Какие числа называют натуральными их свойства
Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)
Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …[1]). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом[2].
Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся натуральное число, большее чем . Отрицательные и нецелые числа к натуральным не относят.
Свойства натуральных чисел и операций с ними изучают арифметика и (более углублённо) теория чисел.
Место нуля[править | править код]
Существуют два подхода к определению натуральных чисел:
- числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов: первый, второй, третий, четвёртый, пятый…;
- числа, возникающие при обозначении количества предметов: 0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов…
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход[3]. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль[3].
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[4]:
В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается и т. д.[3]
Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел[править | править код]
Аксиомы Пеано для натуральных чисел[править | править код]
Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция c областью определения , называемая функцией следования (), и выполнены следующие условия:
- элемент единица принадлежит этому множеству (), то есть является натуральным числом;
- число, следующее за натуральным, также является натуральным (если , то или, в более короткой записи, );
- единица не следует ни за каким натуральным числом ();
- если натуральное число непосредственно следует как за натуральным числом , так и за натуральным числом , то и — это одно и то же число (если и , то );
- (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) доказано для натурального числа (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число . Тогда, если и , то ).
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.
Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[5], а также краткое доказательство[6]), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) такая, что и для всех .
Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.
Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом образует моноид. Как уже упоминалось выше, в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.
Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)[править | править код]
Положение натуральных чисел в иерархии числовых множеств
Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:
Величина множества натуральных чисел[править | править код]
Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например[7], ).
Операции над натуральными числами[править | править код]
К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):
Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.
Основные свойства[править | править код]
- Коммутативность сложения:
.
- Коммутативность умножения:
.
- Ассоциативность сложения:
.
- Ассоциативность умножения:
.
- Дистрибутивность умножения относительно сложения:
.
Алгебраическая структура[править | править код]
Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответственно.
Теоретико-множественные определения[править | править код]
Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:
где:
Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
- Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4, <https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ>
- Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6, <https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=peano%20axioms&f=false>
- Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematicians (Revised ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0, <https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false>
- James, Robert C. & James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (Fifth ed.), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0, <https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC>
- Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (Third ed.), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5, <https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ>
- Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2, <https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg=PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false>
- Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5, <https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC>
- Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (Second ed.), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3, <https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ>
- Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10th ed.), Wiley Global Education, ISBN 978-1-118-45744-3, <https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ>
Ссылки[править | править код]
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Natural number, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot’s Guide to Pre-algebra, Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9, <https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC>
- Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (Second ed.), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8, <https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC>
Источник
Натуральные числа и их свойства
Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.
Нуль не относят к натуральным числам.
Свойства отношения следования
Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:
Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.
Свойство сложения натуральных чисел
Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль
Свойства умножения
Переместительное $acdot b=bcdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо
Свойства умножения относительно сложения и вычитания
Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$
Сравнение натуральных чисел
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $a
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если $a
Если $c
Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.
Округление натуральных чисел
Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.
Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д
При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$
При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д
Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.
Правило округления натуральных чисел
Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями
Источник
Литература
1. Шевченко Н.Н. Арифметика. Учебник для 5-6 классов средней школы Москва. 1966 г. 212 с.
2. Нифонтова Е. М., Алтушкина Т. А., Щиголёва Т. А. /переработка учебника Киселёва А. А./ Арифметика. Для 5 классов. Екатеринбург. 2019. 120 с.
3. Нифонтова Е. М., Сборник задач и упражнений по арифметике I часть. Для 5 классов. Екатеринбург. Артефакт. 2018. 102 с.
4. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Математика. 5 класс. Учебник МГУ – школе. Москва. 2012. 271 с.
5. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике 2016.Москва. 103 стр.
6. Березанская Е.С. Сборник задач и упражнений по арифметике Москва.1933. 104 с.
7. Узорова О. 2500 задач для начальной школы. Аст. 2017. 255 с.
