Какие бывают свойства вычитания
Понятие действия
Вычитание — бинарная операция, результатом выполнения которой является число, называемое разностью. В действии участвуют два аргумента: один из них — уменьшаемое, а другой — вычитаемое. Ответ получается путем уменьшения значения одного аргумента на второй. Уменьшаемое располагается слева, а вычитаемое — справа. Обозначают операцию знаком минус, который ставят между двумя числами. По сути, уменьшение — это действие, обратное сложению.
При операции вычитания используют три термина:
- Разность — ответ, полученный после выполнения действия.
- Уменьшаемое — часть выражения, которое нужно уменьшить.
- Вычитаемое — определяет величину уменьшения.
Стоит отметить, что результат вычитания может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотреть процесс уменьшения удобно на примере:
Пусть в вазе лежит восемь яблок. Если три штуки забрать, то в вазе останется пять.
Математическая запись такого действия будет выглядеть как 8 — 3 = 5. В ней число восемь является уменьшаемым, три — вычитаемым, а пять — разностью (результатом). Произносится эта запись так: разность восьми и трёх равняется пяти.
Применение вычитание также позволяет сравнивать два числа. Пытаясь вычислить, какое число больше, а какое меньше, фактически определяют ту часть выражения, где находится больше единиц. Найти же, какое число больше или меньше другого, можно как раз вычитанием. Например для того чтобы узнать, насколько 50 меньше 80, нужно из последнего вычесть первое: 80 — 50 = 30. То есть второе число больше первого на тридцать единиц.
Так как уменьшение — это операция, обратная суммированию (прибавлению), то проверкой вычитания будет сумма. Пусть дано равенство: 66 — 13 = 43. Чтобы проверить его верность, можно к тринадцати (вычитаемому) прибавить разность (ответ). В результате должно получиться число, равное уменьшаемому. Для рассматриваемого примера проверка выглядит следующим образом: 13 + 43 = 66. Осуществить проверку можно и другим способом. Для этого необходимо уменьшаемое уменьшить на разность. Если после действия ответ совпадет с вычитаемым, то задание решено верно: 66 — 43 = 13.
Уменьшение многозначных чисел обычно выполняют в столбик. Для этого друг под другом пишут уменьшаемое и вычитаемое таким образом, чтобы разряды чисел находились строго один под одним. Затем проводят черту и, начиная с наименьшего разряда, выполняют минусование. Результат записывают под чертой.
Свойства уменьшения
Основная формула вычитания имеет следующий вид: a — b = c. При этом справедливыми будут утверждения: с + b = a и a — c = b. Числа, подставляемые в формулу, могут быть любыми, например натуральными, дробными, рациональными. Но вычитать можно только те аргументы, которые принадлежат одному множеству, то есть относятся к одному типу. Действие характеризуется несколькими важными свойствами:
- Вычитание нулевого элемента не изменит уменьшаемое. Если же уменьшается ноль, то в ответе получится вычитаемое с отрицательным знаком. Таким образом, при вычитании некого числа аргумент уменьшается на определенное число единиц. Если же из уменьшаемого отнять такое же число, то результатом будет ноль. Математические записи, описывающие эти свойства, следующие: a — 0 = a; a — a = 0; 0 — a = -a.
- При вычитании суммы из числа можно сначала вычесть из этого числа слагаемое, а затем из полученного результата отнять второе слагаемое: a — (b + c) = a — b — c. Аналогично можно поступить и для вычитания числа из суммы: (a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c).
- Чтобы сложить разность и число, можно прибавить уменьшаемое, а уже и из рассчитанной суммы вычесть вычитаемое: а + (b — c) = a + b — c.
Кроме этого, действие характеризуется антикоммутативностью — правило позволяет поменять аргументы местами, но при этом перед действием необходимо поставить знак минус, и дистрибутивностью — сочетанием умножения и вычитания. Других правил не бывает.
Если рассмотреть процесс на графике, то можно говорить, что происходит перенос числа по числовой прямой в левую часть. Следует отметить, что если действие выполняется с отрицательным числом, то получится операция сложения, так как минус на минус будет давать плюс. В этом случае результат сместится в правую часть. Важным является и то, что при вычитании переместительный закон, как для сложения или умножения, выполняться не будет. Действительно, очевидно, что 4 — 2 не будет равняться 2 — 4.
