Какие из перечисленных свойств площадей являются основными
В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.
Основные свойства площадей.
Свойство №1 Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться. | Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h – высоте ▲ABC и ▲ADC. Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac{1}{2} cdot a cdot h$$, то $$S_{ABC} = S_{ADC} = frac{1}{2} cdot AC cdot h$$. |
Свойство №2 Если | Доказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac{S_{1}}{S_{2}}= frac{frac{1}{2} cdot a cdot h_{1}}{frac{1}{2} cdot b cdot h_{2}}$$. Упростив, получим $$frac{S_{1}}{S_{2}}= frac{a}{b}$$. |
Если два треугольника имеют общий | Доказательство: |
Тогда
$$frac{S_{1}}{S_{2}} = frac{frac{1}{2} cdot a_{1} cdot b_{1} cdot
sin B}{frac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin B}$$. Упростив, получим $$frac{S_{1}}{S_{2}} = frac{ a_{1} cdot b_{1}} { a cdot b}$$.
Свойство №4 Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия. | Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN. Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN. Тогда $$frac{S_{1}}{S_{2}} = frac{frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin B}{frac{1}{2} cdot MB cdot NB cdot sin B}= frac{k cdot NB cdot k cdot MB}{MB cdot NB} = k^{2}$$ . |
Свойство № 5 Медиана треугольника делит его на две равновеликие части. | Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = frac{1}{2}AC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = frac{1}{2}cdot a cdot h$$. Получим $$S_{ABM} = frac{1}{2}cdot AM cdot h$$ и $$S_{MBC} = frac{1}{2}cdot MC cdot h$$. Значит $$S_{ABM} = S_{MBC}$$. |
Свойство №6 Медианы треугольника делят его на три равновеликие части. | Доказательство: Рассмотрим ▲ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC. Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK, они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK – медиана, значит площади треугольников ▲AOKи ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 . |
Свойство №7 Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади . | Доказательство: Рассмотрим ▲ABC. NM – средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_{NBM} = frac{1}{2} cdot NM cdot h_{1}= frac{1}{2}(frac{1}{2} cdot AC)(frac{1}{2}cdot h) = frac{1}{4}cdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC. |
Свойство №8 Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей. | Доказательство: По свойству №7 площади ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC равны. По свойству №5 площади ▲AOM, ▲BOM равны. Значит S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если S1 + S6 = S2 + S3 и 2S1 = 2S2 значит S1 = S2. И так далее. получим, что все шесть треугольника имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ▲ABC. |
Источник
Опубликовано 11 месяцев назад по предмету
Математика
от Фистах
Не тот ответ, который вам нужен?
Найди нужный
Самые новые вопросы
Математика – 5 месяцев назад
Сколько здесь прямоугольников
История – 1 год назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература – 1 год назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык – 1 год назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Русский язык – 1 год назад
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
Русский язык – 1 год назад
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика – 1 год назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Источник
(Класс 11, модуль XII, урок 1)
Теоретические основы площади и объема
Урок 1. Элементарные фигуры на плоскости
План урока
1.1. Общие представления о площади
1.2. Понятие палетки
1.3. Элементарные фигуры и их площадь
1.4. Свойства площади для элементарных фигур
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке начинают рассматриваться общие подходы к определению площадей и объемов, берущих начало еще в античные времена и составляющих основу современных представлений теории меры. После формулировки основных свойств площади определяются элементарные фигуры и их площадь. Теоретический материал иллюстрируется наглядными примерами и задачами.
1.1. Общие представления о площади
В младших классах вы познакомились с основными свойствами площади плоских фигур. Напомним сейчас эти свойства, так как они чрезвычайно важны для понимания дальнейшего изложения. Площадью называется неотрицательная числовая характеристика фигур на плоскости, для которой выполнены следующие свойства.
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если какая-нибудь фигура составлена из нескольких частей, не имеющих общих внутренних точек, то площадь всей фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей.
3. Единицей площади считается площадь квадрата со стороной, равной единице длины.
С этими свойствами связан целый ряд принципиальных вопросов, с давних пор привлекавших внимание математиков: можно ли приписать определенную площадь каждой плоской фигуре, не нарушая свойств 1–3, сколькими способами это можно сделать, как указать простые формулы для вычисления площадей тех или иных классов фигур и так далее. Эти вопросы оказались настолько трудными и так тесно связанными с основаниями математики, что ответы на них получены сравнительно недавно — в начале XX века, хотя они интенсивно исследовались с незапамятных времен. В частности, еще античными учеными было показано, что простейшие геометрические фигуры – прямоугольники, параллелограммы, треугольники и трапеции — имеют площади, а также установлены известные формулы для их площадей. Вывод этих формул изучался ранее.
