Какие свойства арифметических действий
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Сидоркина Анна Владимировна
Учитель начальных классов
I категории
ГУ «Средняя школа № 1 г. Есиль»
Урок математики «Свойства арифметических действий. Рациональные вычисления.»
4 класс
Цели и задачи:
Закрепить навыки применения свойств арифметических действий с числами в пределах 1 000 000. Развивать навыки рациональных вычислений.
Развивать математическую речь, логическое мышление, наблюдательность, внимание, интерес к предмету, навыки самостоятельной работы и творческие способности учащихся.
Воспитывать умение работать самостоятельно, в парах, в группах, воспитывать умение вести диалог, оказывать взаимопомощь.
Ожидаемый результат:
Учащиеся знают свойства арифметических действий.
Умеют применять приемы рациональных вычислений.
Понимают важность взаимопомощи, умение работать в группах, парах.
Ход урока
I. Организационный момент. 1 мин.
Посадка. Проверка готовности.
II. Психологический настрой. 2 мин.
Игра «Я желаю тебе сегодня…»
III. Математический диктант. 5 мин.
1. Увеличите число 263 в 10 000 раз.
2. Найдите частное от 9000 и 20.
3. Найдите сумму чисел 7100 и 2900. Уменьшите сумму в 1000 раз.
4. Найдите произведение чисел 350 и 50.
5. Найдите 2/3 от суммы чисел 160 и 440.
6. Сколько сантиметров в 8 метрах и 3 дм?
Самопроверка.
– Проверьте правильность выполненного задания.
– Кто выполнил правильно?
– Кто допустил ошибки? Почему?
– Что общего у этих заданий?
Обменяйтесь тетрадями в паре. (взаимопроверка)
Все задания выполнены верно – 10 баллов.
Допущены 1-2 ошибки – 8 баллов
Допущены 3 ошибки – 5 баллов.
Допущены 4 ошибки – 3 балла.
Только одно верное задание – 1 балл.
IV. Повторение.
1. Работа в паре. 5 мин.
Обсудите, как удобнее произвести вычисление. Найдите результат записывая решение столбиком.
324 000 + 272 000 + 128 000 + 276 000
– Какой получили результат? (1 000 000)
– Какое арифметическое действие использовали? (сложение)
– Как быстро найти результат? (применить сочетательное свойство сложения)
– Можно назвать этот способ рациональным? (да)
-Оцените работу:
Применено сочетательное свойство сложения – 10 баллов.
Действия выполнены по порядку – 5 баллов.
Еще раз внимательно посмотрите на задание и попробуйте определить тему нашего урока. Тема урока «Свойства арифметических действий. Рациональные приемы вычисления чисел в пределах 1 000 000.
Поставьте задачи на сегодняшний урок.
2. Работа в группе. (Учащиеся первых парт поворачиваются к учащимся за вторыми партами. Учащиеся третьих парт 1 и 2 рядов подходят к учащимся третий парты второго ряда.) 12 мин.
1 группа: вспомнить и записать на листе А4 свойства сложения;
2 группа: свойства вычитания;
3 группа: свойства умножения;
4 группа: свойства деления.
Защита работ.
Проверка правильности выполнения задания.
Учитель вывешивает на доску таблицу свойств арифметических действий.
Переместительное свойство сложения: a + b = b + a
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Сочетательное свойство сложения: a +b + c = a + (b + c)
Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.
Вычитание суммы из числа: a – (b + c) = a – b – c.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности – второе слагаемое.
Вычитание числа из суммы: (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c).
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых.
Прибавление разности к числу: а + (b – c) = a + b – c.
Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.
Переместительное свойство умножения: а · b = b · а.
От перемены мест множителей произведение не меняется
Сочетательное свойство умножения: а · b · c = а · (b · c).
Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: (а + b) · с = ас + bс.
Произведение суммы чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число
а · 1 = 1 · а = а.
При умножении числа на единицу получаем само число.
а · 0 = 0 · а = 0.
При умножении числа на нуль получаем нуль.
a : 1 = a.
При делении числа на единицу получаем само число.
0 : a = 0.
При делении нуля на любое число, не равное нулю, получаем нуль.
На нуль делить нельзя!
a : a = 1.
При делении числа, не равного нулю, на само себя, получаем единицу.