Чтобы решать задачи, вычислять значение выражений необходимо владеть основными понятиями
1. Знать определение всех действий
2. Правила нахождения неизвестных компонент действий
2. Законы действий
3. Правила выполнения действий
4. Законы изменения результата действия в зависимости от изменения компонент действия.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Какие числа называются натуральными числами?
Натуральными числами называют числа, предназначенные для счёта предметов.
2. На что указывает любое натуральное число?
Любое натуральное число n указывает на некоторое количество предметов.
3. Что показывает каждое натуральное число?
Каждое натуральное число показывает, сколько единиц оно содержит.
4. Какая последовательность чисел (множество чисел) называется натуральным рядом?
Натуральным рядом N называют последовательность (множество) натуральных чисел, расположенных в порядке счёта предметов (в порядке возрастания) и разделённых запятой
N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.
5. Какие числа называются равными?
А)Если натуральные числа n и m указывают на одно и тоже количество предметов, то они равны n = m.
Б)Если два натуральных числа стоят на одном и том же месте в натуральном ряду N, то они равны.
В)Если натуральные числа n и m содержат одно и тоже количество единиц, то они равны n = m.
ДЕЙСТВИЯ
Имеются 3 прямых действия: сложение, умножение, возведение в натуральную степень и 4 обратных действия: вычитание, деление, извлечение корня и логарифмирование. Также имеются тригонометрические действия, наиболее важное из них есть тангенс угла.
В начальной школе изучается первые 4 арифметических действия. В пятом классе знакомят с возведением в степень. Извлечение корня и логарифмирование изучают в старшей школе, но по сути, во множестве натуральных чисел они являются обратными действиями, точно также как вычитание и деление и их можно рассматривать как арифметические действия основанные на таблице возведения в степень..
СЛОЖЕНИЕ
Задача 1. На левой полке две книги, а на правой три книги. Сколько книг на обоих полках?
Р е ш е н и е .
Если на левой полке две книги, а на правой три книги, то на обоих полках будет 2 + 3 = 5 (кн.)
Ответ: 5 книг
В этом действии по двум заданным числам 2 и 3 находят третье число 5. Числа 2 и 3 слагаемые, а 5 – сумма. Такие действия называются прямыми действиями.
Задача 2. На двух полках пять книг. На второй полке 3 книги. Сколько книг на первой полке?
Р е ш е н и е .
1)Если на двух полках пять книг, а на второй полке 3 книги, то на первой полке будет 5 – 3 = 2 (кн.).
Ответ:2 книги.
Р е ш е н и е с помощью уравнения
Обозначим через x количество книг на первой полке и составим уравнение
ЕСЛИ х + 3 = 5, ТО x = 5 – 3 = 2;
Ответ: на первой полке 2 книги.
6. Какое действие называется сложением?
Сложение двух натуральных чисел есть прямое арифметическое действие, с помощью которого находят количество единиц в обоих числах вместе.
Например: 2 + 3 = 5 означает, что две единицы первого числа объединяются с 3 единицами второго числа и получается новое число 5, содержащее все единицы в двух числах.
7. Как называются компоненты действия сложения?
Компоненты действия сложения называются слагаемыми. Первая компонента называется первым слагаемым, вторая компонента – вторым слагаемым. Результат называется суммой.
8. Какая таблица называется таблицей сложения?
Таблицей сложения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит сумма двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.
Правило сложения задаётся таблицей сложения. Сумму двух чисел с помощью таблицы сложения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 + 3 = 5. В первом столбце первое слагаемое m, в верхней строке второе n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение суммы k = m + n. С помощью таблицы сложения можно найти результат сумму с помощью двух стрелок.
ВЫЧИТАНИЕ
9. Какое действие называется вычитанием?
Вычитанием называется арифметическое действие обратное сложению, с помощью которого по заданной сумме и одному известному слагаемому находят другое неизвестное слагаемое.
10. Как называются компоненты действия вычитания?
Первая компонента действия вычитания называется уменьшаемым. Вторая компонента называется вычитаемым. Результат называется разностью.
