Какие из перечисленных свойств площадей является основными

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h – высоте ▲ABC и ▲ADC.
Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac{1}{2} cdot
a cdot h$$, то $$S_{ABC} = S_{ADC} = frac{1}{2} cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Если
два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей
равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Доказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим
отношение площадей этих треугольников $$frac{S_{1}}{S_{2}}=
frac{frac{1}{2} cdot a cdot h_{1}}{frac{1}{2} cdot b cdot
h_{2}}$$.
Упростив, получим $$frac{S_{1}}{S_{2}}= frac{a}{b}$$.

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол.

Доказательство:
Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC.
Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение
площадей ▲ABC и ▲MBN.

Тогда
$$frac{S_{1}}{S_{2}} = frac{frac{1}{2} cdot a_{1} cdot b_{1} cdot
sin B}{frac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin B}$$. Упростив, получим $$frac{S_{1}}{S_{2}} = frac{ a_{1} cdot b_{1}} { a cdot b}$$.

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:
Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN. Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника
вида $$S = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN. Тогда $$frac{S_{1}}{S_{2}} = frac{frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin B}{frac{1}{2} cdot MB cdot NB cdot sin B}= frac{k cdot NB cdot k cdot MB}{MB cdot NB} = k^{2}$$ .

Свойство № 5

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Доказательство:
Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = frac{1}{2}AC$$. Медиана делит треугольник на
два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по
формуле $$S = frac{1}{2}cdot a cdot h$$. Получим $$S_{ABM} = frac{1}{2}cdot AM cdot h$$ и $$S_{MBC} = frac{1}{2}cdot MC cdot h$$. Значит $$S_{ABM} = S_{MBC}$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.

Доказательство:
Рассмотрим ▲ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в
точке O. Получим треугольники ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC. Пусть их площади равны
соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK, они
равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK – медиана, значит
площади треугольников ▲AOKи ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично
можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Свойство №7

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC. NM – средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_{NBM} = frac{1}{2} cdot NM cdot h_{1}= frac{1}{2}(frac{1}{2} cdot AC)(frac{1}{2}cdot h) = frac{1}{4}cdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC.

Свойство №8

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Доказательство: По
свойству №7 площади ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC равны. По свойству №5 площади ▲AOM, ▲BOM равны.
Значит S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если S1 + S6 = S2 + S3 и 2S1 = 2S2 значит S1 = S2. И так
далее. получим, что все шесть треугольника имеют равные площади и они
составляют шестую часть от площади ▲ABC.

Источник

Главная 
Вопросы & Ответы 
Вопрос 16237590

Зачетный Опарыш

более месяца назад

Просмотров : 3
Ответов : 1

Лучший ответ:

Суррикат Мими

А) площадь квадрата равна квадрата своей стороны .

более месяца назад

Ваш ответ:

Комментарий должен быть минимум 20 символов

Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт

Какие из перечисленных свойств площадей является основными

Лучшее из галереи за : неделю месяц все время

Какие из перечисленных свойств площадей является основными

Вы можете из нескольких рисунков создать анимацию (или целый мультфильм!). Для этого нарисуйте несколько последовательных кадров
и нажмите кнопку Просмотр анимации.

Другие вопросы:

Зачетный Опарыш

вы встали на эскалатор в метро. При входе ваш шнурок зацепился за ступеньку как вы поступите? -30 баллов

более месяца назад

Смотреть ответ

Просмотров : 3
Ответов : 1

Мари Умняшка

Помогите пожалуйста решить 3 любых уравнения

более месяца назад

Смотреть ответ

Просмотров : 2
Ответов :
Картинок: 1

Зачетный Опарыш

СРОЧНО!!!!! 1)Какие самостоятельные части речи вы знаете? Назовите общее грамматическое значение каждой из них. 2)В чем особенность наречий как части речи? 3)Какие способы словообразования типичны для наречий? 4)Какие наречия имеют форму степени сравнения? 5)Какие синтаксические функции может в…

более месяца назад

Смотреть ответ

Просмотров : 2
Ответов : 1

Пармезан Черница

Звідки родом ці рослини? Ваніль. Помідор. Картопля. Кукурудза. Какао А. З Америки Б. З Європи В. З Азії Г. З Австралії Д. З Африки

более месяца назад

Смотреть ответ

Просмотров : 4
Ответов : 1

Пармезан Черница

Что такое Present perfect or Past simple?

более месяца назад

Смотреть ответ

Просмотров : 1
Ответов : 1
Картинок: 1

Источник

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Тема проекта: «Свойства площади при осуществлении вычислений»

2 слайд

Описание слайда:

Площадь Единицы площади 1 см² дм² м² а га км² = 100 мм² см² дм² м² а га Умение вычислять площади фигур имеет большое практическое применение в деятельности человека

3 слайд

Описание слайда:

Свойства площадей Равные многоугольники имеют равные площади; Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников; Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

4 слайд

Описание слайда:

6 Тренажёр «Найди площадь фигуры». Условие: длина одной клеточки равна 1 см. 8 9 1 см

5 слайд

Описание слайда:

Формулы площадей фигур

6 слайд

Описание слайда:

Теоремы о площадях Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. А B C D A B C

7 слайд

Описание слайда:

Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

8 слайд

Описание слайда:

Некоторые следствия 1. Площади треугольников, имеющих одно и то же основание, пропорциональны высотам. 2. Площади треугольников, имеющих одну и ту же высоту, пропорциональны основаниям. 3. Площади треугольников, имеющих общий угол, пропорциональны произведениям сторон, заключающих этот угол.

9 слайд

Описание слайда:

Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. B C A H D A B C D

10 слайд