Деление суммы на число: (a + b) : c = a : c + b : c.
Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.
Деление разности на число: (a – b) : c = a : c – b : c.
Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.
Деление произведения на число: (a · b) : c = (a : c) · b = a · (b : c).
Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.
Оцените себя.
Я вспомнил все свойства – 5 баллов.
Я вспомнил лишь некоторые свойства – 2 балла.
3. Работа со свойствами арифметических действий. 10 мин.
Выполнить задание индивидуально. Свериться в паре. Свериться в группе. При несовпадении ответов объяснить в группе последовательность выполнения действий.
1 группа:
(66 000 х 9) : 600 = (66 000 : 60) х 9 = 110 х 9 = 990
(54 500 + 7 500) : 5= 54 500 : 5 + 7 500 : 5 = 10 900 + 1500 = 12 400
2 группа:
390 х 250 х 40 = 390 х (250 х 40) = 390 х 10 000 = 3 900 000
(750 + 120) х 4 = 750 х 4 + 120 х 4 = 3000 + 480 = 3 480
3 группа:
18 300 – (4300 + 190) = 18 300 – 4300 -190 = 14 000 – 190 = 13 810
(14 300 + 2700) – 3300 = (14 300 – 3300) + 2700 = 11 000 + 27 000 = 13 700
4 группа:
197 + 2300 + 7700 = 197 + (2300 + 7700) = 197 + 10000 = 10 197
(63 300 – 9900) : 3 = 63 300 : 3 + 9900 : 3 = 21 100 + 3300 = 24 400
Проверка по таблице ответов.
Оба примера выполнены верно – 10 баллов.
Один пример – 5 баллов.
4. Решение задачи. 6 мин.
Решите задачу используя распределительное свойство умножения.
Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу из двух населенных пунктов. Скорость первого поезда 85 км/ч, а второго – 65 км/ч. Через 4 часа они встретились. Каково расстояние между населенными пунктами, из которых выехали поезда?
85 км/ч 4ч 65 км/ч
? км
Решение:
(85 + 65) х 4 = 85 х 4 + 65 х 4 = 340 + 260 = 600 (км)
Ответ: 600 км расстояние между населенными пунктами.
Оцените себя.
Условие – 2 балла
Решение – 7 баллов
Ответ – 1 балл
V. Итог урока 2 мин.
Давайте вспомним какие цели мы перед собой ставили?
Удалось нам достичь поставленных целей?
Рефлексия. 2 мин.
Закончите предложения.
Я знаю …
Я умею …
Я понимаю …
Подсчитайте баллы, накопленные за урок. Выставляем отметки.
Наибольшее количество баллов за урок – 45
«5» – 36-45 баллов. Поставленная цель достигнута.
«4» – 27-35 баллов. На пути достижения.
«3» – 14 – 26 баллов. Необходимо повторить свойства арифметических действий.
Д/ з. Составить по одному примеру на каждое из арифметических свойств.
Источник
Тип урока: закрепление пройденного материала.
Цель урока:
- закрепить умение использовать свойства арифметических действий для успешного решения выражений и задач в несколько действий;
- умения пользоваться алгоритмом порядка действий при выполнении вычислении при решении выражений, уравнений и задач;
- способствовать развитию логического мышления, умению обобщать и делать обоснованные выводы;
- способствовать развитию познавательной активности и математической речи учащихся;
- Способствовать формированию:
- умения работать в бригадах, слушать товариша;
- воспитанию самокритичности, самооценки своей работы;
- воспитанию активной личности.
Понятия: арифметическое действие, выражение, сложение, вычитание, умножение, множитель, произведение, деление, делимое, делитель, частное, уравнение, периметр, площадь.
Оборудование: геометрические фигуры разной формы трех цветов, пирамиды и палитра на умножение и деление из пособия «Спектр математика», листы с заданиям для бригад (Приложение 1), учебник математики 3 класс 1 часть авторского коллектива Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких.
Ход урока
1. Организационный момент.
С помощью «волшебной шляпы» дети делятся на 4 команды. (При входе в класс детям предлагается геометрические фигурки: треугольники, круги, квадраты, и прямоугольники разного цвета.)