11. Как по таблице сложения выполнить действие вычитания?
Если неизвестно первое слагаемое, то имеем равенство, в котором х + 3 = 5 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице сложения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 5 , а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 + х = 5 то двигаемся вправо и вверх.
Иак:
Если х + 3 = 5 , то x = 5 – 3 = 2, (вниз и влево);
Если 2 + х = 5 , то x = 5 – 2 = 3, (вправо и вверх).
Сложение исходное арифметическое действие, первичное понятие, вычитание определяется через сложение, как обратная операция.
УМНОЖЕНИЕ
Задача 3. На 3 полках по 2 книги. Сколько всего книг на трёх полках?
Р е ш е н и е .
1)Если на каждой полке по 2 книги и даны 3 полки, то всего на полках будет 2 х 3 = 6 книг.
О т в е т: на трёх полках будет 6 книг.
12. Какое действие называется умножением?
Умножением называется прямое арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых (количество единиц в одинаковых слагаемых).
Пример
2 х 3 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 = 6
13. Как называются компоненты действия умножения?
Компоненты действия умножения называются сомножителями. Первая компонента называется первым сомножителем (множимое), вторая – вторым сомножителем (множитель). Результат действия умножения называется произведением.
14. Какая таблица называется таблицей умножения?
Таблицей умножения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит произведение двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.
Правило умножения задаётся таблицей умножения, которая основывается на таблице сложения. Произведение двух чисел с помощью таблицы умножения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 х 3 = 6.
В первом столбце первый сомножитель m, в верхней строке второй n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение произведение k = m х n. С помощью таблицы умножения можно найти результат произведение с помощью двух стрелок.
ДЕЛЕНИЕ
14. Какое действие называется делением?
Делением называется арифметическое действие обратное умножению, с помощью которого по заданному произведению и одному известному множителю находят другой неизвестный множитель.
15. Как называются компоненты действия деления?
Первая компонента действия деления называется делимым. Вторая компонента называется делителем. Результат действия деления называется частным.
Рис.5. Способ нахождения неизвестного сомножителя с помощью таблицы умножения. Если неизвестно первый сомножитель, то имеем равенство, в котором х × 3 = 6 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице умножения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 6, а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 × х = 6, то двигаемся вправо и вверх.
Если х × 3 = 6 , то x = 6/3 = 2, (вниз и влево);
Если 2 × х = 6, то x = 6/2 = 3, (вправо и вверх).
Нахождение неизвестных компонент действий
16. Как найти неизвестное слагаемое?
Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно от суммы вычесть известное слагаемое.
Если n + x = k, то x = k – n
17. Как найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое.
Если x – n = k, то x = k + n
18. Как найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно от уменьшаемого вычесть разность.
Если m – x = k , то x = m – k
19. Как найти неизвестное делимое?
Чтобы найти неизвестное делимое нужно частное умножить на делитель.
Если x/n = k , то x = k × n
20. Как найти неизвестный сомножитель?
Чтобы найти неизвестный сомножитель нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Если n x x = k , то x = k/n
21. Как найти неизвестный делитель?
Чтобы найти неизвестный делитель надо делимое разделить на частное.
Если m/x = k, то x = m/k
22. Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?
Чтобы узнать на сколько единиц одно число больше или меньше другого надо из большего числа вычесть меньшее.
23. Как узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого?
Чтобы узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого надо большее число разделить на меньшее.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ
(всего 12 правил) (2-7 классы)
24. Как можно к числу прибавить сумму?
Чтобы к числу прибавить сумму можно к этому числу прибавить любое из слагаемых, а к полученной сумме прибавить второе слагаемое.
m + (n + l) = (m + n) + l = (m + l) + n.
Например: 27 + (13 +9) =(27 +13) +9 = 40 +9 =49
25. Как можно к сумме прибавить число?
Чтобы к сумме прибавить число можно к любому из слагаемых прибавить это число, а к полученной сумме прибавить второе слагаемое.