Этим базисным понятиям арифметики начинают обучать в 5 классе. Правила и свойства сложения и вычитания помогают довольно сильно облегчить ту или иную задачу. Так, чтобы вычесть сумму чисел из натурального аргумента, можно сначала найти сумму, а потом выполнить вычитание. Но, используя правило, может быть и удобнее сначала выполнить уменьшение, а потом разность прибавить к числу. Например, 38 — (28 + 7). Здесь проще сначала от тридцати восьми отнять двадцать восемь, а потом прибавить семь, чем сначала выполнять действие в скобках.
Простые примеры
Знание правил должно быть обязательно подкреплено практическим навыком. Поэтому как в школе, так и в видеоуроках после прослушивания лекции учащимся предлагается решить несколько примеров. Вначале школьники делают вычисления совместно с преподавателем, который должен рассказать, как лучше поступить в том или ином задании. Затем уже ученикам нужно попробовать самостоятельно порешать примеры. Для этого используют математические тренажеры.
Вот один из них, состоящий из 15 тестов и затрагивающий различные правила:
- 2 — 1 = 1;
- 35 — 5 = 30;
- 100 — 41 = 59;
- 700 — 545 = 155;
- 1 + 1 — 2 = 0 = 2 — 2 = 0;
- 345 — 0 = 345;
- 0 — 15 = -15;
- 12275 — 12275 = 0;
- 32 + 0 — 1 = 32 — 1 = 31;
- 139 — (10 + 39) = 139 — 39 + 10 = 100 + 10 = 110;
- (123 + 17) — 33 = (123 — 33) + 17 = 90 +17 = 107;
- (201 — 11 + 1379) — 1379 = (201 — 11) + (1379 — 1379) = 190 + 0 = 190;
- 545 — (402 — 35) = 545 + 402 — 35 = 545 — 35 — 402 = 510 — 402 = 108;
- 32 — 76 + 96 — 76 — 32 = (32 — 32) — (76 — 76) + 96 = 96;
- 3 — 6 — 50 + 2 + 1 = (3 + 2 + 1) — 6 — 50 = 6 — 6 — 50 = 0 — 50 = -50.
Только с опытом можно понять, в каких случаях желательно использовать переместительное правило, а в каких удобнее применить сочетательный закон без изменения записи.
Пример. Пусть у Ирины Петровны на кредитной карте находилось 3282 рубля. В конце месяца ей на эту карту начислили 6018 рублей пенсии. Ирина Петровна в магазине купила себе пирог и рассчиталась картой. Стоимость покупки составила 318 рублей. Спрашивается, сколько денег осталось у пенсионерки на счету. Эту задачу можно решить тремя разными способами. Какой из них удобнее, зависит от личного предпочтения:
- (3282 + 6018) — 318 = 9300 — 318 = 8982.
- 3282 — 318 + 6018 = 2964 + 6018 = 8982.
- 6018 — 318 + 3282 = 5700 + 3282 = 8982.
Таким образом, какой бы способ ни был выбран, можно утверждать, что у Ирины Петровны на карте после покупки останется 8982 рубля. После окончания 5 класса законы вычитания нужно знать так же хорошо, как и таблицу умножения. Только в этом случае от арифметики можно будет переходить к изучению алгебры.
Вычитание на числовой прямой
Довольно наглядно свойства вычитания можно увидеть на иллюстрации, изобразив действие на числовой прямой. На ней нужно отложить точки через равный промежуток, например от ноля до десяти, и последовательно их пронумеровать.
Так, для решения примера 3 + 5 — 2 на прямой необходимо найти цифру три. Согласно условию и свойствам уменьшения, из неё можно вычесть двойку. Следовательно, нужно влево от тройки отсчитать два пункта. На иллюстрации этому будет соответствовать точка один. Затем по условию задания нужно прибавить пять единиц. На графике этому будет соответствовать перемещение на пять точек вправо. Итогом всех действий получится точка, подписанная как шесть.
Аналогичным образом можно подсчитать любое вычитание или сложение. Но этот метод хорош для обучения при значениях не больше десяти. Очень наглядно иллюстрация показывает и вычитание ноля. Так как при уменьшении на ноль передвигаться по прямой не нужно, то после вычитания значение уменьшаемого не изменяется.
