Какие есть свойства графика функции

Математика: Свойства функций

Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f (x):

Область определения функции — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f).На графике область определения — это промежутки на оси ОX, над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4].
Область значений функции — это множество всех ее значений у. Обозначают: E(f).На графике область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика.Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2].
Функция y = f (x) называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2).Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.Для нашего примера функция возрастает при .Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) > f (x2).Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.Для нашего примера функция убывает при .
Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный).Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y > 0).На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0.Для нашего примера функция положительна при .Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y < 0).На графике — это промежутки оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) < 0.Для нашего примера функция отрицательна при .
Нули функции — это значения переменной х, при которых у (х) = 0.Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0.По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.Для нашего примера нули функции это точки х1 = -3, х2 = 2, х3 = 5.
Четность и нечетность функции.Функция называется четной, если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x).Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции.На графике четная функция имеет ось симметрии OY.Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x).Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат.Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная.Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная.Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная.Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
Периодичность функции.Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0, если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x).Если Т > 0 является периодом функции y = f (x), то число — период функции y = f (kx + b).Если Т1 > 0 и Т2 > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x), причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z, также периодическая, период которой равен T = HOK(T1, T2).Функция нашего примера не является периодической.
Точки экстремума функции (точки максимума и минимума).Точка х0 называется точкой минимума, если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0).На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка».Для нашего примера точки минимума — это х1 = -4,5, х2 = 3.Точка х0 называется точкой максимума, если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0).На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка».Для нашего примера точки максимума — это х1 = -7, х2 = -1, х3 = 7.
Наименьшее и наибольшее значение функции.Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x).Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/б = 4,2.Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x).Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/м = -4.

Свойства элементарных функций

Линейная функция f (x) = kx + b.D(f) = R, E(f) = R.График функции y = kx + b — прямая линия. Функция монотонно возрастает при k > 0 и убывает при k < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат, при этом функция y = kx — нечетная. Промежутки постоянного знака для функции y = kx зависят от знака параметра k:k > 0, то y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0;k < 0, то y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0.

Квадратичная функция f(x) = ах2 + bх + с, а ≠ 0. Графиком является парабола.

Функция
Область определения	R	R
Вершина параболы	(0; 0)
Нули функции	x = 0
Экстремумы	если a < 0, то минимум в вершине если a > 0, то максимум в вершине
Область значений
Четность	четная	ни четная, ни нечетная

Степенная функция f (x) = хn, n ≥ 2, n ϵ N. Графиками ее являются квадратичные или кубические параболы.

Функция
Область определения	R	R
Область значений	R	[0; +∞ )
Четность	нечетная	четная
Нули функции	х =0	х =0
Экстремумы	нет	х = 0 — точка минимума
Монотонность	возрастает при х ϵ R	при х ≤ 0 убывает при х > 0 возрастает

— частный случай дробно-рациональной функции. Графиками ее являются гиперболы соответствующей степени. Заметим, что

Функция
Область определения	R кроме х = 0	R кроме х = 0
Область значений	(-∞ ; 0) U (0; +∞ )	(0; +∞ )
Четность	нечетная	четная
Нули функции	нет	нет
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	убывает при x ϵ D(f)	при х < 0 возрастает при х > 0 убывает

Степенная функция

Функция
Область определения
Область значений
Нули функции	х = 0	х = 0
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	возрастает при х ϵ D(f)	возрастает при х ϵ D(f)

Показательная функция

Функция	y = ax, 0 < a < 1	y = ax, a > 1
Область определения	R	R
Область значений	( 0; +∞ )	( 0; +∞ )
Нули функции	нет	нет
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	убывает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

Логарифмическая функция

Функция	y = logax, 0 < a < 1	y = logax, a > 1
Область определения	( 0; +∞)	( 0; +∞)
Область значений	R	R
Нули функции	нет	нет
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	убывает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

— тригонометрические функции.

Функция	y = sin x	y = cos x
Область определения	R	R
Область значений	[-1; 1 ]	[-1; 1 ]
Нули функции
Четность	нечетная	четная
Периодичность
Экстремумы
Монотонность	возрастает при убывает при	возрастает при убывает при

— тригонометрические функции.

Функция	y = tg x	y = ctg x
Область определения	R кроме	R кроме
Область значений	R	R
Нули функции
Четность	нечетная	нечетная
Периодичность
Монотонность	возрастает при	убывает при

— обратные тригонометрические функции.

Функция	y = arcsin x	y = arcos x
Область определения	[-1; 1 ]	[-1; 1 ]
Область значений
Нули функции	x = 0	x = 1
Четность	нечетная	ни четная, ни нечетная
Монотонность	возрастает при x ϵ [-1; 1 ]	убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ]

— обратные тригонометрические функции

Функция	y = arctg x	y = arcctg x
Область определения	R	R
Область значений
Нули функции	x = 0	нет
Четность	нечетная	нечетная
Монотонность	возрастает при x ϵ R	убывает при x ϵ R

Иррациональные функции вида .