(m +n) + l = (m+ l) + n = (n + l) + m.
26. Как можно от числа вычесть сумму?
Чтобы из числа вычесть сумму можно из этого числа вычесть одно из слагаемых, а затем из полученного результата вычесть другое слагаемое.
m – (n + l) = (m – n) – l = (m – l) – n
Например: 27 − (17 +4) = (27 − 17) − 4 = 10 − 4 = 6
27. Как можно из числа вычесть разность?
Чтобы из числа вычесть разность, можно из этого числа вычесть уменьшаемое и к полученному результату прибавить вычитаемое
m – (n – l) = (m – n) + l
Например: 27 − (17 − 9) = (27 − 17) + 9 = 10 + 9 = 19
28. Как можно от суммы вычесть число?
Чтобы из суммы вычесть число можно из любого слагаемого вычесть это число, а затем к полученному результату прибавить второе слагаемое.
(m + n) –l = (m – l) + n = (n – l) + m
29. Как можно из разности вычесть число?
Чтобы из разности вычесть число можно из уменьшаемого вычесть это число и от полученного результата вычесть вычитаемое.
(m – n) –l = (m – l) – n
30. Как можно число умножить на произведение?
Чтобы число умножить на произведение, можно это число умножить на первый сомножитель, а затем полученный результат умножить на другой сомножитель.
m × (n × k) = (m × n) × k = (m × k) × n
Например: 6 × (5 × 9) = (6 × 5) × 9 = 30 × 9 = 270
31. Как можно произведение умножить на число?
Чтобы произведение умножить на число можно первый сомножитель умножить на это число, а затем полученное произведение умножить на второй сомножитель.
(m × n) × k = (m × k) × n = (n × k) × m
Например: (5 × 9) × 6 = (5 × 6) × 9 = 30 × 9 = 270
32. Как можно произведение разделить на число?
Чтобы произведение разделить на число можно любой сомножитель разделить на это число, и полученное частное умножить на второй сомножитель.
(m × n) / k = (m / k) × n = (n / k) × m
Например: (12 × 9) : 6 = (12 : 6) × 9 = 2 × 9 = 18
33. Как можно сумму умножить на число?
Чтобы сумму умножить на число можно каждое из слагаемых умножить на это число, а результаты сложить.
(m + n) х l = m х l + n х l
Например: (5 + 9) × 6 = 5 × 6 + 9 × 6 = 30 + 54 = 84
34. Как можно сумму разделить на число?
Чтобы сумму разделить на число можно каждое из слагаемых разделить на это число, а результаты сложить.
(m + n) / l = m/ l + n/l
Например: 6 × (5 × 9) = (6 × 5) × 9 = 30 × 9 = 270
35. Как можно разность разделить на число?
Чтобы разность разделить на число можно уменьшаемое и вычитаемое разделить на это число и из первого результата вычесть второй.
(m –n) / l = m/ l – n/l
36. Как можно число разделить на произведение?
Чтобы число разделить на произведение можно это число разделить на любой сомножитель и полученное частное разделить на другой сомножитель.
m / (n × k) = (m / n)/k = (n / k) /m
Основные законы действий (1-7 классы)
37. Сформулировать переместительный закон для сложения
От перемены мест слагаемых сумма не меняется
a + b = b + a.
Так, сумма 2+3 всегда равна 5 , в каком бы порядке не производилось сложение
2 + 3 = 3 +2 .
Это свойство принято называть переместительным законом сложения, так как оно состоит в том, что слагаемые можно перемещать (переставлять), не изменяя суммы.
38. Сформулировать закон перестановочности для умножения.
От перемены мест множителей произведение не меняется
a x b = b х a.
Сомножители можно переставлять местами, при этом произведение не меняется.
39. Сформулировать сочетательный закон для сложения.
Любую группу рядом стоящих слагаемых можно заменить их суммой
(a + b) + c = b + (a + c).
