Какие общие свойства имеют квадрат и прямоугольник

Привет!

Клод Бернард однажды сказал:

«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»

Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!

Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми “популярными” четырехугольниками ???? И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу!

Поехали!

ШПОРА. СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны равны: ( displaystyle AB=CD), ( displaystyle AD=BC).
Противоположные углы равны: ( displaystyle angle A=angle C), ( displaystyle angle B=angle D).
Углы при одной стороне составляют в сумме ( displaystyle 180{}^circ ): ( displaystyle angle A+angle B=180{}^circ ), ( displaystyle angle B+angle C=180{}^circ ), ( displaystyle angle C+angle D=180{}^circ ), ( displaystyle angle A+angle D=180{}^circ ).
Диагонали делятся точкой пересечения пополам: ( displaystyle BO=OD; AO=OC).

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые:

( displaystyle angle A=angle B=angle C=angle D=90{}^circ ).

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны: ( displaystyle AC=BD).
Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой:

( displaystyle AB=BC=CD=DA).

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны: ( displaystyle ACbot BD).
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ( displaystyle angle BAC=angle CAD); ( displaystyle angle BCA=angle DCA); ( displaystyle angle CBD=angle DBA); ( displaystyle angle CDB=angle BDA).
Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые:

( displaystyle AB=BC=CD=DA);

( displaystyle angle A=angle B=angle C=angle D=90{}^circ ).

Свойства квадрата:

Квадрат – ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А также:

( displaystyle left{ begin{array}{l}ACbot BD\ABCD – параллелограммend{array} right.Rightarrow)

( displaystyle Rightarrow )

( displaystyle ABCD) – ромб

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Смотри:

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Пересекли ещё двумя:

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Свойства параллелограмма

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

На этот вопрос отвечает следующая теорема.

В любом параллелограмме:

1
Противоположные стороны равны;
2
Противоположные углы равны;
3
Диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

( displaystyle AB=CD) и ( displaystyle AD=BC).

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

( displaystyle angle A=angle C) и ( displaystyle angle B=angle D).

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

( displaystyle AO=OC) и ( displaystyle BO=OD).

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Внимание! Начинаем.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.

( displaystyle AB=CD); ( displaystyle ABparallel CD) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

( displaystyle text{AB}=text{CD};text{AB}parallel text{CD}Rightarrow text{ABCD}) – паралелограмм.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

( displaystyle AB=CD); ( displaystyle AD=BC) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

( displaystyle AB=CD); ( displaystyle AD=BC) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

( displaystyle AO=OC); ( displaystyle BO=OD) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

НЕ ПРОПУСТИ!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него ( displaystyle angle A=angle Cleft( =90{}^circ right)) и ( displaystyle angle B=angle Dleft( =90{}^circ right)) – помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма ( displaystyle AB=CD) и ( displaystyle BC=AD), а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны:

( displaystyle AC=BD).

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Если у параллелограмма равны диагонали, то это – прямоугольник.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него ( displaystyle AB=CD) и ( displaystyle BC=AD) (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

( displaystyle ACbot BD) (если ты забыл, напомню: ( bot ) – значок перпендикулярности)

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ ( displaystyle AC) – биссектриса углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C). Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому ( displaystyle ABCD) – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен ( displaystyle 45{}^circ ).

Понятно почему? Квадрат – ромб ( displaystyle Rightarrow AC) – биссектриса угла A, который равен ( displaystyle 90{}^circ ). Значит ( displaystyle AC) делит ( displaystyle angle A) (да и ( displaystyle angle C) тоже) на два угла по ( displaystyle 45{}^circ ).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник ( displaystyle Rightarrow )диагонали равны; ромб ( displaystyle Rightarrow )диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм ( displaystyle Rightarrow )диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна ( displaystyle a), то его диагональ равна ( displaystyle asqrt{2}).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к ( displaystyle Delta ADC).

( displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}})

Значит, ( displaystyle AC=sqrt{2}cdot a).

НРАВИТСЯ УЧЕБНИК?

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства паралеллограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма

В любом параллелограмме:

1. Противоположные стороны равны

2. Противоположные углы равны

3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Давай проведём диагональ ( displaystyle AC). Что получится?

Два треугольника: ( displaystyle ABC) и ( displaystyle ADC).

Раз ( displaystyle ABCD) – параллелограмм, то:

( displaystyle AD||BC) ( displaystyle Rightarrow ~angle 1=angle 2) как накрест лежащие;
( displaystyle AB||CD ) ( displaystyle Rightarrow ~angle 3=angle 4) как накрест лежащие.