Задача 1. Пусть имеется отрезок АБ. Нужно определить его длину, если известно, что первой точке (А) соответствует число минус пять, а второй (Б) — девять. На прямой нужно отложить ноль и по обе стороны от него отметить точку, соответствующую минус пяти и девяти. Согласно условию, задачу можно записать как -5 + АБ = 9.
Отсюда следует, что АБ = 9 — (- 5). Сформулировав в уме правило, что минус на минус даёт плюс, равенство верно будет переписать как АБ = 9 + 5 = 14. Проверку можно выполнить, уменьшив результат на пять: АБ — 5 = 9. А можно на графике отсчитать в правую сторону четырнадцать отрезков. Последний из них должен будет совпадать с числом -5.
Задача 2. Велосипедист за день преодолел путь от села Крюково до деревни Морозко. Вычислить, какое он преодолел расстояние за первый час, если за следующее время он проехал 13 км. Для иллюстрации условия задачи нужно на прямой изобразить точку отсчёта, обозначив её за ноль. Затем отметить конечную точку, соответствующую 18 км (в удобном масштабе).
На прямой от конечной точки отсчитать 13. Теперь от тринадцати подсчитать количество отрезков до начальной точки. Математические же вычисления будут выглядеть так: 18 — 13 = 4 км. И в первом, и во втором случае ответ будет аналогичным.
Источник
Операции вычитания между любыми натуральными числами присущ ряд особенностей, называемых свойствами. В данной статье мы рассмотрим основные свойства натуральных чисел и приведем разъясняющие примеры.
Свойство вычитания равных натуральных чисел
Свойство вычитания двух равных натуральных чисел
Для двух равных натуральных чисел их разность равна нолю. Если a – любое натуральное число, то a-a=0.
Это самое простое свойство. Число ноль указывает на отсутствие чего либо. Если из множества каких-то объектов вычесть такое же множество объектов, получится ноль. Например, у Пети было 15 яблок, он решил угостить Машу и отдал ей все 15 штук. Теперь у Пети ноль яблок.
Переместительный закон (не выполняется для вычитания)
Известно, что при сложении чисел от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Так же, как и при умножении произведение не меняется при перестановке множителей. Эта особенность называется переместительным, или коммутативным законом. Однако при вычитании коммутативный закон работает только в одном случае: когда вычитаемое число равно уменьшаемому.
В случаях, когда уменьшаемое число становится меньше вычитаемого, теряется сам смысл вычитания натуральных чисел. Например:
38-21 очевидно, не равно 21-38
В общем виде можно записать это так: a-b≠b-a.
Свойства вычитания натуральных чисел
Для операции вычитания натуральных чисел переместительный закон не выполняется!
Вычитание суммы двух чисел из натурального числа
Сформулируем свойство, а затем рассмотрим пример, который даст глубокое понимание и поможет осмыслить сказанное.
Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа
Вычитание суммы двух натуральных чисел из другого натурального числа равносильно последовательному вычитанию из числа сначала одного слагаемого суммы, а затем другого.
Математически это запишется так:
a-(b+c)=(a-b)-c
Обратимся к примеру. У Пети и у Васи было по 8 монет. Петя сразу купил напиток за две монеты и конфету за одну монету. Вася сначала купил напиток, а потом подумал, и тоже купил конфету. В итоге, у обоих осталось по пять монет. Операции с монетами Пети и Васи можно соответственно записать так:
8-(2+1)=5(8-2)-1=5
Важно отметить, что данная операция для натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда уменьшаемое число больше или равно сумме чисел, которые из него вычитают.
В соответствии с рассмотренным свойством и сочетательным законом, можно вычитать из натурального числа сумму двух, трех и более чисел.
Вычитание числа из суммы
Представим, что у Родиона в одном кармане 3 конфеты, а в другом – 5 конфет. 2 конфеты он обещал отдать Зухре. Какими способами может Родион отдать Зухре конфеты?
Во-первых, можно все конфеты переложить в один карман и оттуда уже достать 2 штуки. Останется конфет: 3+5-2.
Во-вторых, можно сразу достать две конфеты из первого кармана. Останется конфет: 3+5-2.
Наконец, в-третьих, можно достать две конфеты из второго кармана. В итоге имеем: 5+(3-2).