Рассаживаемся за столы. (Дети с треугольниками садятся за один стол, с квадратами – за другой, с прямоугольниками – за третий и с кружками за четвертый), т.о. мы все разбились на четыре команды – бригады. (В командах силы могут быть неравными, а также в одну команду могут попасть дети которые не очень хорошо общаются друг с другом, но им придется работать вместе, что поможет научиться общаться и научиться терпимо относиться к проблемам своим и товарищей по команде).
2. Разминка.
1) Игра «Палитра».
У каждого игрока команды по два кружка и дети ищут свои рисунки в центре круга, затем находят точно такой же рисунок на большей окружности. После того, как все члены команды выполнили задание, учитель проверяет правильность выполнения. (Игра способствует развитию и концентрации внимания, умения сравнивать и обобщать). (Фото № 1, 2, 3, 4)
Фото № 1. Начало работы с игрой «Палитра» , пособие из серии «Спектр – математика»
Фото № 2. Найдена ошибка.
Фото № 3.Ошибку исправляем.
Фото № 4. Исправлена ошибка.
На фотографиях представлены этапы работы с «Палитрой» 1 задание на внимания, и умения сравнивать.
2) Решение выражений в пирамидах «Табличное умножение и деление».
На это задание дается ровно три минуты. После чего учитель просматривает количество и правильность решённых примеров.
3. Эстафета.
Команды получают задание на листочках по одной цепочке выражений. Каждый игрок команды должен записать только один ответ и предать следующему.
№1.
№ 2. Расшифровываем закодированное слово.
Ключ к шифру:
10 | 6 | 24 | 15 | 16 | 20 |
с | т | а | в | о | й |
Задание для бригад.
( 40 – 4 ) : 9 + 42 : 7 = | 10 | с |
80 : 8 ∙ 2 – 5 = | 15 | в |
96 – 4 ∙ 20 = | 16 | о |
0 ∙ (31 – 25 ) + 4 ∙ 5 = | 20 | й |
9 ∙ 2 : 3 + 24 : 6 = | 10 | с |
8 ∙ 3 : ( 28 ; 7 ) = | 6 | т |
100 : 10 + 35 : 7 = | 15 | в |
100 – (60 : 3 + 7 ∙ 8) | 24 | а |
Учитель: У нас получилось слово «свойства». Предположите, какая тема нашего урока. Что вы можете рассказать о свойствах?
Дети отвечают, что это могут быть свойства арифметических действий.
Учитель: Какими свойствами обладает действие умножение? (Переместительное, сочетательное и распределительное)
– Для чего надо владеть этими свойствами?
Учитель дает задание детям из учебника стр. 50 № 4.
Сравнить алгебраические выражения и выполнить № 6 «лист – задания» бригадам. (Задания выполняет каждый ученик в своей тетради).
№ 4. Стр. 50.
Сравни:
a + (b + c) * (a + b) + c a – (d + f) * a – d – f
(c + d) – y * ( c – y) = d (c + d) – y * (d – y) + c
Точно так же рассуждая, выполните сравнение выражений:
( а + 7 ) ∙ 5 * а ∙ 5 + 7 ∙ 5
( а + 7 ) ∙ 5 * а ∙ 5 + 3 5
( а + 7 ) ∙ 5 * а + 3 5
Учитель: Кроме свойств арифметических действий обязательно надо владеть правилами порядка действий.
Учитель: вспомните, в каком порядке выполняются действия в выражениях, в которых:
- присутствуют только действия сложения и вычитания.
- присутствуют только действия умножения и деления.
- присутствуют действия сложения и вычитания, умножения и деления.
- присутствуют действия сложения и вычитания, умножения и деления.
- наличие скобок в выражении указывает о соблюдении ещё одного правила. Какого?
Укажите порядок действий в выражениях, в числовых выражениях найдите значение.
Дети коллективно по бригадам выполняют задание № 3.
n – a + d – c | n – ( a + d – c ) | n – (a + d ) – c |
Учитель: Мы повторили правила порядка действий, и пользуясь этими правилами нашли значения числовых выражений. Получили следующие числа: 40, 44, 26, 24, 80, 8.
– Что интересного вы заметили в этом ряду чисел?
– Можно ли найти среди них лишнее число?
Дети предлагают лишнее число – 8 (однозначное) или 26 т.к. не делится на 4, 20 – круглое число.