Значит, ( displaystyle Delta ABC=Delta ADC) (по II признаку: ( displaystyle angle 1=angle 2,~~angle 3=angle 4~) и ( displaystyle AC) – общая.)

Ну вот, а раз ( displaystyle Delta ABC=Delta ADC), то ( displaystyle AB=CD) и ( displaystyle AD=BC) – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь ( displaystyle angle 1+angle 3=angle 2+angle 4) (смотри на картинку), то есть ( displaystyle angle A=angle C), а ( displaystyle angle B=angle D) именно потому, что ( displaystyle Delta ABC=Delta ADC).

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что ( displaystyle AB=CD). Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что ( displaystyle Delta AOB=Delta COD) – по II признаку (( displaystyle 2) угла и сторона «между» ними).

Значит, ( displaystyle BO=OD) (напротив углов ( displaystyle angle 2) и ( displaystyle angle 1)) и ( displaystyle AO=OC) (напротив углов ( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle 4) соответственно).

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос “как узнать?”, что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

( displaystyle AB=CD);( displaystyle ABparallel CD) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему ( displaystyle ADparallel BC) – этого хватит. Но смотри:

( displaystyle Delta ABC=Delta ADC) по 1 признаку:

( displaystyle AB=CD), ( displaystyle AC)- общая и ( displaystyle angle 1=angle 2) как накрест лежащие при параллельных

( displaystyle AB) и ( displaystyle CD) и секущей ( displaystyle AC).

А раз ( displaystyle Delta ABC=Delta ADC),

то ( displaystyle angle 3= angle 4) (лежат напротив ( displaystyle AB) и ( displaystyle CD) соответственно).

Но это значит, что ( displaystyle AD||BC) (( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle 4) – накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

( displaystyle AB=CD), ( displaystyle AD=BC) ( displaystyle Rightarrow) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Ну, это ещё легче!

Снова проведём диагональ ( displaystyle AC).

Теперь ( displaystyle Delta ABC=Delta ACD) просто по трём сторонам.

А значит:

( displaystyle angle 1=angle 2) ( displaystyle Rightarrow ADparallel BC) и ( displaystyle angle 3=angle 4) ( displaystyle Rightarrow ABparallel CD), то есть ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

( displaystyle angle A=angle C), ( displaystyle angle B=angle D) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Итоже несложно. Но… по-другому!

( displaystyle 2alpha +2beta =360{}^circ ) (ведь ( displaystyle ABCD) – четырехугольник, а ( displaystyle angle A=angle C), ( displaystyle angle B=angle D) по условию).

Значит, ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ). Ух! Но ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) – внутренние односторонние при секущей ( displaystyle AB)!

Поэтому тот факт, что ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ) означает, что ( displaystyle ADparallel BC).

А если посмотришь с другой стороны, то ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) – внутренние односторонние при секущей ( displaystyle AD)! И поэтому ( displaystyle ABparallel CD).

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

( displaystyle AO=OC); ( displaystyle BO=OD) ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

И опять просто:

( displaystyle BO=OD;AO=OC), ( displaystyle angle 1=angle 2) как вертикальные ( displaystyle Rightarrow Delta AOB=Delta COD), ( displaystyle Rightarrow angle 3=angle 4), и ( displaystyle Rightarrow AB||CD).

Точно так же ( displaystyle BO=OD; AO=OC), ( displaystyle angle 5=angle 6)( displaystyle Rightarrow Delta AOD=Delta BOC Rightarrow )( displaystyle angle 7=angle 8), и ( displaystyle Rightarrow ADparallel BC).

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса “Подготовка к ЕГЭ с репетитором”

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Прямоугольник – параллелограмм
Диагонали прямоугольника равны

Пункт о параллелограмме совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (( displaystyle angle A=angle C) ( displaystyle angle B=angle D))

А пункт о диагоналях – очень важный. Итак, докажем, что…

Диагонали прямоугольника равны.

Раз прямоугольник – это параллелограмм, то ( displaystyle AB=CD).

А значит, ( displaystyle Delta ABD=Delta DCA) по двум катетам (( displaystyle AB=CD) и ( displaystyle AD) – общий).

Ну вот, раз треугольники ( displaystyle ABC) и ( displaystyle DCA) равны, то у них и гипотенузы ( displaystyle BD) и ( displaystyle AC) тоже равны.

Доказали, что ( displaystyle AC=BD)!

Признаки прямоугольника

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение:

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

( displaystyle ABCD) – параллелограмм ( displaystyle Rightarrow AB=CD)

( displaystyle AC=BD) – по условию.

