действий вычитания:
1) закон вычитания из суммы числа:
(a + b) – c = (a – c) + b, если а > c или a = c;
2) закон вычитания из числа суммы:
a – (b + c) = (a – b) – c;
3) закон вычитания из числа числа:
а – а = 0
4) закон вычитания из числа нуля:
а – 0 = а
5) закон вычитания из суммы суммы:
(a + b) – (c + d) = ;
Задача как пример действий сложения и вычитания
Вычислите удобным способом:
1) (4981 – 2992) – 808;
2) (3975 + 5729) – (5729 + 975).
Решение
Применяем 2-й и 5-й законы вычитания:
1) (4981- 2992) – 808 = 4981 – (2992 + 808) = 4981 – 3800 = 1181;
2) (3975 + 5729) – (5729 + 975) = (3975 – 975) + (5729 – 5720)= 3000 + 0 = 3000
Умножение
Умножить число а на число b (b>1)- значит найти сумму b слагаемых (каждое слагаемое равно а).
a x b= а + а + … + а
Если b = 1, то а x 1 = a.
a (первый множитель) x b (второй множитель) = c (произведение)
Например: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 х 3 + 34 х 2 = 171 + 68 + 239
Законы умножения
1) переместительный: a x b = b x a;
Пример. 15 х 110 = 110 х 15.
2) сочетательный: (a x b) x c = a x (b x c);
Пример: (9 х 30) х 10= 9 х (30 х 10) = 9 х 300= 2700;
(65 х 25) х 44 = (25 х 65) х 44 = 25 х (65 X 44)=25 х 2860 = 71500.
3) умножение на ноль:0 x a = 0;
Пример: 0 х 10 = 0.
4) распределительный закон умножения относительно действия сложения (вычитания):
a x (b + c) = a x b + a x c;
Задачи как пример действия умножения
Задача 1. Вычислить удобным способом:
1) (37 х 125) х 8;
2) 49 х 84 + 49 х 83 – 49 х 67.
Решение
1) (37 х 125) х 8 = 37 х (125 х 8) = 37 х 1000 = 37000;
2) 49 х 84 + 49 х 83 – 49 х 67 = 49 х (84 + 83 – 67) = 49 х 100 = 4900.
Задача 2. 1 квт/ч стоит 12 руб. Электрический утюг за 1 ч работы расходует 2 квт/ч. Утюгом два дня гладили бельё: в первый день- 3 ч, во второй- 2ч. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная за два дня? Задачу решите сами, а мы дадим только ответы: за 3 ч- 72руб; за 2ч- 48руб.
Деление
а (делимое) : b (делитель) = с (частное)
Законы деления:
1) а : 1 = а, так как а х 1 = а;
2) 0 : а =0, так как 0 х а = 0;
3) на 0 нельзя делить!
2224222 : 2222 = 1001
Закон деления суммы (разности) на число:
1) (а + b) : с = а : с + b : с, с не равно 0;
2) (а – b) : с = а : с -b : с, с не равно 0;
Пример: (4800 + 9300) : 300 = 4800 : 300 + 9300 : 300 = 16 + 31 + 47.
Закон деления произведения на число:
(а х b) :с = (а : с) х b = (b : с) х а, с не равно 0.
Пример: (125 х 27) : 25 = (125 : 25) х 27 = 5 х 27 = 135.
Свойства действий над числами
Переместительное и сочетательное свойство гласит, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольно объединять их в группы (от перемены мест слагаемых сумма не меняется!).
Распределительное свойство справедливо тогда, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
4. Закрепление нового материала. (18 мин.)
5. Итоги урока. (3 мин.)
6. Домашнее задание. (2 мин.)
Источник
Свойства действий над числами
Основные свойства сложения и умножения чисел.
Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство
a+b=b+a
Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство
(a+b)+c=a+(b+c)
Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство
ab=ba
Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Для любых чисел а, b и c верно равенство
(ab)c=a(bc)
Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство
a(b+c)=ab+ac.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.
Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 2 Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.
Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.
Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:
a-b=a+(-b).
Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.
Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.
Пример 4 Вычислим произведение 36·().
Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Тождества
Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.
Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:
2x+y=2·1+2=4;
2xy=2·1·2=4.
Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то
2x+y=2·3+4=10,
2xy=2·3·4=24.
Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.
Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Можно привести и другие примеры тождеств:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Тождественные преобразования выражений
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.
Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).
Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Применив указанные свойства действий, получим:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Источник
Числа. Чтение, сравнение
1. Цифры – это знаки, при помощи которых записываются числа. Существует всего 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Числа, которые применяются при счёте, называются натуральными. Ряд натуральных чисел можно продолжать бесконечно. Не существует наибольшего натурального числа.
3. Число 0 (нуль) не является натуральным числом.
4. Наименьшее натуральное число – 1 (единица).
5. Нуль и все натуральные числа, называются целыми неотрицательными числами.
6. Числа бывают однозначные (1,2,3,4,5,6,7,8,9), двузначные (10,11,12,… … 97,98,99), многозначные 9трёх – , четырёх – , пяти – , шести и так далее).
7. При записи чисел значение цифры зависит от её места. Она может обозначать единицы, десятки, сотни и т.д. Это десятичная система счисления.
8. Для чтения многозначных чисел их делят, начиная справа по 3 цифры. Эти тройки цифр называются классами.
3 класс – миллионов | 2 класс – тысяч | 1 класс единиц | ||||||
| сотни мил-лионов | десят-ки мил-лионов | едини-цы мил-лионов | сотни тысяч | десят-ки тысяч | едини-цы тысяч | сотни | десят-ки | едини-цы |
| 9 разряд | 8 разряд | 7 разряд | 6 разряд | 5 разряд | 4 разряд | 3 разряд | 2 разряд | 1 разряд |
9. Если в числе отсутствует какой-то разряд, то его запись заменяют 0, если отсутствует какой-то класс, то заменяют тремя нулями.
10. Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых выглядит так: 236591 = 200000+30000+6000+500+90+1
11. Если к названию числа добавляют слово «десяток», то для записи числа надо добавить один ноль. 5 дес. – 50. Если к названию числа добавляют слово «сотня», то для записи числа надо добавить два ноля. 5 сот. – 500. Тысяча – три ноля, десятки тысяч – четыре ноля и т.д.
12. Сравнение многозначных чисел
a. можно проводить по занимаемому месту в натуральном ряду. Например, в ряду чисел 456, 457, 458, 459, 460, 461меньше то, которое стоит левее, больше то, которое стоит правее.
b. по соответствующим разрядам. Больше число, в котором больше разрядных единиц. (23456 больше 6789). Если количество разрядов равно, то сравнивают, начиная с высших разрядов.
c. Чтобы определить полное количество десятков в числе, надо зачеркнуть последний знак (единицы).
d. В числе 6758 – 675 десятков.
Чтобы определить количество сотен, надо зачеркнуть два знака 6758 – 67 сотен
13. Помимо десятичной системы счисления существуют другие системы, у которых каждый знак характеризует только одно число. Примером может служить римская система счисления. В ней при записи числа применяются буквы латинского алфавита.
Для записи целых чисел в римской нумерации используются семь основных чисел:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Примеры записи римских цифр.
1- I
2 – II
3 – III
4 – IV
5 – V
6 – VI
7 – VII
8 – VIII
9 – IX
10 – X
11 – XI
12 – XII
13 – XIII
14 – XIV
15 – XV
16 – XVII
17 – XVII
18 – XVIII
19 – XIX
20 – XX
21 – XXI
30 – XXX
40 – XL
50 – L
60 – LX
70 – LXX
80 – LXXX
90 – XC
99 – XCIX
100 – C
102 – CII
400 – CD
500 – D
800 – DCCC
900 – CM
Арифметические действия и их свойства.
Сложение
3+5=8
Знак +(плюс), действие- сложение, 3 – первое слагаемое,
5- второе слагаемое, 3+5 – сумма, 8 – значение суммы.
Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.
Вычитание
9-4=5
Знак-(минус), действие – вычитание, 9 – уменьшаемое,
4 – вычитаемое, 9 – 4 – разность, 5- значение разности.
Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.
Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.
Умножение.
3•5=15
Знак •или х (умножить), действие- умножение, 3 – первый множитель,5- второй множитель, 3•5 – произведение, 15 – значение произведения.
Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.
Деление.
20:4 = 5
Знак (:) – разделить, действие деление.
20 – делимое, 4 – делитель, 20:4 это частное, 20 – значение частного
Если делимое разделить на частное, то получится делитель.
Если частное умножить на делитель, то получится делимое.
