Какие общие свойства имеют ромб квадрат и прямоугольник
Предварительные сведения
Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.
Определение 1
Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.
Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.
Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.
Определение 2
Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой.
Напомним основные свойства параллелограмма.
Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.
Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.
Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.
Прямоугольник
Определение 3
Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 1).
Рисунок 1. Прямоугольник
Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются ${90}^0$
Рассмотрим два свойства прямоугольника.
Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.
Рисунок 2.
Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем
Так как $angle B=angle A={90}^0$, а $AB$ – общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $triangle ABD=triangle ABC$. Следовательно
Свойство доказано.
Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).
Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим
Так как $angle DRC=angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $triangle DRC=triangle ARB$. Значит, $angle RDC=angle RCD=angle RAB={rm }angle RBA$.
Так как $angle DRA=angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $triangle DRA=triangle CRB$. Значит, $angle RDA=angle RAD=angle RCB={rm }angle RBC$.
Следовательно, $angle A=angle B=angle C=angle D$.
Так как сумма углов четырехугольника равняется ${360}^0$, то
Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.
Свойство доказано.
Ромб
Определение 4
Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 3).
Рисунок 3. Ромб
Рассмотрим свойство ромба.
Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.
Доказательство.
Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,
Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.
Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ – медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.
Свойство доказано.
Квадрат
Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).
Рисунок 5. Квадрат
Очевидно, что квадрат — частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Пример задачи
Пример 1
Найти периметр квадрата, диагональ которого равняется $10$.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора
[a^2+a^2=100] [{2a}^2=100] [a^2=50] [a=5sqrt{2}] [P=4a=20sqrt{2}]
Ответ: $20sqrt{2}$.
Источник
Слайд 1
ПРЯМОУГОЛЬНИК, РОМБ, КВАДРАТ НОВАКОВА С.А. АСТРАХАНЬ, СОШ № 23
Слайд 2
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Примечание . В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии , где сумма углов четырёхугольника не равна 360° – прямоугольников не существует. Прямоугольник
Слайд 3
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНИКА Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны. Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора ). Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.(радиус равен полудиагонали)
Слайд 4
ПЛОЩАДЬ И СТОРОНЫ Длиной прямоугольника называют длинну более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон. Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину (высоту). Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.
Слайд 5
ДИАГОНАЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Диагонали прямоугольника равны. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.
Слайд 6
ПРИЗНАКИ Параллелограмм является прямоугольником, если выполняются условия: Если 4 угла равны 90 градусам, то это прямоугольник Если диагонали параллелограмма равны. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.
Слайд 7
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача№1 Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником. Дано: ABCD- параллелограмм A= 90 Доказать: ABCD- прямоугольник
Слайд 8
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ABCD- параллелограмм, следовательно, AB=CD, BC=AD, угол A= угол C= 90 градусов; угол B= угол D. Т.к. угол A+ угол B= 180 градусов, то угол B = 180градусов – 90градусов = 90градусов т.е. в ABCD стороны попарно равны; все углы прямые, следовательно, ABCD- прямоугольник.
Слайд 9
Задача№2 Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник- прямоугольник. Дано: угол А= уголу В= уголу С= углу D =90градусов Доказать: АВС D – прямоугольник
Слайд 10
Док-во: угол А+ угол В=180градусов угол А, угол В- односторонние при А D и ВС и секущей АВ, следовательно, А D II ВС; также, АВ II С D , угол В, угол С- односторонние при CD и АВ и секущей ВС; ADIIBC, ABIICD, следовательно , ABCD -прямоугольник. Ч.т.д.
Слайд 11
Ромб ( др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus « бубен ») — это четырёхугольник , у которого все стороны равны. Ромб является параллелограммом . Ромб с прямыми углами называется квадратом . Ромб
Слайд 12
СВОЙСТВА Ромб является параллелограммом . Его противолежащие стороны попарно параллельны , АВ || CD, AD || ВС. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Доказательство Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD . AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD . Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – высота в треугольнике BAD . Следовательно, ( AC ) ( BD ) .
Слайд 13
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Доказательство Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD . AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD – равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD . Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – биссектриса в треугольнике BAD . Следовательно, BAO = DAO . Аналогично, рассмотрев треугольник ABC , получаем, что BO – медиана в равнобедренном треугольнике ABC , и, следовательно, BO – биссектриса угла ABC . Теорема доказана. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма ).