Это свойство называется сочетательным законом сложения, так как оно состоит в том, что любые слагаемые можно сочетать (соединять) в одно число.
Например: 23 + (17 +18) = (23 + 17) + 18
40. Сформулировать сочетательной закон для умножения
Любую группу рядом стоящих множителей можно заменить их произведением
a х b х c = (a х b) х c = a х (b х c).
Например, в произведении 3× 4 ×5× 2 удобно последние два сомножителя объединить в одну группу 3× 4 × (5× 2) = 3× 4 × 10 = 12× 10 =120 и результат то же самое число, как если бы произвели умножение не соединяя сомножители.
41. Сформулировать распределительный закон
Чтобы умножить число на сумму можно это число умножить на первое слагаемое и на второе и результаты сложить
Если a х (b + c) = a х b + a х c.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА (1-7 классы)
42. Сформулировать два признака равенства двух чисел.
А) Если разность двух чисел равна нулю, то числа равны.
Если m – n = 0, то m = n
Б) Если частное двух чисел равно единице, то числа равны
Если m/n = 1, то m = n
Законы изменение результатов действий в зависимости от изменения их компонентов
43. Как изменяется сумма с изменением слагаемых?
Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц.
Если m + n = k, то (m ± l) + n = k ± l.
44. Как изменяется произведение с изменением сомножителей?
Если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то и произведение увеличится или уменьшится во столько же раз.
Если m х n = k, то (ml) х n=kl
Если m х n=k, то (m/l) х n=k/l,
45. Как изменяется разность с изменением уменьшаемого.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и разность увеличится или уменьшится на столько же единиц.
Если m – n = k, то (m ± l) – n = k ± l.
46. Как изменяется разности с изменением вычитаемого.
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность наоборот уменьшится или увеличится на столько же единиц.
Если m – n = k, то m– (n+l) = k – l.
Если m – n = k, то m– (n–l) = k + l.
47. Как изменяется разность с одновременным изменением уменьшаемого и вычитаемого?
Если одновременно, и уменьшаемое, и вычитаемое увеличить или уменьшить на некоторое одинаковое количество единиц, то разность не изменится.
Если m – n = k, то (m + l) – (n + l) = k – l.
48. Как изменяется частное с изменением делимого?
Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное тоже увеличится или уменьшится во столько же раз.
Если m/n=k, то (ml)/n=kl),
Если m/n=k, то (m/l)/n=k/l).
49. Как изменяется частное с изменением делителя?
Если делитель увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то частное наоборот уменьшится (или увеличится) во столько же раз.
Если n/т=k то n/(тl)=k/l
Если n/т=k то n/(т/l)=kl
Основные определения для решения задач
50. Что называется скоростью движения тела?
Скорость движения есть путь пройдённый телом за одну единицу времени.
51. Как найти скорость движения тела?
Чтобы найти скорость движения тела надо расстояние (путь), пройдённое телом, разделить на время, за которое оно пройдено
V=S/t
Расстояние пройденное телом равно скорости тела, умноженной на время. S=Vt
Время движения тела равно t= S/V.
52. Что такое стоимость покупки?
Стоимость покупки С это количество денег за всю покупку.
53. Что называется ценой товара?
Ценой товара Ц называется количество денег за одну единицу товара.
54. Как найти цену товара?
Чтобы найти цену товара надо стоимость всей покупки разделить на количество купленного товара Ц= С/К
55. Что называется производительностью работы?
Производительностью называется работа, выполненная за одну единицу времени
56. Как найти производительность работы?
Чтобы найти производительность надо всю работу разделит на время, за которое выполнена работа .
q = A/t
Вся работа равна производительности умноженной на время A= q t.
Время работы равно всей работе делённой на производительность
t = A/q.
Основные геометрические понятия.
57. Что называется длиной данного отрезка?
Длиной данного отрезка называется число, которое показывает количество единичных отрезков? умещающихся в данном отрезке.
58. Что наз?