( displaystyle Rightarrow Delta ABD=Delta DCA) – теперь уже по трём сторонам.

Значит, ( displaystyle angle A=angle D) (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что ( displaystyle ABCD) – параллелограмм, и поэтому ( displaystyle angle A=angle C,text{ }angle B=angle D).

Значит, ( displaystyle angle A=angle B=angle C=angle D). Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по ( displaystyle 90{}^circ )! Ведь в сумме-то они должны давать ( displaystyle 360{}^circ )!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но!Обрати внимание!Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него ( displaystyle AB=CD) и ( displaystyle BC=AD) (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Поэтому ( displaystyle Delta BOC=Delta DOC) по трём сторонам (( displaystyle BO=OD), ( displaystyle OC) – общая, ( displaystyle BC=CD)).

И значит, ( displaystyle angle BOC=angle COD), но они смежные!

( displaystyle Rightarrow angle BOC=90{}^circ ) и ( displaystyle angle COD=90{}^circ ).

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да потому же!

Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:

( displaystyle Delta BOC,text{ }Delta BOA, Delta AOD,text{ }Delta COD).

Поэтому

( displaystyle angle 1=angle 2;text{ }angle 5=angle 6;)

( displaystyle angle 3=angle 4;text{ }angle 7=angle 8;)

Иными словами, диагонали ( displaystyle BD) и ( displaystyle AC) оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

( displaystyle left{ begin{array}{l}ACbot BD\ABCD – параллелограммend{array} right.Rightarrow)
( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle ABCD) – ромб

Почему? Смотри:

( displaystyle ABCD) – параллелограмм ( displaystyle Rightarrow AO=CO;BO=OD).

Но ещё дано, что ( displaystyle ACbot BD) ( displaystyle Rightarrow) ( displaystyle Delta AOB=Delta BOC=Delta COD=Delta AOD) – по двум катетам.

И значит, ( displaystyle AB=BC=CD=AD) – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри:

( displaystyle angle A=angle C), так как ( displaystyle ABCD) – параллелограмм.

Но ещё дано, что ( displaystyle AC) – биссектриса углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C).

Значит, ( displaystyle Delta ABC=Delta ADC) и обаэтих треугольника – равнобедренные.

Значит, ( displaystyle AB=BC=CD=DA), то есть ( displaystyle ABCD) – ромб.

И снова обрати внимание!Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Это вовсене ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Признаки и свойства квадрата

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен ( displaystyle 45{}^circ ).

Понятно, почему? Квадрат – ромб ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle AC) – биссектриса угла ( displaystyle A), который равен ( displaystyle 90{}^circ ). Значит ( displaystyle AC) делит ( displaystyle angle A) (да и ( displaystyle angle C) тоже) на два угла по ( displaystyle 45{}^circ ).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник ( displaystyle Rightarrow ) диагонали равны; ромб ( displaystyle Rightarrow ) диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм ( displaystyle Rightarrow ) диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна ( displaystyle a), то его диагональ равна ( displaystyle asqrt{2}).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к ( displaystyle Delta ADC).

( displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}})

Значит, ( displaystyle AC=sqrt{2}cdot a)

P.S. Анонс бесплатных вебинаров на 14-е февраля 2021

Математика. ЕГЭ 13. Тригонометрическая замена. Задача-оборотень.

14 февраля 2021, воскресенье, 11-00

Мы на курсе уже прошли тригонометрию и научились решать 13-е задачи. В этих задачах чаще всего нужно синус или косинус заменить какой-то буквой, и решать квадратное уравнение.

Но что если я вам скажу, что есть такие задачи, в которых всё наоборот – нужно обычный икс заменить на синус или косинус, хотя изначально там нет никакого намёка на тригонометрию?

Приходите на урок в ближайшее воскресенье, и увидите такую задачу-оборотня, а заодно – научитесь решать дичайшие иррациональные уравнения.

https://youclever.org/free-sunday-webinars/ – регистрация на вебинары.

Информатика. ЕГЭ 24. Решаем задачу 24 несколькими способами

14 февраля 2021, воскресенье, 12-30

Вот чем хорош язык Python? Ну в общем-то всем, конечно:) Но особенно нас при подготовке к ЕГЭ в нём порадует огромное количество встроенных функций и методов для работы с текстом. Ведь в ЕГЭ есть задача №24, в которой нужно анализировать огромный текст. Приходите на наш бесплатный вебинар в воскресенье – там мы разберём одну такую задачу несколькими способами – и вы выберете для себя, какие приёмы вам больше по душе.

https://youclever.org/free-sunday-webinars/ – регистрация на вебинары.

Зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

Источник