Какие цифры содержатся в троичной системе счисления

Общие сведения

Базой для большинства вычислений, как несложных житейских, так и очень сложных математических, считается десятичная система счисления. Популярность троичной системы гораздо ниже, поскольку используется она в очень редких случаях. Большинство людей почти никогда не сталкивается с другими системами счисления, и им поначалу непросто абстрагироваться от обычных терминов типа, десятки, сотни и тому подобное.

Есть некоторое количество характеристик, которые присущи любой системе счисления. Это:

1. Её основание.
2. Алфавитные показатели.
3. Цифры разрядов.
4. Слагаемые разрядов.

В название всех систем счисления заложено их основание, то есть в троичной системе основанием является тройка, а в десятичной десять (справедливо и обратное утверждение, в названии системы счисления заложено её основание).

Алфавит системы счисления — это символьный комплект, который в нашем конкретном случае применяется для отображения чисел. К примеру, десятичная система использует десять цифровых символов (учитывая ноль), двоичная всего два (ноль и единицу), а троичная — три (ноль, один и два).

Самое большое допустимое число разрядного слагаемого определяется системой счисления. Если взять восьмеричную систему, то второй её разряд может быть максимум 70, в двоичной системе это будет 10, в десятичной 90, а в троичной 20. Например, при разложении десятичного числа 256 на слагаемые разрядов, получим такое выражение: 200+50+8 (три разряда).

Троичная система счисления

Троичная система счисления может использовать обычные цифры 0,1,2, и в этом случае она позиционируется как несимметричная. В симметричной троичной системе применяются знаки «плюс» и «минус», то есть в обозначениях применяется число “-1”. Другие его обозначения, это единица и сверху или снизу черта, или в виде буквы латинского алфавита i. Кроме того, цифры троичной системы, возможно представить в виде кодов с помощью трёх разных символов, к примеру “А, Б, В”, но прежде надо указать их достоинство (например, А меньше чем Б, а Б меньше чем В).

Для перевода любого числа из десятичной системы счисления в троичную, можно использовать обобщённый алгоритм. Надо выполнять операцию деления десятичного числа на основание нужной нам системы (в нашем случае три) и писать остатки с правой стороны на левую. В качестве примера берём число тридцать. Сначала делим его на три и получаем в результате десять без остатка. Значит пишем ноль. Далее десять делим на три, получаем три и один в остатке, пишем один. И наконец три делим на три, после чего пишем в результат сначала остаток (ноль), а затем итог деления (единицу). Получилось следующее число в троичной системе счисления 1010.

Арифметические действия

Электронная вычислительная машина быстро и просто выполняет вычислительные процедуры в удобной для неё двоичной системе счисления, а человеку непросто переориентировать свой образ мысли, поскольку для людей базовой является десятичная система счисления.

Троичная система счисления более ёмкая в сравнении с двоичной, и процесс вычислений в ней более сложный, но в любой позиционной системе счисления может быть использована таблица сложения. Наверное, всем известен принцип организации сетки в игре «морской бой». По вертикали в левом столбике пишутся цифры, а вверху в горизонтальном столбике пишутся буквенные символы.

Составить сетку для операции сложения в троичной системе возможно на этом же принципе. К примеру, если взять несимметричную троичную систему, состоящую всего из трёх символов, то необходимо построить четыре столбца, в каждом из которых будет вписана последовательная цепочка цифр. Например, запишем нижний столбец по горизонтали в виде 0, 00, 01, 02. Второй столбец 1, 01, 02, 10, а третий будет 2, 02, 10, 11. Возможно расширение таблицы, если есть необходимость в числах других разрядов (к примеру, 001 и так далее). Рассмотрим умножение. При использовании троичного счисления таблица умножения получается более лаконичной и короткой, по сравнению с десятичной, а сама операция не очень сложная, поскольку перемножаются числа не более цифры два. Для умножения в столбик, нужно расположить два числа в троичном коде одно над другим, а далее поочерёдно умножать первый множитель на числа каждого разряда другого, не учитывая ноль. То есть получается перемножение чисел 102 на 101 можно представить как 2 • 1 = 2, 0 • 1 = 0,1 • 1 = 1. Пишем число 102. Затем опускаем ноль и перемножаем на один (это старший разряд второго множителя).

Впрочем, сложение в троичной системе счисления возможно выполнить без применения таблиц. Необходимо только освежить в памяти несложное правило, которое гласит, если результат сложения больше разряда, надо разделить второе число на два. Для примера выполним простую операцию сложения 6+8. Результат операции больше данной разрядности, значит надо разделить восемь пополам, что даёт в итоге 4. В итоге все выполненные действия можно представить в следующем виде: 6 + 8 = (6 + 4) + 4 =10 + 4 =14.

