Какие свойства алгебраических дробей
При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.
Формулировка и обоснование
Основное свойство дроби имеет формулировку вида:
Определение 1
При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.
То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.
Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.
То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.
Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.
Доказательство 1
Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.
Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z. По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m. По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.
Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.
Пример 1
Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).
Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.
Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.
Сферы применения основного свойства алгебраической дроби
Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.
Определение 2
Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.
То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.
Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.
Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что
x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.
Источник
Определение алгебраической дроби
Чтобы дать определение алгебраической дроби, необходимо повторить, что такое алгебраическое выражение (см. §1 справочника для 7 класса) и многочлен (см. §14 справочника для 7 класса).
Алгебраическая дробь – это алгебраическое выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами (при условии, что знаменатель не равен нулю).
Алгебраическая дробь, как и другие алгебраические выражения, может быть рациональной или иррациональной. Напомним, что в иррациональных выражениях извлекаются корня из переменных (или переменные возводятся в степень с дробным показателем). В рациональных выражениях корни и дробные степени или вообще не извлекаются или извлекаются только из чисел.
Алгебраические (рациональные) дроби
Иррациональные дроби
$ frac{25+x^2}{x-4}$
$ frac{a^3-2sqrt3}{b^2-sqrt[3]13}$
$ frac{5+sqrt x}{4-x} $
$ frac{16a^frac{5}{3}+1}{4sqrt[3]a-1} $
Внимание!
Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.
Например: Дробь $frac{x+5}{x-4}$ существует при условии x≠4. Допустимые значения переменной ${x| x in Bbb R, x neq 4 } $.
Дробь $frac{y}{y^2-9}$ существует при условии y≠±3. Допустимые значения переменной $ { y| y in Bbb R, y neq pm 3 }$.
Основное свойство алгебраической дроби
При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:
$$ frac{a}{b} = frac{ma}{mb}, b neq 0, m neq 0 $$
Это свойство аналогично основному свойству обычной числовой дроби: мы можем одновременно умножать или делить числитель и знаменатель на любое выражение, сокращать на общий множитель, если он существует. Например:
$$ frac{2x+3y}{4x^2-9y^2} = frac{2x+3y}{(2x+3y)(2x-3y)} = frac{1}{2x-3y} $$
$$ frac{a^3-8}{a-2} = frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{a-2} = a^2+2a+4 $$
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Основное свойство алгебраических дробей позволяет приводить их к общему знаменателю и упрощать сложные выражения:
$$ frac{1^{(x+1)}}{x-1} – frac{1}{x^2-1} – frac{1^{(x-1)}}{x+1} = frac{x+1-1-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = frac{1}{x^2-1} $$
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю
- Разложить все знаменатели на множители (коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены, многочлены)
- Найти наименьшее общее кратное знаменателей – это будет общий знаменатель.
- Найти дополнительные множители для каждой из дробей.
- Умножить числитель каждой из дробей на её дополнительный множитель, записать результат с общим знаменателем.
Например: привести к общему знаменателю $frac{1}{xy^2}, frac{x}{y}, frac{-4}{x}$
Шаг 1. Наименьшее общее кратное: $xy^2$
Шаг 2. Дополнительные множители
$$ frac{1}{xy^2}, frac{x^{xy}}{y}, -frac{4^{y2}}{x}$$
Шаг 3. Результат:
$$ frac{1}{xy^2}, frac{x^2 y}{xy^2}, -frac{4y^2}{xy^2} $$
Перемена знака у члена дроби
Из основного свойства дроби следует, что одновременное умножение числителя и знаменателя на (-1) не изменит дробь:
$$ frac{x}{y} = frac{-x}{-y} $$
Дробь также не изменится, если провести следующие перемены знаков:
$$ frac{x}{y} = frac{-x}{y} = -frac{x}{-y} $$
Ещё несколько полезных формул, связанных с переменой знаков:
$$ frac{a-b}{b-a} = -1, frac{(a-b)^2}{(b-a)^2} = 1, frac{1}{a-b} = -frac{1}{b-a}, frac{1}{(a-b)^2} = frac{1}{(b-a)^2} $$
Примеры
Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:
а)$ frac{5}{a^2-4}$
$ a^2-4 neq 0 iff (a-2)(a+2) neq 0 iff a neq pm 2$
${a| a in Bbb R, a neq pm 2}$ – все действительные числа, кроме $pm 2$
б)$ frac{7x+y}{3x-1}$
$ 3x-1 neq 0 iff x neq frac{1}{3}$
${x|x in Bbb R, x neq frac{1}{3}}$ – все действительные числа, кроме $frac{1}{3}$
в)$ frac{k^2-1}{k+1}$
$k+1 neq 0 iff k neq -1 $
${k|k in Bbb R, k neq -1}$ – все действительные числа, кроме -1
Обратите внимание: несмотря на то, что дробь сокращается $frac{k^2-1}{k+1} = frac{(k+1)(k-1)}{k+1} = k-1$ требование $k neq -1$ сохраняется.