1.2. Понятие палетки
Простейшим инструментом для приближенного измерения площадей является палетка, т. е. равномерная сетка из одинаковых квадратов. Сетку накладывают на измеряемую фигуру и считают число квадратов, полностью поместившихся внутри фигуры (рис. 1). Сумма площадей этих квадратов является приближенным значением искомой площади с недостатком. Если же подсчитать, сколько квадратов имеют с данной фигурой общие точки, то получится приближенное значение площади с избытком. Разность между
этими приближениями дает оценку погрешности измерения. Когда погрешность слишком велика, берут палетку с более мелким шагом и снова повторяют процедуру измерения площади. Так действуют до тех пор, пока погрешность не достигнет приемлемых значений.
Вы уже знакомились ранее с этим методом на примерах измерения площадей треугольников, многоугольников, кругов и других фигур. Оказывается, что такой подход является универсальным. Он пригоден для общего определения измеримых фигур и строгого обоснования всех свойств площади. Мы переходим теперь от рассмотрения конкретных примеров к систематическому изложению соответствующих понятий.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Через каждую точку оси с координатой проведем прямую, параллельную оси . Аналогично, через каждую точку оси с координатой проведем прямую, параллельную оси . В результате вся плоскость покроется сетью одинаковых квадратов единичной площади (рис. 2). Эту сеть будем называть сетью нулевого ранга. Иногда такую сеть квадратов называют палеткой нулевого ранга, связанной с заданной прямоугольной системой координат, сокращенно палеткой нулевого ранга.
Если проводить соответствующие прямые через точки с координатами и , то получится сеть с более мелким шагом: каждый из квадратов сети нулевого ранга разделится на четыре равных квадрата площади (рис. 3). Эту сеть назовем сетью первого ранга или палеткой первого ранга.
Вообще, для всякого целого определим сеть ранга следующим образом. Через точки оси с координатами проведем прямые, параллельные оси , а через точки оси с координатами — прямые, параллельные оси . Сторона любого квадрата этой сети равна , а площадь – .
Особо отметим, что при переходе от сети ранга к сети ранга каждый квадрат делится на четыре одинаковых меньших квадратика.
Говоря о “квадрате сети ранга “, мы имеем в виду соответствующий замкнутый квадрат, то есть часть плоскости, ограниченную контуром квадрата, включая сам этот контур.
1.3. Элементарные фигуры и их площадь
Легко найти площадь любой фигуры, составленной из квадратов сети ранга . Достаточно сосчитать число таких квадратов и умножить его на — площадь одного квадрата -го ранга. Это обстоятельство является основанием для следующего определения.
Элементарной фигурой (ранга ) называется объединение конечного числа квадратов сети ранга . Площадь (или мера) элементарной фигуры равна сумме площадей составляющих ее квадратов.
В дальнейшем площадь элементарной фигуры будем обозначать через .
Одну и ту же элементарную фигуру можно составлять из квадратов разного ранга. Пусть, например, фигура составлена из квадратов -го ранга. Следовательно, ее площадь равняется . Разделим каждый квадрат ранга на 4 квадрата ранга (рис. 4). Получится разложение той же самой фигуры в объединение квадратов ранга , однако площадь при этом никак не изменится, поскольку
Точно так же, если разделить каждый квадрат ранга на квадратиков ранга , то получится разложение фигуры в объединение квадратов ранга . Сумма их площадей снова равняется
Таким образом, всякая элементарная фигура ранга одновременно является элементарной фигурой ранга , причем значение площади не зависит от того, какой ранг ей приписан. Именно поэтому точное значение ранга несущественно, и мы часто будем его опускать, говоря просто об “элементарных фигурах”.
Пустое множество также удобно считать элементарной фигурой (любого ранга), площадь которой равна нулю.
1.4. Свойства площади для элементарных фигур
Площадь элементарных фигур обладает свойствами 1–3, перечисленными в начале этого параграфа. В доказательстве нуждается только свойство 2.
Пусть и — элементарные фигуры рангов и соответственно. Положим и будем считать, что фигура составлена из квадратов, а — из квадратов ранга . Если и не имеют общих внутренних точек, то в состав объединения входят квадратов ранга . Значит,
Понятно, что доказанное свойство останется справедливым для любого конечного набора элементарных фигур. Это свойство играет принципиальную роль в теории меры, и его называют специальным термином — аддитивность.
Непосредственно из определений вытекает, что если элементарная фигура содержит элементарную фигуру , то . Это свойство называется монотонностью площади и в символической форме может быть записано так:
Таким образом, площадь элементарных фигур аддитивна и монотонна.
Очевидно, что теоретико-множественное объединение двух элементарных фигур всегда является элементарной фигурой. Однако для пересечений и разностей это уже не так. Поэтому нам придется определить пересечения и разности элементарных фигур специальным образом, чтобы они всегда оставались элементарными фигурами.
Пусть и — элементарные фигуры. Не уменьшая общности, будем считать, что они имеют один и тот же ранг (этого всегда можно добиться, переходя к наибольшему из рангов и ).