Слайд 14
ПРИЗНАКИ Параллелограмм ABCD является ромбом, если выполняется одно из следующих условий: Все его стороны равны ( AB = BC = CD = AD ). Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC⊥BD).
Слайд 15
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб. Доказательство Пусть ABCD – данный параллелограмм, AC и BD – его диагонали и ( AC ) ( BD ). Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC . Действительно, так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то AO = OC , и тогда BO – медиана треугольника ABC , проведенная к стороне AC . Но по условию ( BO ) ( AC ) и [ BO ] – высота треугольника ABC . Тогда ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC . Отсюда – AB = BC . По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что AB = BC = CD = AD . Таким образом, данный параллелограмм – ромб. Теорема доказана.
Слайд 16
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб. Доказательство Пусть ABCD – данный параллелограмм, AC – его диагональ и, при этом, AC – биссектриса угла A параллелограмма. Так как AC – биссектриса угла A , то BAC = CAD . С другой стороны, углы CAD и BCA внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC и по теореме 3.4 BCA = CAD . Отсюда BAC = BCA и по признаку равнобедренного треугольника (теорема 4.5) ABC равнобедренный, и, следовательно, AB = BC . Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD , BC = AD . Тогда AB = BC = CD = AD . Таким образом, ABCD – ромб. Теорема доказана.
Слайд 17
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача№1 В ромбе ABCD биссектриса угла В AC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N . Найдите угол А N В , если АМС = 120 . B О A C D N М 120 ?
Слайд 18
РЕШЕНИЕ: В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е.
Слайд 19
Задача№2 В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а)углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. Решение: AB=AC , следовательно, тр. ABC- равносторонний, т.е. угол1= углу B= углу3= 60градусов По свойству углов ромба угол A+ угол B = 180градусов, т.е. угол A = 180 градусов- 60градусов=120градусов. Тр. ABO- прямоугольный, т.е. из свойства углов 4) угол1+угол2= 90градусов, 60градусов + угол2 = 90градусов, угол2= 30градусов. Ответ: а) угол A= угол C=120 градусов, угол B= угол D= 60градусов; б) угол1= 60градусов, угол2= 30градусов.
Слайд 20
Квадра́т — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны. Квадрат
Слайд 21
СВОЙСТВА КВАДРАТА Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Слайд 22
Около квадрата можно описать окружность. Радиус описанной окружности выражается через сторону a квадрата и его диагональ d : R = a : v 2= d :2 В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен половине стороны: r = а:2
Слайд 23
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача№1 Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. Дано: ABCD- ромб, угол A= 90 градусов Доказать: ABCD- квадрат.
Слайд 24
Док-во: ABCD- ромб, следовательно: AB=BC=CD=AD , угол A= угол C= 90 градусов угол A+ угол B=180 градусов, т.е. угол B=180 градусов- угол A= 90 градусов. Т.к. все стороны равны и все углы равны 90градусов, то ABCD- квадрат
Слайд 25
Задача№2 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник-квадрат. Дано: тр. ABC, угол C =90градусов CE- биссектриса; EK II AC, ME II CK Доказать: CMEK- квадрат
Слайд 26
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: По условию МС II ЕК, значит, по определению СМЕК-параллелограмм. По свойству углов параллелограмма угол С = уголу Е, т.к. СЕ- биссектриса угла С, то ЕС-биссектриса угла Е, значит, угол1=угол2 и тр. СЕК- равнобедр.(по признаку). Т.е. СК=ЕК. СК=МЕ, т.к. СМЕК-параллелограмм, Следовательно, СМЕК- ромб. угол С=90градусов,значит, угол Е=90градусов, угол М= угол К=90градусов. Следовательно, СМЕК- квадрат, что и требовалось доказать.
Слайд 27
Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а)равны и взаимно перпендикулярны; б)взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в)равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину? Разминка
Источник
Видеоурок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1
Видеоурок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2
Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
Четырехугольники
Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.
В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.
Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.
Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.
Параллелограмм
Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:
Параллельные стороны параллелограмма попарно равны между собой
Противолежащие углы параллелограмма также равны
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит из пополам
Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:
- Какой – то Один признак выполнен
- Все свойства параллелограмма можно использовать
Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.
Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:
Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:
Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:
Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:
Квадрат
Правильный четырехугольник – это квадрат. Как известно, у всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.Свойства квадрата:
- Все стороны равны.
- Все углы равны 90 градусам.
- Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения делит их пополам.
Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.
Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:
Прямоугольник
Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.