г) $ frac{5}{x^2+6x+9}$
$x^2+6x+9 neq 0 iff (x+3)^2 neq 0 iff x neq -3 $
$ {x|x in Bbb R, x neq -3}$ – все действительные числа, кроме -3
д)*$ frac{1}{x-frac{4}{x}} $
$$ x- frac{4}{x} neq 0 iff frac{x^2-4}{x} neq 0 iff {left{ begin{array}{c} x^2-4 neq 0 \ x neq 0 end{array} right.} iff x neq {0; pm2}$$
${x|x in Bbb R, x neq {0;pm2}}$ – все действительные числа, кроме $0,pm2$
е)*$ frac{5}{y^2-3|y|} $
$ y^2-3|y| neq 0 iff |y|(|y|-3) neq 0 iff {left{ begin{array}{c} |y| neq 0 \ |y| neq 3 end{array} right.} iff y neq {0; pm3} $
${y|y in Bbb R, y neq {0; pm3} }$ – все действительные числа, кроме $0, pm3$
Пример 2. Сократите дроби:
а) $$ frac{a^2-9}{2a+6} = frac{(a-3)(a+3)}{2(a+3)} = frac{a-3}{2}$$
б)$$ frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} = frac{x+1}{x-1}$$
в) $$ frac{12x^2-8xy}{3xy-2y^2} = frac{4x(3x-2y)}{y(3x-2y)} = frac{4x}{y} $$
г) $$ frac{b+5}{b^3-125} = frac{b+5}{(b+5)(b^2-5b+25)} = frac{1}{b^2-5b+25} $$
Пример 3. Упростите выражение:
а) $$ frac{a-b}{(b-a)^2} = frac{a-b}{(a-b)^2} = frac{1}{a-b}$$
б) $$ frac{(-a-b)^2}{a+b} = frac{(-1)^2 (a+b)^2}{a+b} = a+b $$
в) $$ frac{(-a-b)^2}{(a+b)^2} = frac{(a+b)^2}{(a+b)^2} = 1 $$
г) $$ frac{(a-b)^2}{b-a} = frac{(b-a)^2}{b-a} = b-a $$
Пример 4. Постройте график функции:
(О графике линейной функции – см. §38 справочника для 7 класса)
$а) y(x) = frac{x^2-4}{2x+4}$
$$ y(x) = frac{(x-2)(x+2)}{2(x+2)} = {left{ begin{array}{c} frac{x-2}{2} \ x neq -2 end{array} right.} $$
График – прямая y(x) = 0,5x-1, кроме точки (-2;-2), т.к. $x neq -2$.
$б) y(x) = frac{x^3-16x}{x^2-16}-2x+1$
$$ y(x) = frac{x(x^2-16)}{x^2-16}-2x+1 = {left{ begin{array}{c} -x+1 \ x neq pm 4 end{array} right.} $$
График – прямая y(x) = -x+1, кроме точек (-4;5) и (4;-3), т.к. $x neq pm 4$.
Источник
Дробь – есть число вида ab, где a – целое число, и b – натуральное число. Также и алгебраическая дробь – число вида PQ, где P и Q – многочлены, и P является знаменателем, а Q – числителем дроби. Является частным случаем рационального выражения.
Пример алгебраической дроби:
y2-1y-1
Смотреть также деление многочленов.
Основное свойство дроби
Пожалуй, самым важным свойством дроби является записанное ниже. Именно оно позволяет проделывать практически любые известные операции и преобразования над дробями.
Свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (отличное от 0), то значение дроби не изменится.
Иначе говоря:
ab=a×nb×n∀n≠0
.
То же, очевидно, применимо и к алгебраическим дробям, т.к. ясно, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число эквивалентно умножению числа на число, а потом делению на то же число, что является взаимно-обратными действиями ∴ взаимно уничтожают друг друга. Конечно, применение этого свойства к алгебраическим дробям является их тождественным преобразованием, что важно ∴ этим свойством всегда можно спокойно пользоваться.
Сокращение дробей
Важным вытекающим из основного свойства алгебраической дроби свойством является возможность её сокращения, т.е. деление числителя и знаменателя на число.
Пример:
x2-xx2=x2-x/xx2/x=x-1x
Приведение дробей к общему знаменателю
Алгебраические дроби (как и обычные) можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство.
