Какие из нижеприведенных свойств для неравенств правильные

- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 6432091
Таня Масян
более месяца назад
Просмотров : 8
Ответов : 1
Лучший ответ:
Васян Коваль
Правильные ответы к тесту выделены
Тест прошел проверку
ставим +1 к ответу)
более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Лучшее из галереи за : неделю месяц все время
Другие вопросы:
Таня Масян
По сигналу “Внимание всем!” вы включили радио и прослушали сообщение: “Внимание! Говорит штаб ГО города! Граждане! В связи с повышением Колебательные движения водной среды морей и океанов, вызываемые силой ветров, приливами и отливами, подводными землетрясениями и извержениями вулкано…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 32
Ответов : 1
Зачетный Опарыш
Значительное затопление местности в результате подъема уровня воды в реке, озере, водохранилище или море, наносящее материальный ущерб Вы с товарищами в лесу. Из-за неосторожного обращения с огнем одного из вас возник небольшой пожар. Как следует поступать в таких случаях. Назовите ваши дальнейшие д…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 12
Ответов : 1
Суррикат Мими
Вы в группе из 10 туристов остановились в лесу на привале около ручья. Все очень устали, и руководитель принял решение разбить лагерь. Быстро поставили Назовите допущенную ошибку.
В зависимости от масштаба, повторяемости и наносимого ущерба наводнения подразделяют на:
(*ответ*) сре…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 33
Ответов : 1
Васян Коваль
Вспомните наиболее безопасные места, где можно укрыться от цунами. Выберите их в предлагаемых вариантах ответо Циклоны, возникающие в Атлантическом океане, называют
(*ответ*) ураганами
тайфунами
бурями
шквалом
Циклоны, возникающие в западной час…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 26
Ответов : 1
Онтонио Веселко
Установите соответствие Циклон < мощный атмосферный вихрь с пониженным атмосферным давлением в центре Разрушающее действие смерча связано
(*ответ*) с действием стремительно вращающегося воздуха и резким вертикальным подъемом воздушных масс
с динамическим воздействием мас…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 18
Ответов : 1
Источник
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 6432095
Мари Умняшка
более месяца назад
Просмотров : 9
Ответов : 1
Лучший ответ:
Энджелл
Правильные ответы к тесту выделены
Тест прошел проверку
ставим +1 к ответу)
более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Лучшее из галереи за : неделю месяц все время
Другие вопросы:
Таня Масян
По сигналу “Внимание всем!” вы включили радио и прослушали сообщение: “Внимание! Говорит штаб ГО города! Граждане! В связи с повышением Колебательные движения водной среды морей и океанов, вызываемые силой ветров, приливами и отливами, подводными землетрясениями и извержениями вулкано…
более месяца назад
Зачетный Опарыш
Значительное затопление местности в результате подъема уровня воды в реке, озере, водохранилище или море, наносящее материальный ущерб Вы с товарищами в лесу. Из-за неосторожного обращения с огнем одного из вас возник небольшой пожар. Как следует поступать в таких случаях. Назовите ваши дальнейшие д…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 12
Ответов : 1
Суррикат Мими
Вы в группе из 10 туристов остановились в лесу на привале около ручья. Все очень устали, и руководитель принял решение разбить лагерь. Быстро поставили Назовите допущенную ошибку.
В зависимости от масштаба, повторяемости и наносимого ущерба наводнения подразделяют на:
(*ответ*) сре…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 33
Ответов : 1
Васян Коваль
Вспомните наиболее безопасные места, где можно укрыться от цунами. Выберите их в предлагаемых вариантах ответо Циклоны, возникающие в Атлантическом океане, называют
(*ответ*) ураганами
тайфунами
бурями
шквалом
Циклоны, возникающие в западной час…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 26
Ответов : 1
Онтонио Веселко
Установите соответствие Циклон < мощный атмосферный вихрь с пониженным атмосферным давлением в центре Разрушающее действие смерча связано
(*ответ*) с действием стремительно вращающегося воздуха и резким вертикальным подъемом воздушных масс
с динамическим воздействием мас…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 18
Ответов : 1
Источник
С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.
Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.
Числовые неравенства: определение, примеры
При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠, <, >, ≤ , ≥. Дадим определение.
Определение 1
Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.
Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1<5, 5+7>3. После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 523>5,1(2), ln 0.73-172<0.
Свойства числовых неравенств
Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».
Определение 2
- число a больше b, когда разность a-b – положительное число;
- число a меньше b, когда разность a-b – отрицательное число;
- число a равно b, когда разность a-bравняется нулю.
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что
Определение 3
- a больше или равно b, когда a-b является неотрицательным числом;
- a меньше или равно b, когда a-b является неположительным числом.
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.
Основные свойства
Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах:
Определение 4
- антирефлексивности, которое говорит о том, что любое число a из неравенств a<a и a>a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a−a=0, отсюда получаем, что а=а. Значит, a<a и a>a неверно. Например, 3<3 и -41415>-41415 являются неверными.
- ассиметричности. Когда числа a и b являются такими, что a<b, то b>a, и если a>b, то b<a. Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a<b, тогда a−b является отрицательным числом. А b−a=−(a−b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a−b. Отсюда следует, что b>a. Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.
Пример 1
Например, при заданном неравенстве 5<11 имеем, что 11>5, значит его числовое неравенство −0,27>−1,3 перепишется в виде −1,3<−0,27.
Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.
Определение 5
- транзитивности. Когда числа a, b, c соответствуют условию a<b и b<c, тогда a<c, и если a>b и b>c, тогда a>c.
