Какие из свойств трапеции являются существенными
Привет!
Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.
Основные определения, формулы и свойства.
Помни о своей цели!
Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты! Будь уверен!
Приступим!
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Что такое трапеция?
Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.
Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.
Вот, смотри:
Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).
И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?
А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)
Свойства трапеции
Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ) и ( displaystyle angle 3+angle 4=180{}^circ ))
Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что ( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle 2) – внутренние односторонние углы при параллельных ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) и секущей ( displaystyle AB). Поэтому ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ). И точно так же ( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle 4) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC), но секущая теперь – ( displaystyle CD).
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
Снова порассуждаем об углах:
Опять ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) – параллельные, а диагональ ( displaystyle AC) – секущая. Поэтому ( displaystyle angle 1=angle 2).
А теперь рассмотрим сразу 2 диагонали и 4 угла:
( displaystyle angle 1=angle 2)
( displaystyle angle 3=angle 4)
Что из этого может следовать?
Очень важный факт:
Треугольники ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: ( displaystyle K=frac{a}{b}).
Средняя линия трапеции
Для начала – что же такое средняя линия трапеции?
Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.
Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:
( displaystyle m=frac{a+b}{2}), то есть:
Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований.
А ещё:
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.
Трапеция, вписанная в окружность
Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
Доказывать это мы не будем (здесь, во всяком случае), а вот запомнить хорошо бы – пригодится!
Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.
Так что, если у тебя в задаче трапеция, – используй параллельность и всё получится!
Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.
Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ) и ( displaystyle angle 3+angle 4=180{}^circ ))
Почему? ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) – параллельны, а ( displaystyle AB) и ( displaystyle CD) – секущие, поэтому:
- ( angle 1+angle 2=180{}^circ );
- ( angle 3+angle 4=180{}^circ ).
Треугольники ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) подобны по двум углам.
(( displaystyle angle 1=angle 2) и ( displaystyle angle 3=angle 4) – как накрест лежащие)
Коэффициент подобия треугольников ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) равен отношению оснований:
( K=frac{a}{b})
Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
А теперь формула:
А вот и само третье свойство трапеции:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!
Итак, проведём ( displaystyle CEparallel AB). Тогда четырехугольник ( displaystyle ABCE) – параллелограмм.
Возьмём середину ( displaystyle M) стороны ( displaystyle AB) и середину ( displaystyle K) стороны ( displaystyle CE).
Оба: ( displaystyle MBCK) и ( displaystyle AMKE) – снова параллелограммы (( displaystyle MBparallel CK) и ( displaystyle MB=CK); ( displaystyle AMparallel KE) и ( displaystyle AM=KE)).
Ну вот, значит ( displaystyle MKparallel AD), да ещё ( displaystyle MK=BC=a).
Поедем дальше.
Проведём ( displaystyle KN) – среднюю линию в ( displaystyle Delta ECD).
Знаем, что ( displaystyle KNparallel ED) и ( KN=frac{1}{2}ED)
Что же из всего этого следует?
- ( displaystyle MNparallel AD) (так как через точку ( displaystyle K) можно провести лишь одну прямую параллельную ( displaystyle AD), поэтому ( displaystyle MK) и ( displaystyle KN) – одна прямая ( displaystyle MN))
- ( displaystyle MN=MK+KN=a+frac{b-a}{2})
( displaystyle MN=frac{a+b}{2})
Вот и доказали!
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.
Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
( angle 1+angle 2=180{}^circ ) (трапеция же!)
( angle 3+angle 2=180{}^circ ) (вписанный четырехугольник)
( Rightarrow angle 1=angle 3). Ну, и так же ( angle 2=angle 4).
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:
- ( displaystyle E) – точка пересечения продолжений боковых сторон;
- ( displaystyle F) и ( displaystyle H) – середины оснований;
- ( displaystyle G) – точка пересечения диагоналей.
Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.
Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:
Если в каком-нибудь четырехугольнике какие-нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой, то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.
( left{ begin{array}{l}angle 1+angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ -так, как, трапеция\angle 1=angle 2\angle 3=angle 4 -так, как, биссектрисаend{array} right.Rightarrow 2cdot angle 2+2cdot angle 3=180{}^circ Rightarrow )
( angle 2+angle 3=90{}^circ Rightarrow angle AEB =90{}^circ )
Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.
В трапеции с перпендикулярными диагоналями ( FH=frac{AD+BC}{2})
Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.
Проведём ( displaystyle BKparallel AC) и ( displaystyle BLparallel FH).
Обозначим ( displaystyle BC=text{ }a); ( displaystyle AD=b).
Тогда:
- ( displaystyle Delta KBD) – прямоугольный
- ( begin{array}{l}left{ begin{array}{l}LD=frac{b}{2}+frac{a}{2}=frac{a+b}{2}\LK=a+frac{b}{2}-frac{a}{2}=frac{a+b}{2}end{array} right.Rightarrow BL-медиана~в~ Delta KBD.\end{array})
Значит, ( BL=frac{KD}{2}) (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть ( BL=frac{a+b}{2}).
