Какие основные свойства площадей многоугольников
[{Large{text{Основные факты о площади}}}]
Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной (1) см, (1) мм и т.д. (единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см(^2), мм(^2) соответственно.
Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры — это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.
Свойства площади
1. Площадь любого многоугольника — величина положительная.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
4. Площадь квадрата со стороной (a) равна (a^2).
[{Large{text{Площадь прямоугольника и параллелограмма}}}]
Теорема: площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника со сторонами (a) и (b) равна (S=ab).
Доказательство
Достроим прямоугольник (ABCD) до квадрата со стороной (a+b), как показано на рисунке:
Данный квадрат состоит из прямоугольника (ABCD), еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами (a) и (b). Таким образом,
(begin{multline*} S_{a+b}=2S_{text{пр-к}}+S_a+S_b Leftrightarrow
(a+b)^2=2S_{text{пр-к}}+a^2+b^2 Leftrightarrow\
a^2+2ab+b^2=2S_{text{пр-к}}+a^2+b^2 Rightarrow
S_{text{пр-к}}=ab end{multline*})
Определение
Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота (BK) падает на сторону (AD), а высота (BH) — на продолжение стороны (CD):
Теорема: площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Доказательство
Проведем перпендикуляры (AB’) и (DC’), как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма (ABCD).
Тогда (AB’C’D) – прямоугольник, следовательно, (S_{AB’C’D}=AB’cdot
AD).
Заметим, что прямоугольные треугольники (ABB’) и (DCC’) равны. Таким образом,
(S_{ABCD}=S_{ABC’D}+S_{DCC’}=S_{ABC’D}+S_{ABB’}=S_{AB’C’D}=AB’cdot
AD.)
[{Large{text{Площадь треугольника}}}]
Определение
Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Доказательство
Пусть (S) – площадь треугольника (ABC). Примем сторону (AB) за основание треугольника и проведём высоту (CH). Докажем, что [S = dfrac{1}{2}ABcdot CH.] Достроим треугольник (ABC) до параллелограмма (ABDC) так, как показано на рисунке:
Треугольники (ABC) и (DCB) равны по трем сторонам ((BC) – их общая сторона, (AB = CD) и (AC = BD) как противоположные стороны параллелограмма (ABDC)), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь (S) треугольника (ABC) равна половине площади параллелограмма (ABDC), то есть (S = dfrac{1}{2}ABcdot CH).
Теорема
Если два треугольника (triangle ABC) и (triangle A_1B_1C_1) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Следствие
Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.
Теорема
Если два треугольника (triangle ABC) и (triangle A_2B_2C_2) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Доказательство
Пусть (angle A=angle A_2). Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка (A) совместилась с точкой (A_2)):
Проведем высоты (BH) и (C_2K).
Треугольники (AB_2C_2) и (ABC_2) имеют одинаковую высоту (C_2K), следовательно: [dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=dfrac{AB_2}{AB}]
Треугольники (ABC_2) и (ABC) имеют одинаковую высоту (BH), следовательно: [dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=dfrac{AC_2}{AC}]
Перемножая последние два равенства, получим: [dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=dfrac{AB_2cdot AC_2}{ABcdot AC} qquad text{ или
} qquad dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=dfrac{A_2B_2cdot
A_2C_2}{ABcdot AC}]
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.
Теорема
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Теорема: формула Герона
Пусть (p) – полупериметр треугольника, (a), (b), (c) – длины его сторон, тогда его площадь равна [S_{triangle}=sqrt{p(p – a)(p –
b)(p – c)}]
[{Large{text{Площадь ромба и трапеции}}}]
Замечание
Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Теорема
Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник (ABCD). Обозначим (AO=a, CO=b, BO=x,
DO=y):
Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
(begin{multline*}
S_{ABCD}=frac12ax+frac12xb+frac12by+frac12ay=frac12(ax+xb+by+ay)=\
frac12((a+b)x+(a+b)y)=frac12(a+b)(x+y)end{multline*})
Следствие: площадь ромба
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: [S_{text{ромб}}=dfrac12 d_1cdot d_2]
Определение
Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.
Теорема: площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Доказательство
Рассмотрим трапецию (ABCD) с основаниями (BC) и (AD). Проведем (CD’parallel AB), как показано на рисунке:
Тогда (ABCD’) – параллелограмм.
Проведем также (BH’perp AD, CHperp AD) ((BH’=CH) – высоты трапеции).