Элементарным пересечением фигур и назовем объединение всех квадратов -го ранга, которые входят в состав той и другой фигуры одновременно.
Для обозначения элементарного пересечения будем использовать символ .
Элементарной разностью фигур и назовем объединение всех квадратов -го ранга, которые входят в состав , но не входят в состав .
Элементарную разность будем обозначать как .
Может оказаться, что пересечение или разность элементарных фигур окажется пустым множеством. Именно для того, чтобы эти операции всегда имели смысл, мы условились считать пустое множество элементарной фигурой.
Нетрудно проверить, что для любых элементарных фигур справедливы формулы
Фигуры в правой части каждого из этих равенств не имеют общих внутренних точек. Отсюда и из свойства аддитивности площади элементарных фигур вытекает, что
,
.
В частности, если , то , и
Проверь себя. Элементарные фигуры на плоскости
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Элементарная фигура состоит из 8 квадратов палетки ранга 3. Сколько квадратов палетки ранга 5 составляют эту фигуру?
1. 32
2. 64
3. 128
4. 256
(Правильный вариант: 3)
Элементарная фигура состоит из одного квадрата палетки ранга 0, из двух квадратов ранга 1, из трех квадратов ранга 2, причем ни один из квадратов не лежит внутри другого. Сколько квадратов палетки ранга 2 составляют эту фигуру?
1. 21
2. 23
3. 25
4. 27
(Правильный вариант: 4)
Элементарная фигура состоит из одного квадрата палетки ранга 0, из одного квадрата ранга 1, одного квадрата ранга 2, одного квадрата ранга 3, одного квадрата ранга 4, одного квадрата ранга 5 причем ни один из квадратов не лежит внутри другого. Сколько квадратов палетки ранга 5 составляют эту фигуру?
1. 85
2. 341
3. 1365
4. 3413
(Правильный вариант: 3)
Сколько квадратов сети ранга , где – натуральное число, имеют общие точки с контуром квадрата нулевого ранга?
1.
2.
3.
4.
(Правильный вариант: 4)
Проверь себя. Элементарные фигуры на плоскости
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
.
Для каких из указанных значений существует элементарная фигура площади ?
1.
2.
3.
4.
(Правильные варианты: 1, 3)
Для каких из указанных значений существует элементарная фигура площади ?
1.
2.
3.
4.
(Правильные варианты: 1, 2, 4)
В каких из указанных случаев квадрат на координатной плоскости является элементарной фигурой?
1.
2.
3.
4.
(Правильные варианты: 1, 3)
В каких из указанных случаев прямоугольник на координатной плоскости является элементарной фигурой?
1.
2.
3.
4.
(Правильные варианты: 1, 2)
Домашнее задание
1. Для прямоугольника с вершинами , , , найдите элементарные фигуры и такие, что , , а модуль разности площадей фигур и меньше 0,01.
2. Для прямоугольника с вершинами , , , найдите элементарные фигуры и такие, что
, , а модуль разности площадей фигур и меньше 0,01.
3. Для треугольника с вершинами , , найдите элементарную фигуру такую, что , а площадь фигуры больше 1,8.
4. Для треугольника с вершинами , , найдите элементарную фигуру такую, что , а площадь фигуры меньше 3,2.
5. Докажите, что если два прямоугольника являются элементарными фигурами и имеют общую сторону, то их объединение также прямоугольник, являющийся элементарной фигурой.
6. Для трапеции с вершинами , , , найдите элементарные фигуры и такие, что , , а модуль разности площадей фигур и меньше 0,1.
7. Для отрезка с концами и найдите элементарную фигуру такую, что , а площадь фигуры меньше 0,1.
8. Докажите, что если и — элементарные фигуры, причем и , то .
Словарь терминов
Палетка. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и проведены прямые с уравнениями , . В результате вся плоскость оказывается покрытой сетью одинаковых квадратов единичной площади. Эту сеть будем называть сетью нулевого ранга, или сокращенно палеткой нулевого ранга.
Аналогично, если для всякого целого проведем прямые с уравнениями , , то получим сеть квадратов ранга , или сокращенно палетку ранга .
Элементарная фигура. Элементарной фигурой (ранга ) называется объединение конечного числа квадратов сети ранга . Площадь (или мера) элементарной фигуры равна сумме площадей составляющих ее квадратов.
Аддитивность площади. . Если элементарные фигуры и не имеют общих внутренних точек, то
Это свойство играет принципиальную роль в теории меры, и его называют специальным термином — аддитивность.
Монотонность площади. Если элементарная фигура содержит элементарную фигуру , то . Это свойство называется монотонностью площади и в символической форме может быть записано так:
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. Fig01.eps
Рисунок 2. Fig02.eps
Рисунок 3. Fig03.eps
Рисунок 4. Fig04.eps
Источник
Ответ
Ответ дан
емнмкгднакснр
А) площадь квадрата равна квадрата своей стороны .