Свойства прямоугольника:
У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.
Все углы прямые.
Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:
Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.
Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:
Формулы сторон прямоугольника
Формулы периметра прямоугольника
Формулы площадей
Ромб
И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.
У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.
Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.
Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.
У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:
Формулы для сторон ромба
Формулы площадей ромба
Источник
Урок № 9
Тема: Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства
Цель урока:
Обучающие –познакомить с определениями прямоугольника, ромба, квадрата, а также свойствами каждого из них; научить указывать их общие свойства и различия;
Развивающие –развитие любознательности, логического мышления, наблюдательности;
Воспитывающие –воспитание познавательного интереса к предмету.
Тип урока: формирование новых знаний, умений.
Ход урока
1.Орг.момент
Перед изучением нового материала проводится входной контроль умений и навыков учащихся для определения уровня готовности к восприятию новой темы.
2.Повторение теоретического материала
-Определение параллелограмма.
-Свойства параллелограмма.
-Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.
-Устно по рисунку на доске доказать, что ЕК = АМ, если , ЕМ = КА.
3.Актуализация знаний
Среди параллелограммов есть фигуры, имеющие особые названия. С этими фигурами, их свойствами вам предстоит сегодня познакомиться.
ПРЯМОУГОЛЬНИК. С этой фигурой ты знаком уже давно. Попробуй сформулировать его определение.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого…
Так как прямоугольник по определению является параллелограммом, то для него справедливы и все свойства параллелограмма. Попробуй их сформулировать и запиши в тетрадь.
Но у прямоугольника есть и свое особое свойство, которое тебе предстоит доказать.
ТЕОРЕМА. Диагонали прямоугольника равны.
Дано:
ABCD – прямоугольник
Доказать: AC = BD
Чтобы доказать равенство отрезков AC и BD , надо доказать равенство прямоугольных треугольников ACD и DBA (по двум катетам).
Докажем обратное утверждение (признак прямоугольника): Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Дано:
ABCD – параллелограмм
AC = BD
Доказать:
ABCD – прямоугольник
Доказательство:
1. Рассмотрим и
AD – общая сторона
AC = BD по условию
AB = CD по свойству параллелограмма
Следовательно, = по …
Значит,
2. ABCD – параллелограмм, следовательно, его противолежащие углы
равны, т.е. , но параллелограмм – это выпуклый четырехугольник, значит сумма его углов равна 360о.
Вывод: все углы данного параллелограмма по 90о, следовательно, он является прямоугольником.
Реши задачу (устно)
В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует со стороной AD угол, равный 40о. Найти градусную меру угла ACD
РОМБ.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Как на рисунке показать, что
данный параллелограмм – ромб?
Так как ромб – параллелограмм,
То он обладает всеми его
свойствами.
Рассмотри особое свойство ромба.
ТЕОРЕМА. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.
Дано: АВСD – ромб
Доказать:
1) АС BD;
2)
Доказательство:
АВСD – ромб, следовательно АВ = ВС, значит АВС – равнобедренный с основанием АС.
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно, точка О – середина АС, т.е. ВО – медиана АВС.
Вывод: ВО АС; ,т.к. в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Реши задачи (устно)
Периметр ромба – 56 см. Найти длину стороны ромба.
В ромбе АВСD угол ВАD равен 50о. Найти углы треугольника ABD.
КВАДРАТ. Термин “квадрат” происходит от латинского quadratus, что в переводе означает четырехугольник. Квадрат был первым четырехугольником, который рассматривался в геометрии.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Но мы можем дать и другие определения квадрата.
Квадрат – это ромб, у которого…
Квадрат – это параллелограмм, у которого…
Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.
Все углы квадрата равны.
Диагонали квадрата равны
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Реши задачи (устно)
В квадрате АВСD проведена диагональ АС. Определи
вид треугольника АВС и углы треугольника АВС.
Сейчас тебе предстоит оценить свою работу. Для этого вернись к УЭ – 0 и подумай, достиг ли ты цели нашего урока. Если да, то переходи к следующему этапу работы – проверке знаний.
Вопросы для контроля.
Перечисли четырехугольники, обладающие следующими свойствами:
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали равны.
Углы, прилежащие к одной стороне, равны.
Диагонали делят углы пополам.
Диагонали взаимно перпендикулярны.
Противолежащие углы равны.
Все углы равны.
Диагонали равны и взаимно перпендикулярны.
Домашнее задание: §
Источник