Доказательство 1
Первое утверждение можно доказать. Условие a<b и b<c означает, что a−b и b−c являются отрицательными, а разность а-с представляется в виде (a−b)+(b−c), что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a−b и b−c. Отсюда получаем, что а-с является отрицательным числом, а значит, что a<c. Что и требовалось доказать.
Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.
Пример 2
Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств −1<5 и 5<8. Отсюда имеем, что −1<8. Аналогичным образом из неравенств 12>18 и 18>132 следует, что 12>132.
Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a≤a и a≥a могут иметь случай равенства а=а. им присуща ассиметричность и транзитивность.
Определение 6
Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и≥, имеют свойства:
- рефлексивности a≥a и a≤a считаются верными неравенствами;
- антисимметричности, когда a≤b, тогда b≥a, и если a≥b, тогда b≤a.
- транзитивности, когда a≤b и b≤c, тогда a≤c, а также, если a≥b и b≥c, то тогда a≥c.
Доказательство производится аналогичным образом.
Другие важные свойства числовых неравенств
Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.
Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a<b и c являются любыми числами, то a+c<b+c. Справедливыми окажутся свойства:
- если a>b, то a+c>b+c;
- если a≤b, то a+c≤b+c;
- если a≥b, то a+c≥b+c.
Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.
Определение 7
Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a<b, тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a+c<b+c.
Доказательство 2
Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a<b. Тогда (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Из условия a<b получим, что a−b<0. Значит, (a+c)−(b+c)<0, откуда a+c<b+c. Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа –с.
Пример 3
К примеру, если обе части неравенства 7>3 увеличиваем на 15, тогда получаем, что 7+15>3+15. Это равно 22>18.
Определение 8
Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c, получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a<b и c являются положительными числами, то a·c<b·c, а если v является отрицательным числом, тогда a·c>b·c.
Доказательство 3
Когда имеется случай c>0, необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a·c−b·c=(a−b)·c. Из условия a<b, то a−b<0, а c>0, тогда произведение (a−b)·c будет отрицательным. Отсюда следует, что a·c−b·c<0, где a·c<b·c. Другая часть доказывается аналогичным образом.
При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1c. Рассмотрим пример свойства на определенных числах.
Пример 4
Разрешено обе части неравенства 4<6 умножаем на положительное 0,5, тогда получим неравенство вида −4·0,5<6·0,5, где −2<3. Когда обе части делим на -4, то необходимо изменить знак неравенства на противоположный . отсюда имеем, что неравенство примет вид −8:(−4)≥12:(−4), где 2≥−3.
Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:
- Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как a<b, как −a>−b. Это соответствует правилу умножения обеих частей на -1. Оно применимо для перехода. Например, −6<−2, то 6>2.
- Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами, a<b, 1a>1b.
При делении обеих частей неравенства a<b разрешается на число a·b. Данное свойство используется при верном неравенстве 5>32 имеем, что 15<23. При отрицательных a и b c условием, что a<b , неравенство 1a>1b может получиться неверным.
Пример 5
Например, −2<3, однако, -12>13 являются неверным равенством.
Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.
Определение 9
Когда числа a, b, c, d справедливы для неравенств a<b и c<d, тогда верным считается a+c<b+d. Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Доказательство 4
Докажем, что (a+c)−(b+d) является отрицательным числом, тогда получим, что a+c<b+d. Из условия имеем, что a<b и c<d. Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a<b на число b, при c<d, получим неравенства вида a+c<b+c и b+c<b+d. Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a1, a2, …, an и b1, b2, …, bn справедливы неравенства a1<b1, a2<b2, …, an<bn , можно доказать метод математической индукции , получив a1+a2+…+an<b1+b2+…+bn.
Пример 6
Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака −5<−2, −1<12 и 3<4. Свойство позволяет определять то, что −5+(−1)+3<−2+12+4 является верным.
Определение 10
Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a<b и c<d, где a, b, c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a·c<b·d считается справедливым.
Доказательство 5
Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a<b умножить на число с, а обе части c<d на b. В итоге получим, что неравенства a·c<b·c и b·c<b·d верные, откуда получим свойство транизитивности a·c<b·d.
Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a1, a2, …, an и b1, b2, …, bnявляются положительные числами, где a1<b1, a2<b2, …, an<bn, то a1·a2·…·an<b1·b2·…·bn.
Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.
Пример 7
К примеру, неравенство 1<3 и −5<−4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1·(−5)<3·(−4), считается, что −5<−12 это является неверным неравенством.
Следствие: Почленное умножение неравенств a<b с положительными с a и b, причем получается an<bn.
Свойства числовых неравенств
Рассмотрим ниже свойства числовых неравенств.
- a<a, a>a – неверные неравенства,
a≤a, a≥a- верные неравенства. - Если a<b, то b>a – антисимметричность.
- Если a<b и b<c то a<c – транзитивность.
- Если a<b и c – любоое число, то a+с<b+c.
- Если a<b и c – положительное число, то a·c<b·c,
Если a<b и c – отрицательное число, то a·c>b·c.
Следствие 1: если a<b, то -a>-b.
Следствие 2: если a и b – положительные числа и a<b, то 1a>1b.
- Если a1<b1, a2<b2,…, an<bn, то a1+a2+…+an<b1+b2+…+bn.
- Если a1, a2,…, an, b1, b2,…,bn- положительные числа и a1<b1, a2<b2,…, an<bn, то a1·a2·…·an<b1·b2·…bn.
Cледствие 1: если a<b, a и b – положительные числа, то an<bn.
Источник