Экскурс в историю

Следует отметить, что даже обычные бытовые расчёты не всегда делались в десятичной системе счисления. Троичной системой иногда пользовались ещё древние шумеры. У них применялись меры весов и денег кратные трём. Ещё с древнего времени и по сей день рычажные весы оснащены подобием троичной системы. Знаменитый итальянский учёный Фибоначчи ещё в своё время предложил целочисленную симметричную троичную систему счисления. Как отметил известный французский учёный О.Л. Коши, таблица умножения в этой системе получилась короче примерно в четыре раза, если сравнивать с десятичной системой.

Основой многих расчетов, как простых бытовых, так и сложнейших математических, является десятичная система счисления. Троичная же известна гораздо меньшему кругу людей, ведь применяется она весьма редко.

Всего три цифры

Некоторые из нас редко сталкиваются с иными системами счисления, поэтому вначале может быть трудно отстраниться от привычных понятий – десятков, сотен, тысяч и так далее. Существует несколько параметров, которыми обладает любая из систем: основание, алфавит, разрядные цифры и разрядные слагаемые.

По основанию мы можем понять, как называется система счисления: троичная система имеет основание три, а десятичная – десять (работает и обратное правило – по названию сразу видно основание).

Алфавитом в системах счисления называется набор символов, которые в данном случае используются для записи чисел. Например, в десятичной системе используется десять цифр (считая ноль), а вот в двоичной их всего две, ноль и единица. В троичной же могут применяться 0, 1 и 2. К тому, почему основанием является тройка, а символов в алфавите – четыре, вернемся позже.

Разрядной цифрой называется наименьшее число, которое можно добавить в разряде, а разрядным слагаемым является цифра, записанная в каком-либо определенном разряде с добавлением нужного количества нолей. Максимально возможное значение разрядного слагаемого всегда зависит от системы счисления. Восьмеричная система счисления во втором разряде имеет разрядное слагаемое 70, в двоичной оно будет равно 10, в троичной – 20, а в десятичной – 90.

К примеру, если разложить десятичное число 158 на разрядные слагаемые, получится такой пример: 100+50+8 (третий разряд). А второразрядное число 98 предстанет в виде 90+8.

Алфавит

Числа в троичной системе счисления могут обозначаться как всем привычными цифрами 0, 1 и 2. Тогда это несимметричная троичная система. В симметричной же используются знаки “минус” и “плюс”, таким образом, в записях используется число “-1”. Оно так же может обозначаться как единица с чертой вверху или внизу, как латинская буква i.

Троичные цифры можно закодировать тремя любыми знаками, например “А,Б,В”, однако предварительно необходимо указывать их старшинство (к примеру, А меньше Б, Б меньше В).

Простая формула

Чтобы перевести число из десятичной в троичную систему счисления, нужно воспользоваться общей формулой. Необходимо делить десятичное число на основание необходимой системы и записывать остатки справа налево. Возьмем для примера число 30. Первым действием делим его на 3. Получаем 10 без остатка, поэтому записываем 0. Десять делится на 3 с остатком 1, поэтому записываем 1. В третьем действии 3 делим на основание системы и записываем сначала остаток, затем результат деления. В итоге получаем троичное число 1010.

Арифметические действия

Если, например, компьютеры легко проводят математические операции в своей “родной” бинарной системе, то людям бывает трудно перестроить мышление, ведь для нас основной является десятичная система счисления. Троичная система обладает большей емкостью по сравнению с бинарной, и вычисления в ней несколько сложнее, однако во всех позиционных системах применяется таблица сложения.

Пожалуй, все помнят, по какому принципу составляется сетка в игре “Морской бой”: в левом вертикальном столбце записываются цифры, а в верхнем горизонтальном – буквы. Сетку сложения можно составить по тому же принципу. Например, в несимметричной троичной системе всего три символа, таким образом столбцов будет четыре, в каждый из них следует вписать последовательную цепочку цифр. На примере: нижний горизонтальный столбец будет таков: 0, 00, 01, 02. Второй столбец: 1, 01, 02, 10. Третий: 2, 02, 10, 11. Можно расширить таблицу, если требуются числа из других разрядов (например, 001 и т. д.).

Умножение

В троичной системе счисления таблица умножения выглядит короче и лаконичнее, нежели в десятичной, и само действие – не намного сложнее, ведь перемножать придется числа не больше двойки. Чтобы умножить в столбик, необходимо записать два троичных числа друг над другом, затем последовательно умножать первый множитель на разрядные числа второго, пропуская ноль. Таким образом, умножение цифры 102 на 101 будет выглядеть так: 2*1=2, 0*1=0, 1*1=1. Записываем 102. Далее пропускаем ноль и умножаем на единицу (старшее число второго множителя).

Однако сложение в троичной системе счисления можно произвести и без всякой таблицы. Для этого нужно вспомнить простое правило, гласящее: если результат сложения превышает разряд, следует разделить второе число пополам. Разберем пример: допустим, необходимо сложить 6 и 8. Результатом сложения превышает данную разрядность, поэтому делим 8 на 2, получаем 4. Окончательный пример выглядит так: 6+8=(6+4)+4=10+4=14.