Но ведь ( displaystyle FH=BL) (так как ( displaystyle BFHL) – параллелограмм)( Rightarrow ) ( FH=frac{a+b}{2}).
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
- Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°
- ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ) и ( displaystyle angle 3+angle 4=180{}^circ )
Средняя линия трапеции (( displaystyle MN)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:
( displaystyle AM=MB, CN=ND).
- Средняя линия параллельна основаниям: ( displaystyle MNparallel BCparallel AD).
- Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: ( displaystyle MN=frac{BC+AD}{2}).
- Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: ( displaystyle k=frac{BC}{AD}). - Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: ( displaystyle {{S}_{Delta AOB}}={{S}_{Delta COD}}).
Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:
( displaystyle AB=CD).
Свойства равнобедренной трапеции:
- диагонали равны: ( displaystyle AC=BD);
- углы при основании равны: ( displaystyle angle A=angle D,text{ }angle B=angle C);
- сумма противолежащих углов равна ( displaystyle 180{}^circ ): ( displaystyle angle A+angle C=angle B+angle D=180{}^circ ).
- Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
- Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: ( displaystyle A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=ADcdot BC+A{{B}^{2}}).
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: ( displaystyle {{S}_{ABCD}}=frac{BC+AD}{2}cdot h).
P.S. Последний бесценный совет ????
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.
Почему?
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
Набить руку, решая задачи.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.
Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.
А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.
После регистрации ты сможешь:
- проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
- подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
- понять тему с помощью статей учебника YouClever;
- набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
- сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.
Бонус: информатика и физика.
И в заключение…
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Скажи погромче!
Если умеешь решать задачи по свойствам трапеции об окружности и о сумме сторон, поздравляю, ты сделал шаг в олимпиадный уровень!
А еще задачи по этой теме встречаются особенно часто во второй части ОГЭ.
Понравилась ли тебе статья? Все ли было понятно?
Если есть вопросы или предложения, пиши нам внизу в комментариях! А еще пиши, что думаешь о статье в целом ????
Мы читаем все и будем очень рады узнать.
Удачи!
Источник
Определение.
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами
Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
Элементы трапеции:
- Основы трапеции – параллельные стороны
- Боковые стороны – две другие стороны
- Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Виды трапеций:
- Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Основные свойства трапеции
1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
AB + CD = BC + AD
2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.
5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:
BC : AD = OC : AO = OB : DO
7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
d12 + d22 = 2ab + c2 + d2
Сторона трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:
a = 2m – b
b = 2m – a
2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:
a = b + h · (ctg α + ctg β)
b = a – h · (ctg α + ctg β)
3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:
a = b + c·cos α + d·cos β
b = a – c·cos α – d·cos β
4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
| с = | h | d = | h |
| sin α | sin β |
Средняя линия трапеции
Определение.
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
Высота трапеции
Формулы определения длины высоты трапеции:
1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:
h = c·sin α = d·sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
| h = | sin γ · | d1d2 | = | sin δ · | d1d2 |
| a + b | a + b |
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
| h = | sin γ · | d1d2 | = | sin δ · | d1d2 |
| 2m | 2m |
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:
d1 = √a2 + d2 – 2ad·cos β
d2 = √a2 + c2 – 2ac·cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d1 = | √ | d 2 + ab – | a(d 2 – c2) |
| a – b |
| d2 = | √ | c2 + ab – | a(c2 – d 2) | a – b |
3. Формула длины диагоналей через высоту:
d1 = √h2 + (a – h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2
d2 = √h2 + (a – h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2
4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:
d1 = √c2 + d 2 + 2ab – d22
d2 = √c2 + d 2 + 2ab – d12
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
2. Формула площади через среднюю линию и высоту:
S = m · h
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d1d2 | · sin γ | = | d1d2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
| S = | a + b | √ | c2 – | ( | (a – b)2 + c2 – d 2 | ) | 2 |
| 2 | 2(a – b) |
5. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √(p – a)(p – b)(p – a – c)(p – a – d) |
| |a – b| |
где
| p = | a + b + c + d | – полупериметр трапеции. |
| 2 |
Периметр трапеции
Формула определения периметра трапеции:
1. Формула периметра через основания:
P = a + b + c + d
Окружность описанная вокруг трапеции
Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d1 |
| 4√p(p – a)(p – c)(p – d1) |
где
a – большее основание
Окружность вписанная в трапецию
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
a + b = c + d
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
Другие отрезки разносторонней трапеции
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Источник
Беседа 5. Математические понятия и их определения
Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) четное число делится на два и т. д.
Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: “5 больше 3”, “АВ является стороной треугольника ABC“, “Угол А не является смежным с углом В” и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.?
Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения. Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Несущественные свойства – это обычно случайные, их отсутствие, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.
Рис. 3
Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и ВС равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и делит угол В пополам – это существенные свойства этого треугольника. А вот свойства: 3) основание АС равнобедренного треугольника ABC горизонтально или 4) вершина равнобедренного треугольника обозначена буквой В – являются несущественными. Если мы как-то повернем этот треугольник и его основание при этом окажется расположено не горизонтально или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь треугольник не перестанет быть равнобедренным.
Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие – это целостная совокупность суждений о существенных с?