– Какие числа делятся на 8, 10, 5. Подчеркните эти числа. ( Используем цветные карандаши)
4. Физкультминутка.
«Выросли деревья в поле. Хорошо расти на воле!
Каждое старается, к небу к солнцу тянется,
(Потягивания – руки вверх и в стороны.)
Вот подул весёлый ветер, закачались тут же ветки,
(Махи руками вверх, в стороны.)
Даже толстые стволы наклонились до земли.
Вправо – влево, взад – вперёд так деревья ветер гнёт.
(Наклоны вперёд, назад и в стороны.)
Он их вертит, он их крутит. Да когда же отдых будет.
(Вращение туловищем).
Ветер стих. Взошла луна. Наступила тишина.
(Дети садятся за парты).
Учитель предлагает детям решить задачи, которые написаны на листах-заданиях.
Команды совместно решают, № 1, 2, 3 и записывают в тетради решения по действиям или выражением.
Задача №1.
Какой толщины будет альбом в 20 страниц, если каждые 5 листов имеют толщину 2 см?
Задача №2.
Найди периметр прямоугольника и его площадь, если одна из его сторон равна 6 см, это в 2 раза меньше, чем другая сторона. Найди величину стороны квадрата с таким же периметром.
Задача № 4 (учебник, с. 51 № 7)
Учитель проверяет работу. Один ученик из команды (бригады) записывает решение на доске одной из задач и объясняет.
№ 1. 2см ∙ (20 : 2 : 5) = 2 ∙ (20 : (2 ∙ 5)) = 4 (см)
№ 2. 6 ∙ 2 ∙ 6 = 6 ∙ 6 ∙ 2 = 72 (кв. см)
( 6 + 6 ∙ 2) ∙ 2 : 4 = 9 (см)
(6 ∙ 2 + 6 ∙ 2 ∙ 2) : 4 = 9 (см)
№ 3. (a + b) ∙ 2 – (a – 2 + b) ∙ 2 = a ∙ 2
Учитель: При записи решений выражением мы соблюдали правила порядка действий и воспользовались свойствами действий. Предлагаю рассмотреть текст задачи и её решения №5 стр. 51. Объясните, что означает каждое выражение.
2 ∙ 15; 3 ∙ 15; 2 ∙ 15 + 3 ∙ 15; 3 ∙ 15 – 2 ∙ 15;
– Возможны ли другие выражения?
Дети, вспомнив распределительное свойство умножения, предлагают следующие выражения: (2 + 3) ∙ 15; (2 – 3) ∙ 15;
Далее учитель даёт задание по вариантам № 6. Записать решение по действиям с пояснением и выражением, № 3 стр. 50 – решение одного уравнения на выбор, какое больше нравится.
б). – 1 вариант; в). – 2 вариант;
Это задание учитель проверяет при проверке тетрадей.
5. Итог урока: как вы думаете, что полезного сегодня для вас было на уроке.
Дети высказывают своё мнение.
Учитель просит показать детей своё настроение на уроке.
– А теперь я попрошу вас нарисовать «мордашку» вашего настроения на уроке.
Учащиеся рисуют на полях в тетради после классной работы условные знаки, оценивая свою успешность работы на уроке.
☼ – радостное, у меня всё легко получалось,
☺– ожидание нового, мне было интересно,
Ồ – тревожное, у меня не всё получилось, но я разобрался, мне помогли, объяснили…,
ổ – мне нужна помощь, хорошо, что можно было спросить у …
Учитель объясняет домашнее задание. Страница 50 №5 – показать способ вычислений, страница 51 № 6 г). – записать решение задачи по действиям с пояснением, а второй способ решения задачи – записать выражением.
Литература:
- «Моя математика» 3 класс 1 часть. Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких;
- Дидактический материал к учебнику « Математика» 3 класс С.А. Козлова, В.Н. Гераськина, Л.А. Волкова;
- «Методические рекомендации для учителя» «Математике» 3 класс, С.А. Козлова, А. Г. Рубин;
- «Учим математику с увлечением» А.В. Кочергина, Л.И. Гайдина;
- «Играя, учимся математике» Чилингирова Л. К. 1993 г;
- «Физкультурные минутки» О.В. Узорова, Е.А. Нефедова.
Источник