Немного истории

Даже для бытовых расчетов не всегда использовалась десятичная система счисления. Троичная система частично использовалась еще у древних шумеров: их меры денег и весов были кратны трем. С древних времен и до наших дней на рычажных весах используется подобие троичной системы. Знаменитым Фибоначчи, итальянский ученым и математиком (настоящее имя – Леонардо Пизанский) была предложена целочисленная симметричная троичная система счисления. Таблица умножения в ней, как заметил французский математик О.Л. Коши, почти в четыре раза короче, по сравнению с десятичной.

Нечетная система счисления

Троичная система имеет нечетное основание, поэтому реализуется симметричное расположение цифр относительно нуля (-1, 0, 1), с чем связано несколько свойств.
Отрицательные числа представляются в троичной системе более естественно, а также отсутствует проблема округления, ведь младшие цифры, отбрасываемые при округлении, в троичной системе никогда не превосходят по абсолютной величине часть числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего разряда. То есть в троичной системе следует только отбросить младшие цифры, и получится наиболее точное приближение.

Отрицательные числа

Довольно интересно представление отрицательных цифр в симметричной троичной системе счисления. Так как одним из знаков в алфавите является “-1” или единица с чертой сверху, то отпадает надобность в отдельном разряде знака, а выполнение арифметических операций не нуждаются в использовании обратного кода, так как любые действия с симметричным троичным числом выполняются по обычному правилу, но с учетом знака числа. Положительность или отрицательность числа определяется по тому, какой знак имеет старшее число в последовательности. Чтобы сменить знак числа, нужно инвертировать знаки всех присутствующих в коде чисел.

Взаимодействие с другими системами

Некоторые системы счисления стали знаменитыми благодаря использованию их в компьютерных технологиях. Например двоичная система, или бинарный код – эти слова часто используются в СМИ и кинематографе, так что знакомы они практически всем. А вот восьмеричная система счисления мало у кого на слуху, хотя используется в сфере IT-технологий из-за того, что легко переводится в двоичную и наоборот, но гораздо более емкая.

Для троичной системы таким емким аналогом является девятеричная.

Замена двоичной логики

Основой всех электронно-вычислительных машин нашего времени является двоичная логика, хотя троичная считается более перспективной. Удивительно, но еще в пятидесятые годы прошлого века в компьютере “Сетунь”, построенном в МГУ, уже использовался симметричный троичный код. С 2008 года же в калифорнийском университете повторили опыт более чем полувековой давности, построив компьютерную систему ТСА2, также основанную на троичной логике.

Ее преимущества перед бинарной в том, что используется меньше разрядов. Например, число 10 десятичной системы в двоичной системе предстает как 1010, а в троичной несимметричной – как 101, или как +0+ в симметричной. Емкость также играет роль в том случае, если должна быть выбрана определенная система счисления. Троичная логика экономична и может вместить больший диапазон чисел при том же количестве знаков.

У тех, кто не знаком с бинарным кодом, может возникнуть вопрос: а зачем тогда вообще использовать такие системы счисления, если десятичная – емкая и понятная? Дело в том, что понимание компьютером двоичного кода основано на простой логике: есть сигнал, нет сигнала. Наличие сигнала означает единицу, а его отсутствие – ноль, только и всего. Машина не воспринимает код как цифры. При использовании десятичного кода специалистам пришлось бы придумать, какой вариант будет соответствовать каждой из цифр, но это только усложнило бы задачу, а вот понимание троичного кода реализовывается достаточно просто: отсутствие сигнала, слабый сигнал, сильный сигнал.

Квантовый компьютер и троичный код

Квантовая механика может показаться чем-то фантастическим. Ее законы продолжают удивлять всех, кто впервые с ней сталкивается, однако люди уже давно задумались об использовании ее для создания компьютера нового поколения, более мощного и очень быстрого. Однако это потребует и новых алгоритмов защиты. Например, чтобы получить доступ к кредитной карте, необходимо разложить на простые множители огромное число, имеющее сотни знаков. Самый быстрый современный компьютер сможет сделать это за время, равно возрасту нашей Вселенной, однако квантовый компьютер, основанный на троичной логике, вполне справится с этой задачей.

Кубит – квантовый бит – основан на неопределенности спина электрона. Он может вращаться как по часовой стрелке (примем это за единицу), так и против (ноль), однако есть и третий вариант – неопределенность, что вполне может быть третьим “символом” в алфавите, и тогда троичная логика отлично укладывается.

Комплексная работа

Да, использование троичного кода в среднем ускоряет работу компьютера на 50 %, но если “перевод” в троичную систему счисления всех устройств все же произойдет, то как же будут работать старые приложения и программы? Неужели придется менять все и сразу? Нет. Троичная логика как стоящая на разряд выше включает в себя все возможности двоичного кода, и, сверх этого, еще и целый ряд преимуществ. Однако программы должны быть оптимизированы под троичный код, иначе будут работать по-старому.