Функция
Область определения	R	[0; +∞ )
Область значений	R	[0; +∞ )
Нули функции	х = 0	х = 0
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	возрастает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

Обратные функцииОбратимой называют функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения.Например, у = х2 необратима на R, т.к. уравнение f (х) = х2 имеет два решения:. Однако, у = х2 обратима на множестве х ≥ 0 или на множестве х ≤ 0, где выполняется единственность решения.Функцию f-1(x) называют обратной к функции f (x), если функция f-1(x) в каждой точке области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что f (y) = x.Например, функцией, обратной к функции f (x) = kx + b, является функция:Свойства обратных функций

Область значений функции f-1(x) является областью определения функции f (x).E(f-1(x)) = D(f), E(f) = D(f-1(x)).
Графики функции f (x) и обратной к ней f-1(x) симметричны относительно биссектрисы у = х.
Если функция f (x) монотонна на промежутке Х, то она обратима на этом промежутке.
Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f-1(x) тоже возрастает (убывает).

Пример 1.Найти область значений функции РешениеПо определению синуса: -1 ≤ sinx ≤ 1. Умножим данное неравенство на 5:-5 ≤ 5sin x ≤ 5, затем вычтем из всех частей неравенства 2, получим: -7 ≤ 5sin x — 2 ≤ 3.Ответ: [-7; 3].Пример 2.Указать множество значений функции y = 5 — 2хРешение1-й способ.Симметрично оси ОХ отобразим график показательной функции у = 2х, чтобы получить график у = -2х. Затем последнюю функцию поднимем на 5 единиц вверх по оси ОУ. Видим, что область значений нашей функции — это луч (-∞; 5).2-й способ.2х > 0. Умножим данное неравенство на (-1), получим -2х < 0. Прибавим к обеим частям неравенства 5, получим 5 — 2х < 5. Т.е. Е (у) = (-∞; 5).Ответ: (-∞; 5).Пример 3.Найти область определения функции РешениеПо определению логарифмической функции -х2 + 5х — 4 > 0. По теореме, обратной к теореме Виета, найдем корни квадратного уравнения: х1 = 1, х2 = 4 и разложим квадратный трехчлен на множители: -(х — 1)(х — 4) > 0. Применяя метод интервалов для решения неравенства, получим х ϵ (1; 4).Ответ: (1; 4).Пример 4.Найти множество значений функции РешениеВыразим х через у: 6х + 7 = 3у — 10ху; х(6 + 10у) = 3у — 7.Если 6 + 10у = 0, то у = -0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим:0х = -8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит, функция не принимает значения равного -0,6.Если 6 + 10у ≠ 0, то . Область определения последнего уравнения — любое действительное у, кроме у = -0,6. Получаем, что Е(у) = (-∞; -0,6) U (-0,6; +∞).Ответ: (-∞; -0,6) U (-0,6; +∞).Пример 5.Найти множество значений функции РешениеУчитывая, что , по свойствам неравенств получим . Т.е. Е (у) = [-3; +∞).Ответ: [-3; +∞).Пример 6.Найти множество значений функции РешениеТак как Е(х2) = [0; +∞), то Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как обратная пропорциональность — непрерывная и убывающая функция на этом промежутке, большему значению аргумента будет соответствовать меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к +∞ значение самой функции стремится к нулю: Е (1 / (х2 + 3)) = (0; 1/3].Ответ: (0; 1/3].Пример 7.Найти множество значений функции РешениеЕ(х2) = [0; +∞), Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как функция непрерывна и возрастает на этом промежутке, то Ответ: .Пример 8.Найти наименьшее значение функции РешениеРазность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого. Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя. Получаем, что данная функция принимает наименьшее значение при наименьшем значении выражения , находящегося в знаменателе дроби.Итак, наименьшее значение знаменателя равно 1. Тогда функция принимает значение, равное -1.Ответ: -1.Список используемой литературы Видеолекция «Свойства функций»:

include ($_SERVER[‘DOCUMENT_ROOT’] . ‘/inc/ad-inc.htm’); ?>

Источник

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1)2).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).

Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.

Хmax – точка максимума
Уmax – максимум

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Xmin – точка минимума
Ymin – минимум

Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме “Основные свойства функции”

Рекомендации к теме

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.

Примеры.

1. Найти область определения функции.

Решение: область определения функции находится из условия

Ответ:

б)

Решение: область определения функции находится из условий

Ответ:

2. Исследовать на четность и нечетность функцию:

Решение:

– симметрична относительно нуля.

следовательно, функция f(x) – четная.

Ответ: четная.

в)

D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.

следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни не четная.

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

функция, аргумент функции, значение функции
график функции, преобразование графика функции
свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у – зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. https://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

Четность / нечетность функции

D(y)= – симметрична относительно нуля

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

Какие есть свойства графика функции

точки -1, 1 – выколоты, 0 – закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

Отразим найденные свойства графически, построим график функции

Какие есть свойства графика функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

вводят независимую переменную х
выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
выражают у через х и другие известные величины
устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4×2 у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 – x) рабочих – суточная заработная плата (24 – x)2 (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4×2+(24 – x)2 = 5×2 -48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5×2-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, – симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, – функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции	Четность / нечетность
у=0	и четная, и нечетная
у=sin(x+5π/2)	четная
у=lg(x+10)	общего вида
	нечетная

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Какие есть свойства графика функции

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Источник