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Приведённые к общему знаменателю дроби можно складывать и вычитать.
ac+bc=a+bc
Это достаточно легко доказывается, если потребуется: обозначим две складывающиеся дроби l и m, тогда по определению частного: a=cl; b=cm и a+b = cl+cm=c(l+m). Подводя итог, имеем выражение a+b = c(l+m), тогда получается: (a+b)/c=l+m, Q.E.D.
Умножение дробей
Умножать дроби очень легко, перемножая числитель с числителем и знаменатель с знаменателем.
ab×cn=a⁢cb⁢n
Опять же для быстрого исчерпывающего доказательства без каких-либо неинтуитивных понятий можно воспользоваться тем же трюком, что и для сложения дробей: обозначить дроби k и l. По определению частного: a=bk и c=nl. Теперь можно, перемножив левые и правые части данных равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, получить: ac = (bk)×(nl) = (nb)(kl) ∴ исходное перемножение дробей kl = ac⁄bn Q.E.D.
Возведение дроби в степень
Последовательное умножение дроби саму на себя – возведение в степень. Оно также возможно. Как именно возводить дробь в n-ую степень, легко понять, пользуясь правилом умножения дробей (возведение в степень есть последовательное умножение числа, переменной, многочлена самого на себя – см. свойства степени с целым показателем).
abn=anbn
Деление дробей
Делить дроби тоже можно. Деление на дробь эквивалентно умножению на ту же дробь, где числитель и знаменатель поменяли местами. Деление на дробь – это умножение на дробь ей обратную.
ac÷bd=ac×db
Для быстрого доказательства этого тождества (для всех чисел кроме 0 в знаменателе, конечно) можно уже даже обойтись без трюка, использованного выше (а просто воспользоваться остальными доказанными тождествами). adcb×bd=adbcbd=ac (значит, по определению частного изначальное выражение является тождеством).
Также одно очевидное свойство: если у дроби изменить знак числителя (или знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь ей тождественно равная. Однако этим иногда удобно пользоваться при различного рода преобразованиях, поэтому об этом не следует забывать.
При работе с рациональными дробями не обязательно обращаться к математическим выражениям другого рода, так как результаты всех перечисленных выше действий можно представить в виде рациональной дроби (что выше и показано).
Источник
Замечание 1
Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от $0$.
Для того чтобы правильно сократить алгебраическую дробь, необходимо помнить, что сокращать слагаемые, находящиеся в числителе со слагаемыми, стоящими в знаменателе, нельзя! Сокращать дробь можно только на одинаковые множители, если таковые имеются в числителе и знаменателе. Часто необходимо применить известные приемы разложения на множители, для того чтобы представить имеющийся многочлен в виде произведения нескольких. Вспомним, что способов разложения на множители многочленов несколько, такие как: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим подробнее применение данных приемов для сокращения алгебраических дробей.
Вынесение общего множителя за скобки
Пример 1
Сократить дробь $frac{2x^2}{2x^2-2x}$
Например, если необходимо сократить дробь $frac{2x^2}{2x^2-2x}$, то сокращать ее на $2x^2$ нельзя (хотя данный одночлен имеется и в числителе и в знаменателе дроби). Сначала необходимо преобразовать знаменатель путем разложения на множители. Для этого в данном случае мы воспользуемся способом вынесения общего множителя $2x$ за скобки. Тогда $2x^2-2x=2x(x-1).$
Для упрощения данной дроби воспользуемся основным свойством дробей-сокращением, сначала представив знаменатель в виде произведения двух множителей, тогда
[frac{2x^2}{2x^2-2x}=frac{2x^2}{2x(x-1)}=frac{x}{x-1}]
Пример 2
Сократить дробь $frac{2а-4}{3а-6}$ .
Сократить данную дробь сразу ни на что нельзя, сначала необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители и посмотреть, будут ли множители одинаковыми.
Рассмотрим числитель дроби и вынесем в нем общий множитель $2$:
[2a-4=2(a-2)]
Преобразуем знаменатель дроби путем вынесения общего множителя
[3a-6=3(a-2)]
Сократим искомую дробь на общий множитель, который является многочленом $a-2$
[frac{2a-4}{3a-6}=frac{2(a-2)}{3(a-2)}=frac{2}{3}]
Также для упрощения алгебраических дробей часто удобно использовать еще одно свойство:
Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью.
