Какие прямые уровня и свойства их проекций вы знаете

Прямые частного положения параллельны и перпендикулярны одной или двум плоскостям проекций. По этому признаку их разделяют на две группы: прямые уровня и проецирующие прямые. Прямые уровня – прямые, параллельные одной плоскости проекций: фронтальные – параллельны плоскости проекций V; горизонтальные – параллельны плоскости проекций H; профильные – параллельны плоскости проекций W .

Характерные признаки расположения проекций фронтальной прямой на чертеже: фронтальная проекция расположена к оси проекций Х под углом, который определяет ее наклон к плоскости проекций Н, она определяет натуральную величину прямой; горизонтальная проекция параллельна оси Х; профильная проекция параллельна оси Z;

Характерные признаки расположения проекций горизонтальной прямой на чертеже: фронтальная проекция параллельна оси проекций Х; горизонтальная проекция расположена к оси проекций Х под углом, который определяет ее наклон к плоскости V, она определяет натуральную величину прямой; профильная проекция параллельна оси проекций У;

Характерные признаки расположения проекций профильной прямой на чертеже:фронтальная проекция перпендикулярна оси Х; горизонтальная проекция перпендикулярна оси Х; профильная проекция расположена под углом к плоскости проекций V и под углом к плоскости проекций Н, она определяет натуральную величину прямой.

Проецирующие прямые –прямые, перпендикулярные одной плоскости проекций (параллельны двум плоскостям проекций):

Фронтально-проецирующие – перпендикулярны плоскости V (параллельны плоскостям Н и W ); Характерные признаки: фронтальная проекция представляет собой точку; горизонтальная проекция расположена перпендикулярно оси Х, и опр. Натур. Велич. Прямой; профильная проекция располож. Перпендикулярно оси Z и также опр. Натур. Велич.

горизонтально-проецирующие – перпендикулярны плоскости проекций Н (параллельны плоскостям V и W); Характерные признаки: фронтальная проекция перпендикулярна оси Х и опр. Натур. Велич.; горизонтальная проекция представляет собой точку; профильная проекция перпендик. Оси У и также опр. Натур. Велич. Прямой.

профильно-проецирующие– перпендикулярны плоскости W. Характерные признаки: фронтальная проекция параллельна оси Х и опр. Натур. Велич. Прямой; горизонтальная проекция параллельна оси Х и также опр. Натур. Велич. Прямой; профильная проекция представляет собой точку.

5 Взаимное расположение прямых. Конкурирующие точки. Теорема о проецировании прямого угла.

Взаимное положение прямых: параллельные прямые – прямые параллельные в пространстве имеют одноименные проекции также параллельные на чертеже; пересекающиеся прямые – прямые пересекающиеся в пространстве, на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи. Скрещивающиеся прямые– это две не параллельные и не пересекающиеся прямые, которые в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче.

Конкурирующие точки –точки лежащие на одном проецирующем луче, точки могут быть расположены так, что проекции их на какой-нибудь плоскости проекций совпадают. С их помощью можно определить видимость проекции на чертеже.

Теорема о проецировании прямого угла:если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна и не параллельна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т е прямым.

6. Способы задания плоскости на чертеже. Главные линии плоскости

Множество элементов плоскости изобразить на чертеже нельзя. Поэтому плоскость принято изображать геометрическими элементами, лежащими в плоскости.

Задание плоскости тремя точками.
Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость (рис.3.6а). Любая четвертая, пятая и т.д. точки, взятые произвольно на чертеже, как правило, не принадлежат заданной плоскости. Определитель: (A, B, C).

Рис. 3.6-a Рис. 3.6-б

Задание плоскости прямой и точкой вне этой прямой.
Если две точки плоскости соединить прямой, то получим задание плоскости прямой и точкой (рис.3.6-б). Всякий дополнительный элемент (точка, прямая), взятый произвольно, как правило, не будет принадлежать этой плоскости. Определитель: (A, b)[Ab].

Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми.
Две пересекающиеся прямые определяют плоскость (рис.3.6-в). Определитель: (A, b)[Ab].

В ряде случаев плоскость удобно задавать двумя пересекающимися прямыми уровня: горизонталью и фронталью (рис.3.6-г).

Рис. 3.6-в Рис. 3.6-г

Задание плоскости двумя параллельными прямыми.
Так как параллельные прямые можно рассматривать как пересекающиеся в несобственной точке, то они также будут определять плоскость (рис.3.6-д). Определитель: (ab).

Задание плоскости плоской фигурой (отсек плоскости).
Любая плоская фигура, например треугольник, задает плоскость (рис.3.6-е). Плоская фигура придает большую наглядность изображаемой плоскости. Определитель: (ABC).