1. Сложение, вычитание, умножение и деление – это арифметические действия. Им соответствуют знаки «+», «-», «▪», «:».
2. Сложение и вычитание – взаимообратные действия, поэтому сложение проверятся вычитанием, а вычитание проверяется сложением.
3. Умножение и деление – взаимообратные действия, поэтому умножение проверяется делением, а деление умножением.
4. Сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением. 8+8+8+8+8+8+8 = 8▪7
5. Умножение одинаковых множителей можно заменить степенью (Квадрат – 2 и куб – 3) 9▪9 = 92, 5▪5▪5 = 53
6. Чтобы посчитать чему равен квадрат или куб числа, надо записать его в виде умножения одинаковых множителей.
72 = 7▪7 63 = 6▪6▪6
Свойства и законы арифметических действий.
1. Переместительный закон сложения. От перестановки слагаемых, значение суммы не меняется. a + b = b + a
2. Переместительный закон умножения. От перестановки множителей, значение произведения не меняетсяa▪b = b▪a
3. Сочетательный закон сложения. Для того, чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить значение суммы второго и третьего числа. или Два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
(a + b) + c = a + (b + c) = b + (a + c)
4. Сочетательный закон умножения Для того, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на значение произведения первого и третьего числа или Два соседних множителя можно заменить их произведением.(a ▪ b) ▪ c = a ▪ (b ▪ c) = b ▪ (a ▪ c)
5. Распределительный закон умножения, относительно сложения. Для того, чтобы умножить сумму на число, надо это число умножить на каждое слагаемое, а произведения сложить. (a + b) ▪ c = a ▪ c + b ▪ c
6. Распределительный закон умножения относительно вычитания.Для того, чтобы умножить разность на число, надо это число умножить на каждое число в скобках и из первого произведения вычесть второе. (a – b) ▪ c = a ▪ c – b ▪ c
7. Вынос числа за скобки. Используя распределительное свойство умножения, можно вынести общий множитель за скобки.a ▪ c + b ▪ c = c ▪ (a + b) или.a ▪ c – b ▪ c = c ▪ (a – b)
Свойства арифметических действий.
Свойства 0 (нуля)
1. Если числу прибавить или из числа вычесть ноль, то получится тоже самое число.
2. Если вычесть число из такого же числа, то получится 0
3. Если любое число умножить на 0, то получится 0
4. Если 0 разделить на любое число, то получится 0
5. Делить на 0 – нельзя!
Свойства 1 (единицы)
1. Прибавить к числу единицу – значит назвать следующее число (последующее)
2. Вычесть из числа единицу – значит назвать предыдущее число.
3. Если число умножить или разделить на единицу, то получится то же самое число.
4. Если число разделить на само себя, то получится единица.
Действия над числами.
1. При сложении и вычитании многозначных чисел, а так же при записи столбиком, необходимо единицы писать под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д. и складывать или вычитать единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т.д.
2. Все вычисления начинаются с единиц.
3. Если при сложении какого-либо разряда получается двузначное число, то в результат записывают единицы этого числа, а десятки переходят в следующий разряд.
4. Если при вычитании недостаточно единиц какого-либо разряда, то занимаем в большем разряде.
5. Если многозначные числа оканчиваются нулями, то при записи столбиком примеров на умножение, нули не учитываются. После выполнения вычислений их все дописывают в конце результата.
6. Если при делении делимое меньше делителя, то частное равно 0, а делитель переходит в остаток.
7. При делении с остатком остаток должен быть меньше делителя.
Выражения.
Выражения бывают числовые и буквенные.
1. Числовые выражения записываются с помощью чисел, знаков действий и скобок. Чтобы найти значение выражения, достаточно выполнить указанные действия.
2. Буквенные выражения записываются с помощью букв, чисел, знаков действий и скобок. Для того, чтобы найти значение буквенного выражения, необходимо подставить в выражение числовое значение буквы, а затем выполнить необходимые действия.
3. Для правильного чтения выражения определяют действие, которое должно быть выполнено последним. В выражении 45 + 56 : 8, последним выполняют сложение. Поэтому читают так: «Сумма числа 45 и частного 56 и 8»
4. При вычислении буквенного выражения, если это возможно, сначала упрощают выражение, применяя переместительные, сочетательные и распределительный законы.
Источник