Пример 3
Сократить дробь $frac{x-y}{y-x}$
Мы видим, что выражение, стоящее в знаменателе $(y-x)$, отличается от числителя $(x-y)$ только знаками, стоящими перед переменными.Тогда воспользовавшись описанным выше свойством получим:
[frac{x-y}{y-x}=frac{x-y}{-(x-y)}=-frac{x-y}{x-y}=-1]
Сокращение на степени с одинаковым основанием
Особое внимение необходимо уделить сокращению на переменную, являющимся одночленом в некоторой степени. Вспомним, что делить можно только степени с одинаковым основанием, и при делении степеней с одинаковым основанием основание остается без изменений, а показетели вычитаются ($a^n:a^m=a^{n-m}$)
Пример 4
Сократить дробь $frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}$
Заметим, что эту дробь можно сократить так же, как и обычную дробь на некоторый коэффициент( который является НОД чисел $63$ и $42$), на одночлен $a^2$ и на одночлен $b^3$. Сокращать будем последовательно, чтобы не запутаться в преобразованиях.
Сначала найдем общий множитель на который можно сократить числа $42$ и $63$. Для этого необходимо найти НОД указанных чисел. Для этого представим их в виде произведения простых множителей $42=2cdot 3 cdot 7$, $63= 3cdot 3 cdot 7$ и найдем НОД: $3:7=21$.Значит данные два числа можно сократить на $21$. Искомая дробь примет тогда вид:
[frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=frac{3a^2b^3}{2a^6b^4}]
Теперь обратим внимание на то, что числитель и знаменатель дроби содержит степень с одинакковым основанием $«a»$. В числителе дроби $a^2$ в знаменателе $a^6$ выберем степень с наименьшим показателем, т.е. $a^2$ и сократим на указанный многочлен. Вспомним, что сокращение – это деление на укзанную величину, тогда в числителе получим $ 3a^2b^3 : a^2=3b^3$ , а в знаменателе необходимо воспользоваться правилом деления степеней $a^n:a^m=a^{n-m}$, тогда $a^6{:a}^2=a^{6-2}=a^4$
[frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=frac{3b^3}{2a^4b^4}]
Аналогично произведем сокращение на степень с одинаковым основанием, т.е. на $b^3$. В знаменателе по указанному выше правилу деления степеней с одинаковым оснванием $b^4{:b}^3=b^{4-3}=b^1=b$
[frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=frac{3a^2b^3}{2a^6b^4}=frac{3b^3}{2a^4b^4}=frac{3}{2a^4b}]
Использование формул сокращенного умножения
Для преобразовния многочленов в числителе и знамнателе дроби используются также формулы сокращенного умножения.
Пример 5
Сократить дробь $frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}$
Сразу данную дробь сократить нельзя, необходимо преобразовать числитель и знаменатель.
Рассмотрим выражение, стоящее в знаментеле дроби, и разложим многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя $x$ за скобки $x^2-2x=x(x-2)$.
[frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}]
Преобразуем выражние, стоящее в числителе дроби, для этого воспользуемся формулой квадрата разности:$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$
[x^2-4x+4=x^2-2cdot 2cdot x+2^2={(x-2)}^2]
Дробь имеет вид
[frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}=frac{{(x-2)}^2}{x(x-2)}=frac{left(x-2right)(x-2)}{x(x-2)}]
Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель –это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби
[frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}=frac{{(x-2)}^2}{x(x-2)}=frac{left(x-2right)(x-2)}{x(x-2)}=frac{x-2}{x}]
Источник
Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с
обыкновенными дробями.
Запомните!
Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.
Примеры алгебраических дробей.
Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).
Сокращение алгебраической дроби
Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении
пользуются правилами
сокращения обыкновенных дробей.
Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.
Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят
на один и тот же многочлен.
Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.
Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «a» .
Наименьшая степень для одночлена «a» находится в знаменателе — это вторая степень.
Разделим, и числитель, и знаменатель на «a2».
При делении одночленов используем
свойство степени частного.
Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.
Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме
степень, на которую сокращали, и записывать только результат.
Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.
Важно!
Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.
Нельзя сокращать
Можно сокращать
Другие примеры сокращения алгебраических дробей.
Как сократить дробь с многочленами
Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.
Важно!
Сокращать многочлен в скобках можно только с
точно таким же многочленом в скобках!
Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!
Неправильно
Правильно
Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения.
Весь многочлен находится внутри скобок.
После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен
«(m − n)» в числителе с многочленом «(m − n)»
в знаменателе.
Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.
Вынесение общего множителя при сокращении дробей
Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно
вынести общий множитель за скобки.
Рассмотрим пример.
В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
«(3f + k)» можно сократить только со многочленом «(3f + k)».
Поэтому, чтобы в числителе получить «(3f + k)»,
вынесем общий множитель «5».
Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения
В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.
В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.
Но если применить формулу разности квадратов
для многочлена «(a2 − b2)», то одинаковые многочлены появятся.
Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.
Источник