Рис. 3.6-д Рис. 3.6-е

Необходимо отметить, что при всех случаях задания плоскость считается бесконечной.

Главные линии плоскости это линии уровня (горизонталь и фронталь) и линия наибольшего наклона (линия ската).Фронтали – прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций. Горизонтали –прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Линии наибольшего наклона (ската) – прямые линии, лежащие в плоскости и перпендикулярные горизонтали этой плоскости.



1) Центральное проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов на заданную плоскость. Проецирование осуществляется из некоторой точки – центра проецирования. Центр проецирования не должен находиться в плоскости проекций. На рисунке С – центр проецирования, плоскость Р – плоскость проекций. Чтобы получить центральную проекцию точки, проводят проецирующую прямую через данную точку и центр проецирования. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций является центральной проекцией заданной точки на выбранную плоскость. Точки а, б, с, д являются центральными проекциями точек А, В, С, Д на плоскости Р.

Основные свойства центрального проецирования:

1. 
   Точка проецируется в очку;
2. 
   Если прямая не проходит через центр проецирования, она проецируется в прямую (проецирующая прямая – в точку).
3. 
   Трёхмерная фигура проецируется в двумерную;
4. 
   Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и др. геометр. свойства.

2) Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования. При этом центр проецирования удален в бесконечность.

^ сли направление проецирования перпендикулярна плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными, или ортогональными, в других случаях – косоугольными.

2. Основные правила об ортогональных проекциях точки на плоскостном чертеже. 

1) Проекция точки есть точка.

2) Проекция прямой есть прямая.

3) Проекции пересекающихся прямых пересекаются.

4) Проекция параллельных прямых параллельны.

Центральные и параллельные проекции не обеспечивают обратимости чертежа.

^ – это когда изображение предмета на плоскости геометрически равноценно самому предмету в пространстве.

Точка:

1) Положение точки в пространстве определяется 3 ее координатами.

2) Положение точки на плоскости определяется 2 ее координатами.

3) 2 проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.

4) Две проекции точки лежат на одном перпендикуляре.

^ ’

Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной прямой (AB||H).

Прям., парал. фрон. пл. проекц., называют фронтальной прямой (CD||V).

Прям., парал. фрон. пл. проекц., называют профильной прямой (EF||W).

Прямая || одной из плоскостей проекций – наз-ся прямая уровня. Прямая уровня изображается в НВ на пл-ть проекции; углы наклона к 2-ум другим плоскостям, также изображается без искажения, а ее проекции на соответствующей пл-ти должны быть || соответствующим осям.

^ Проецирующие прямые и свойства их проекций .

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими прямыми.

Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций.

ABH – горизонтальная проецирующая прямая

CDV – фронтальная проецирующая прямая

EFW – профильная проецирующая прямая

Выводы:

1) Если прямая перпендикулярна к плоскости проекции, то на эту плоскость она проецируется в точку.

2) На две другие плоскости проекции она проецируется в натуральную величину.

3) Проекции прямой на две другие лоскости проекции перпендикулярны осям, определяющим данную плоскость.

^

Чтобы определить натуральную величину отрезка прямой общего положения нужно использовать способ построения прямоугольного треугольника.

Теорема. Истинная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а другая – разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости.

Док-во. Из рисунка 1 следует, что истинная величина отрезка АВ будет гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1. В этом треугольнике один катет равен проекции отрезка, а другой – разности расстояний концов отрезка до плоскости проекций. Построим прямоугольный треугольник, у которого одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка, а вторым – разность расстояний концов отрезка до плоскости Н (разность зетовых координат точек А и В). Истинная величина отрезка АВ равна гипотенузе аб0 , а угол наклона его к плоскости Н – угол баб0 (угол α).

6. Взаимное положение двух прямых .

Прямые в пространстве могут занимать 3 положения:

1. 
   Пересекаться, то есть иметь одну общую точку;

Если одноимённые проекции прямых пересекаются, а точки пересечения лежат на одной линии связи, то такие прямые пересекаются.

2. 
   Быть параллельными, если точка пересечения прямых удалена в бесконечность;

Если одноимённые проекции прямых параллельны, то такие прямые параллельны между собой.

3. 
   Скрещиваться, то есть не иметь общих точек.

^ если прямые в пространстве не пересекаются. А скрещиваются, то отя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются. Но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых.

7. Свойства проекций прямых. Как определяется видимость точек и прямых на чертеже .

1) Если одноименные проекции прямых пересекаются и точки пересечения лежат на одной линии связи, то такие прямые в пространстве пересекаются.

2) Если одноименные проекции прямых параллельны между собой, то прямые параллельны.

3) Одноименные проекции скрещивающихся прямых хотя и пересекаются, но точки пересечения хотя и находятся на общей линии связи принадлежат разным прямым.

4) Проекции некоторых точек совпадают, так как они расположены на одной проецирующей прямой. Например, на горизонтальной плоскости совпали $ проекции a и b вершин А и В – они лежат на одной горизонтально – проецирующей прямой. На фронтальной плоскости совпали проекции c’ и d’ вершин C и D – они лежат на одной фронтально-проецирующей прямой.

Точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называют конкурирующими. A и B – горизонтально-конкурирующие точки, а C и Dфронтально-конкурирующие точки и т.д.

Из двух горизонтально-конкурирующих точек на горизонтальной плоскости видима та, которая расположена в пространстве выше.

Анализируя положение фронтальных проекций точек, определяем, что точка ^ имеет большую координату z, чем точка В. Следовательно, точка А расположена выше точки В и при проецировании на горизонтальную плоскость проекций закроет точку В. Точка А на горизонтальной плоскости видима, точка В – невидима. На фронтальной плоскости они обе видимы.

Из двух фронтально-конкурирующих точек на фронтальной плоскости проекций будет видима та, которая расположена ближе к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости проекции.

Сравнивая горизонтальные проекции точек ^ и D , заключаем, что на фронтальной плоскости проекций видима точка С, а точка D – невидима.

Из двух профильно-конкурирующих точек на профильной плоскости проекций будет видима та точка, которая расположена левее.

8. Теорема о проецировании прямого угла

Плоский угол в зависимости от положения по отношению к проекции может проецироваться от 0 до 1800

Плоский угол проецируется в натуральную величину, если его стороны параллельны плоскости проекции.

Если стороны плоского угла параллельны к плоскости проекции, то на эту плоскость проекции он проецируется в натуральную величину.

Проецирование прямого угла

Теорема.Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

Докажем это свойство проекций прямого, угла.

Доказательство. Пусть угол DEF=90° и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости Р. Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости, параллельной Р, данный угол спроецируется на Р без искажения, то есть его проекция угол def = 90°.

Через прямые EFи Eeпроведем дополнительную плоскость Q. Плоскость Qперпендикулярна плоскости P.

Возьмем на перпендикуляре Ffкакую – либо точку К и соединим ее с EЕ. Угол DEKтоже прямой, так как DEQ- Проекция угла DEKсовпадает с проекцией угла DEF, так как точки Fи Kлежат на одном перпендикуляре к плоскости Р. Таким образом (угол) dek= def= 90°.

Но, как видно непосредственно из чертежа, только одна сторона DEугла DEKпараллельна плоскости P.

Вторая сторона его EKнаклонна к плоскости P.

Итак, для того чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций

9. Способы задания плоскости на чертеже .

На чертеже плоскость может быть задана несколькими способами:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

б) проекциями прямой и точки, не лежащей на этой прямой;

в) проекциями двух пересекающихся прямых;

г) проекциями двух параллельных прямых;

д) проекциями любой плоской фигуры;

е) следами плоскости.

От одного задания плоскости можно пеейти к другому. В ряде случаев плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости поекций.

Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций называют, следами плоскости.

Точки пересечения плоскости с осями проекци называются точками схода следов.

10. Частные случаи расположения плоскостей в пространстве и особенности их изображения на чертеже .

^

а) Плоскости уровня (плоскости || к плоскостям проекции)

б) Проецирующие (плоскости  к плоскостям проекции)

в) Наклонные (плоскости общего положения)

^ P(ABCD)H

2) Фронтально-проецирующая плоскость Q(ABCD)V

3) Профильно-проецируещая плоскость T(ABCD)W

1) Горизонтальная плоскость P(ABCD)||H

2) Фронтальная плоскость Q(ABCD)||V

3) Профильная плоскость T(ABCD)||W

Если фигура || пл-ти проекций, то она проецируется в Н.В. Проекции фигуры на 2 другие пл-ти проекций || осям, определяющую данную пл-ть

Если фигура перпендикулярна пл-ти проекций, то их проекция проецируется в линию и проецируется в НВ. Углы наклона фигуры к двум другим пл-ям проекции проецируется в НВ

11. Условия принадлежности точки и прямой плоскости. Условия принадлежности точки прямой .

Прямая лежит в плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости, если имеет одну общую точку с плоскости и параллельно прямой, лежащей данной плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит линии, лежащей в данной плоскости.

12. Прямые частного положения в плоскости.

В плоскости можно провести прямую принадлежащую плоскости и таких прямых можно провести бесчисленное множество. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. К ним относятся горизонтали, фронтали. Проофильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называются главными линиями плоскости.

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельна горизонтальной плоскости проекций.

Фронталь – это прямая принадлежащая плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций.

^ – прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций.

Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали.

13. Условия параллельности двух плоскостей .

Плоскости могут пересекаться и быть параллельны друг другу (частный случай).

^ если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Например, через точку D (рис. 4.27) требуется провести плоскость, параллельную заданной (треуг.ABC). Проводим через точку две прямые, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника.

14. Построение линий пересечения двух плоскостей общего положения.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей заключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посредник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными (рис.). В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построение с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости.

На рис. дано построение линии пересечения двух треугольников. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости – плоскость Р через сторону АС и плоскость Qчерез сторону ВС треугольника АВС. Плоскость Р пересекает треугольник DEFпо прямой 1 – 2. В пересечении горизонтальных проекций 1-2 и ac находим горизонтальную проекцию точки М(т) линии пересечения. Плоскость Qпересекает треугольник DEFпо прямой 3-4. В пересечении горизонтальных проекций 3-4 и bс находим горизонтальную проекцию точки N(n) линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересечения, находим, проводя линии связи.

Анализ взаимной видимости треугольников на плоскостях проекций выполняем с помощью конкурирующих точек

Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций сравниваем фронтально-конкурирующие точки 1 и 5. Эти точки лежат на скрещивающихся прямых АС и DE. Их фронтальные проекции совпадают. На горизонтальной проекции видно, что при взгляде по стрелке на плоскость Vточка 5 расположена ближе к наблюдателю. Поэтому она закрывает точку 1. Следовательно, участок прямой АС левее точки М будет видимым на фронтальной плоскости проекций.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций сравниваем горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7. Они лежат на скрещивающихся прямых АС и DF. Их горизонтальные проекции совпадают. При взгляде по стрелке на плоскость Н видно, что точка 6 и прямая АС расположены выше точки 7 и прямой DF. Следовательно, участок AMпрямой АС на горизонтальной плоскости проекций будет видимым.
15. Условие параллельности прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Пусть плоскость Р задана треугольником CDE. Через точку А (рис.) необходимо провести прямую АВ, параллельную плоскости Р. Для этого через фронтальную проекцию а’ точки А проведем фронтальную проекцию а’b’ искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, например прямой CD (a’b’llc’d’). Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно cd проводим горизонтальную проекцию аb искомой прямой АВ (ab ll cd). Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDE.

^

16. Определение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач:

• на пересечение двух плоскостей;

• на пересечение поверхности с плоскостью;

• на пересечение прямой с поверхностью;

• на взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью — значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

^

1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р (лучше проецирующую);

2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости Q (тр. СDЕ) и вспомогательной плоскости Р;

3. Так как прямые АВ и МNлежат в одной плоскости Р, то определяют точку их пересечения (точку К), которая является точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Q.

4. Определяют взаимную видимость прямой АВ и плоскости Q.

17. Способы замены плоскостей проекций

Для упрощения решения метрических и позиционных задач применяются различные способы преобразования ортогональных проекций. После таких преобразований новые проекции позволяют решать задачу минимальными графическими средствами.

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из плоскостей заменяется новой. При этом должны выполняться 2 условия:

1) Новая плоскость должна быть перпендикулярна оставшейся старой.

2) На новую плоскость геометрическая фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей.

18. Две основные задачи преобразования прямой

Основные задачи преобразования:

1. 
   прямую общего положения преобразовать в прямую уровня
2. 
   прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую

19. Две основные задачи преобразования плоскости

1 Задача:

Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость.

2 Задача:

Плоскость проецирующую преобразовать в плоскость уровня.

20. Виды и способы образования некоторых линейчатых поверхностей.

Повехность – это совокупность всех возможных положений движущихся линий (образующей) в пространстве.

Линия (ккривая или прямая) движется в пространстве и создаёт поверхность. Она называется образующей. Как праило, образующая движетя по второй линии. Эта линия называется направляющей.

Три способа задания повехности на череже:

1. 
   Аналитический. Поверхность рассматривается как множество точек, координаты оторых удовлетворяют заданному урвнению.
2. 
   Кинематический. Поверхност рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии перемещающейся по определённому закону (вращение окржности вокруг диаметра образует поверхность сферы).
3. 
   Каркасный. Поверхность задаётся семейством линий (каркасом).

В каркас входит 2 семейства линий:

1. 
   Образующие – линии по средствам которых образована поверхность
2. 
   Направляющие – линии по которым перемещается образующая.