Тогда (S_{ABCD’}=BH’cdot AD’=BH’cdot BC, quad S_{CDD’}=dfrac12CHcdot D’D)
Т.к. трапеция состоит из параллелограмма (ABCD’) и треугольника (CDD’), то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:
[S_{ABCD}=S_{ABCD’}+S_{CDD’}=BH’cdot BC+dfrac12CHcdot
D’D=dfrac12CHleft(2BC+D’Dright)=] [=dfrac12
CHleft(BC+AD’+D’Dright)=dfrac12 CHleft(BC+ADright)]
Источник
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
Источник
Урок №18
8 класс
Учебник: Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных организаций
Л.С.Атанасян и др.– М: Просвещение, 2014.
08.10.16г.
Тема: «Понятие площади многоугольника».
Основные цели:
Образовательные:
знакомство с понятием площади многоугольника;
представление об измерении площадей многоугольников;
определение основных свойств площадей;
примеры использования изученного теоретического материала в ходе решения задач.
Развивающие:
развить умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства,
развитие логического мышления и математической культуры,
развитие внимательности и смекалки у учащихся.
Воспитательные:
воспитание познавательного интереса к геометрии;
воспитывать ответственность и аккуратность.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма проведения урока: фронтальная, индивидуальная, парная.
Технологии: информационно – коммуникационная, здоровьесберегающая, технология проблемного обучения
Методы: частично-поисковый; объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.
Планируемые результаты обучения, в том числе и формирование УУД:
Предметные: понимать, что такое площадь многоугольника, уметь использовать формулу для вычисления площади при решении стандартных и нестандартных заданий.
Метапредметные: работа над понятием информация-знание; учиться пользоваться справочной информацией при решении поставленной задачи; самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в познавательной деятельности, развивать умение самостоятельно планировать пути достижения целей, выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.
Личностные: уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.
Познавательные УУД: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.
Коммуникативные УУД: умение находить общее решение и решать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.
Регулятивные УУД: умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.
Личностные УУД: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.
Оборудование: ЭОР,ПК, проектор, диск, презентация, плакаты с задачами для устного счета, кроссворд, листы для практической работы.
Структура урока
Организационно-психологический момент.
Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка целей урока.
Актуализация знаний:
Подготовка к восприятию нового материала.Объяснение нового материала.
а) Ввести понятие площади.
б) Единицы измерения площадей и измерение площади многоугольника способом разбиения фигуры на квадраты.
в) Свойства площадей.Закрепление изученного материала.
Итоги урока.
Домашнее задание.
Ход урока
1. Организация учебного процесса:
1) включить учащихся в учебную деятельность;
2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с геометрическими фигурами.
2. Мотивация и целеполагание.
Понятие площади нам известно из повседневного опыта.
Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка.
Реферат учащегося. Историческая справка: измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей
3. Актуализация знаний (вызов на «поверхность» имеющихся знаний по теме)-кроссворд.
По горизонтали:
1. Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
2. Четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.
3. Параллелограмм, у которого все углы прямые.
4. Точка, из которой выходят стороны четырехугольников.
По вертикали:
1. Сумма длин всех сторон.
5. Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника.
6. Прямоугольник, у которого все стороны равны.
7. Параллелограмм, у которого все стороны равны.
8.Отрезок, соединяющий соседние вершины.
Постановка проблемы.
Дети рассуждают, учатся владеть монологической речью, формулируют собственное мнение, активная ученическая позиция (коммуникативные УУД). На данном учащиеся этапе чётко обозначают границы своего «знания» – «незнания», выдвигают различные предположения относительно темы урока.
4.Объяснение нового материала
В данный момент для нас интернет не доступен; чтение пункта в учебнике менее эффективно, чем исследовательская работа; работа под руководством учителя пойдёт быстрее (что в рамках урока немаловажно).
Вывод: оптимальной формой работы является исследовательская работа под руководством педагога.
Опорный конспект по теме «Площадь» – определение площади, её свойств, какой-либо ещё важной информации о площадях и графических иллюстраций.
Многоугольник ?- замкнутая ломаная без самопересечений.
Отмечается, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю.
Площадь многоугольника – величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
За единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называют квадратным сантиметром. (плакат)
Обычно площадь обозначается буквой S .Площадь многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.
Если форма многоугольника сложная, то данный процесс усложняется, и на практике неудобен.
Поэтому обычно измеряют некоторые отрезки, связанные с многоугольником, и затем вычисляют площадь многоугольника по специальным формулам.
Вывод этих формул основан на свойствах площадей.
Парная работа с учебником (стр.118) прочитать:
Свойство 1. Равные многоугольники имеют равные площади
Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей его частей. S = S1 + S2 + S3
Свойство 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны . S = a2
Многоугольники, имеющие равные площади, называются равновеликими. Вопрос: форма таких фигур может быть различной? (да) (плакат)
Если один многоугольник разрезан на несколько и из них составлен другой, то они наз. равносоставленными (Д/з №445!)
Физкультминутка («истинно – ложно»): Если предложение ложное, то вы встаете, если верное, то поднимаете руку.
1. 32 = 6.
2. Диагонали прямоугольника равны.
3. Все углы квадрата прямые.
4. Диагонали параллелограмма равны.
5. В ромбе все стороны равны.
6. Диагонали прямоугольника перпендикулярны.
7. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
8. Диагонали ромба равны.
9. Всякий прямоугольник — квадрат.
5. Закрепление изученного материала
Работа в парах: по очереди рассказывают о площади по своим конспектам.
Вносят коррективы в конспекты.
Решние устных задач. (Чертежи высвечиваются на экране через проектор.)
Практическая работа (Этот способ используется в заданиях ЕГЭ! : раздать на каждую парту карточки)- бесконфликтный обмен мнениями.
Но есть 2-ой способ!
Формула, с которой мы познакомились, была открыта австрийским математиком Пиком в 1899 г.
S = В + Г/2 – 1
Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника ,а В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника. Г=8, В=7, S=7+4 -1 = 10.
Решение упражнений: № 446
Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой №447
6. Итоги урока. Оценки за урок
Рефлексия деятельности на уроке:
оценить собственную деятельность на уроке, соотнести её с оценкой других;
поблагодарить учащихся, которые помогли получить результат урока;
зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
– С чем мы познакомились сегодня на уроке?
– Что мы научились сегодня выполнять?
7.Домашнее задание: вопросы 1-3, с 133; № 445-практическая работа,
№ 449(а, б)-связь с алгеброй; № 451.
Желающие могут подготовить презентацию, отражающую основные теоретические сведения о площадях и самостоятельно составленные задачи.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Источник
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
лицей №11 г.Россошь Россошанского района
Воронежской области.
Открытый урок по теме:
«Площадь многоугольников. Решение задач».
8 класс.
Локтева Ольга Николаевна
учитель математики.
Г.Россошь
Урок – исследование по геометрии в 8 классе.
Учитель: Локтева Ольга Николаевна
Тема урока: “Площадь многоугольников. Решение задач.”
Цели урока:
Образовательные:
повторение основных формул вычисления площадей многоугольников;
изучение формулы Пика;
контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.
Развивающие:
развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;
развитие логического мышления;
развитие самостоятельной деятельности обучающихся.
Воспитательные:
воспитание познавательного интереса у обучающихся к математике;
трудолюбия, аккуратности;
умения работать в коллективе;
воспитание навыков самоконтроля.
Тип урока: урок закрепления.
Вид урока: урок – исследование
Форма проведения: медиа-урок.
Оборудование: мультимедийная компьютерная техника, маркерная доска, раздаточные материалы, карточки с заданиями, листок контроля, опорные конспекты.
Литература: Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9»
План урока.
Ход урока
Здравствуйте, рада приветствовать всех собравшихся в этом классе. У нас урок геометрии. Я пожелаю вам и себе учебной плодотворной работы. Эпиграфом к нашему занятию я взяла слова великого итальянского физика Галилео Галилея: «Геометрия является самым
могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
Класс разбит на 4 группы.
Актуализация опорных знаний.
-Давайте вспомним какую тему мы изучали на последних уроках?
-Запишите тему урока.
У каждой группы на столах ЛИСТОК КОНТРОЛЯ. После выполнения каждого задания, вы будете заносить в листок контроля полученные баллы. А в конце урока мы подведем итоги.
Итак, устная работа. А в это время по 1 человеку с каждой группы работают с тестом» (приложение1)
РАЗДЕЛ «Определения».
20. Дайте определение параллелограмма.
40.Какой многоугольник называется выпуклым?
60.Какие треугольники называются пифагоровыми?
РАЗДЕЛ «Теоремы».
20. Теорема Пифагора.
40.Теорема, обратная теореме Пифагора
60.Теорема об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.
РАЗДЕЛ «Свойства».
20. Особое свойство прямоугольника.
40.Основные свойства площадей многоугольников.
60.Основные свойства квадрата.
-Площади фигур. Теорема Пифагора.
Презентация.
РАЗДЕЛ «Площадь четырехугольника».
Ответ: 24
Ответ: 24
Ответ:4,8
РАЗДЕЛ «Площадь треугольника».
Ответ:27
Ответ:27
Ответ:42
РАЗДЕЛ «Теорема Пифагора».
Ответ:
Ответ:
Ответ: 4
Исследовательс-кая работа
А вы знаете, ребята, что традиционно при сдаче ЕГЭ в 11 классе наибольшую трудность у выпускников вызывают геометрические задачи. Поэтому сегодня я для вас подготовила задания, встречающиеся на ЕГЭ.
ЗАДАНИЕ: У вас на столах лежат листы с заданиями из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Вы должны вычислить площади заданных многоугольников. Каждой команде дается лист с заданиями.(Приложение 2)
Физминутка.
Рисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни
Вершиной вниз.
И вновь глазами
Ты по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально.
Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно
Ты вдоль по линиям води.
И на бочок ее клади.
Теперь следи горизонтально,
И в центре ты остановись.
Зажмурься крепко, не ленись.
Глаза открываем мы, наконец,
Зарядка окончилась.
Ты- молодец!
Изучение нового материала.
-Давайте подведем итог наших исследований. (Каждая группа показывает свое решение)
-Итак, дана клетчатая бумага, ширина одной клетки равна 1см. На ней изображена фигура, в данном случае треугольник. И нам требуется найти площадь этого треугольника.
“Считаем по клеткам”
1.Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника.
2.Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток
3.Сложим полученные количества полных клеток:
“Формула площади фигуры”
-Давайте вспомним формулу для нахождения площади треугольника.
-По рисунку определим, чему равны основание и высота треугольника.
-А теперь нам только осталось подставить эти значения в готовую формулу.
“Сложение площадей фигур”
-Разобьем данный треугольник на два прямоугольных треугольника, для этого проведем высоту.
-Найдем площадь прямоугольного треугольника S1.
-Найдем площадь прямоугольного треугольника S2.
-Площадь искомого треугольника найдем по формуле: S =S1+S2
-Идея этого способа состоит в том, что мы должны разбить данную фигуру на более простые фигуры, чтобы затем найти их площади и сложить их.
“Вычитание площадей фигур”
-А мы переходим к следующему способу решения задачи. Он в некотором случае противоположен методу разбиения, это наоборот: достраивание до прямоугольника.
-Достроим до прямоугольника со сторонами 5 на 6.
-Найдем площадь прямоугольника S .
-Найдем площадь прямоугольного треугольника S1.
-Найдем площадь прямоугольного треугольника S2.
-Площадь искомого треугольника найдем по формуле: Sтр=Sпр – (S1+S2)
Формула Пика
– Это еще один метод для нахождения площадей фигур, который не входит в школьную программу, но он ОЧЕНЬ прост и КРАСИВ.
Георг Алекса́ндр Пик –австрийский математик, который жил в 20 веке.
В чем состоит формула Пика?
–Если дан многоугольник на некоторой клетчатой решетке, вершины которого находятся в узлах этой клетчатой решетки, то его площадь можно найти по следующей формуле:S=Г/2+В-1
– А теперь проверьте, правильно ли вы нашли площади своих многоугольников, используя еще один из методов.
Закрепление нового материала.
Задачи для самостоятельного .решения.
Ответ:10
Ответ:6
Ответ:9
Итог урока.
Дан квадрат 8 на 8 см. Не трудно посчитать площадь этого квадрата. Она равна 64 м2. Этот квадрат разрезали и сложили прямоугольник. Но прямоугольник получился 13 на 5 см, т.е. площадь его равна 65 см2.
-Почему так получилось?
Ответ: Если вы действительно проделаете все указанные действия, то сразу заметите, что половинки не сходятся по диагональной линии. На самом деле, вместо общей диагонали есть две ломаные линии, и внутри прямоугольника образуется пустое пространство. Площадь этого пустого пространства как раз и равна площади одного маленького квадратика, который якобы возник из ничего.
Гиперссылка на пример
Рефлексия.
Выберите из данных утверждений то, которое на сегодняшнем уроке стало ближе всего.
Приложение 1. Тест (на комп)
Тест
Приложение 2.
Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Ответ: 8
Ответ: 10,5
Ответ: 12
Ответ: 12,5
Ответ: 9
Источник