Количество конфет в итоге остается неизменным и справедливы равенства:
3+5-2=5+(3-2)=(3+5)-2.
Теперь можно сформулировать правило вычитания числа из суммы других натуральных чисел.
Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел
Вычитание натурального числа из суммы других натуральных чисел эквивалентно последовательному вычитанию данного числа из одного слагаемого и сложению полученной разности с другим слагаемым.
В буквенной форме свойство имеет следующий вид:
(a+b)-c=(a-c)+b
Если выполняется условие b≥c, можно записать (a+b)-c=a+(b-c).
При a≥c и b≥c оба равенства можно переписать в виде (a+b)-c=(a-c)+b=a+(b-c).
Свойство вычитания натурального числа из суммы трех и более чисел формулируется аналогично и вытекает из свойства вычитания числа из суммы двух чисел.
Рассмотрим пример.
Пример. Вычитание числа из суммы
a, b, c, d – некоторые натуральные числа.
Если a≥d то a+b+c-d=(a-d)+b+c.
Если b≥d то a+b+c-d=a+(b-d)+c.
Если c≥d то a+b+c-d=a+b+(c-d).
Источник
Вычитание всегда немного пугает учеников. Еще в начальной школе все немного боялись, что результатом вычитания окажется 1, 0 или отрицательное число, что по представлению многих учеников младших классов означает ошибку. Чтобы этот страх не превращался в неумение работать со столь простой операцией, поговорим кратко о свойствах вычитания, которые помогут ускорить расчеты.
Вычитание
Вычитание это уменьшение числа на некоторое количество единиц. В математике принято говорить, что вычитание это процесс переноса числа по числовой прямой влево.
По факту вычитание может перенести число не только влево, но и вправо. Так происходит при вычитании отрицательного числа, в этом случае минус на минус дает плюс и получается операция сложения. Но принято говорить так, а значит и на уроке у вас скорее всего спросят общепринятое определение.
Особые числа вычитания
Вычитание не имеет собственных свойств, в отличие от сложения. Может быть в целях приписать хоть какие-нибудь свойства, а может в силу других причин, свойствами вычитания называют не совсем свойства. Скорее это характерные черты.
Если отбросить все эти рассуждения, то свойства вычитания можно разделить на свойство раскрытия скобок и свойства чисел. Свойств чисел всего два:
- Если из числа вычесть ноль, но число не изменится. Если из нуля вычесть число, но знак числа изменится на противоположный.
- Если из числа вычесть такое же число, то результат будет равен нулю
Эти утверждения помогают вести быстрый счет, поэтому лучше выучить их наизусть.
Раскрытие скобок
Раскрытие скобок не является свойством, это просто следствие правильных действий. Таких свойств три:
- Если из числа вычитается сумма чисел, то можно вычесть из результата любое из слагаемых, а из результата вычесть второе.
а-(в+с)=а-в-с=(а-в)-с
- Если из суммы чисел вычитается число, то можно вычесть из любого слагаемого вычитаемое, а результат сложить со вторым слагаемым.
(а+в)-с=(а-с)+в
- Если разность умножается на какое-либо число, то можно вычитаемое и уменьшаемое умножить на это число, а потом выполнить вычитание
а*(в-с)=ав-ас
Результаты
Чтобы не сомневаться в своих ответах, нужно уже в 5 классе принять тот факт, что результатом вычитания любых рациональных чисел может стать любое рациональное число, куда входит и ноль с 1. В Советском Союзе какое-то время использовали задачник, где каждый пример равнялся 0 или 1 вне зависимости от сложности вычислений.
Поэтому, если в результате вычислений у вас не возник знак радикала, то не нужно перепроверять по нескольку раз. Верьте в себя и свои силы: одной проверки вполне достаточно.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое вычитание. Поговорили о свойствах вычитания и разделили их на две большие группы. Объяснили, откуда взялись эти свойства, какие из них лучше выучить наизусть, а какие сами собой возникнут по ходу правильного решения примера. Сказали, что свойства вычитания нужны, прежде всего, для быстрого счета, поэтому пользоваться ими нужно, чтобы сэкономить время решения на другие задачи во время контрольной или экзамена.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Юксель Саркаров
5/5
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 77.
Источник
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник