Какие свойства диагоналей квадрата

30.11.2020
0
Главная › Какие свойства › Какие свойства диагоналей квадрата
Какие свойства диагоналей квадрата thumbnail

Определение.

Квадрат – это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:

AB||CD,   BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:

AC = BD

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC┴BD      AO = BO = CO = DO = d
2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата

Определение.

Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.

Формулы определения длины диагонали квадрата

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

d = a·√2

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

d = √2S

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:

d = Dо

6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

d = 2r√2

7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:

d = Dв√2

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

Периметр квадрата

Определение.

Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формулы определения длины периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:

P = 4a

2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:

P = 4√S

3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:

P = 2d√2

4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:

P = 4R√2

5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:

P = 2Dо√2

6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:

P = 8r

7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:

P = 4Dв

8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:

S = a2

2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:

3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:

4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:

6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 4r2

7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:

S = Dв2

8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:

Окружность описанная вокруг квадрата

Определение.

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:

2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:

3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:

4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:

5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:

6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:

R = r √2

7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:

8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:

Окружность вписанная в квадрата

Определение.

Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.

Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат

1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:

2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:

3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:

Читайте также:  Какие цветы лечебные свойства

4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:

5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:

6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:

7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:

8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:

Источник

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

hello_html_m28b647ca.png

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

  1. Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

  2. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

  3. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

  1. У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

  2. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

  3. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

  4. У квадрата диагонали равны.

  5. У квадрата стороны являются высотами.

  6. Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

hello_html_m190c43f6.png

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

– квадрат (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.hello_html_1ea267e8.png

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим .

по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

hello_html_69e0ca54.png

Дано: – прямоугольник

– диагональ

– биссектриса

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Так как – биссектриса , то .

по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.hello_html_1ea267e8.png

Дано: – ромб

– диагонали

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.hello_html_1ea267e8.png

Дано: – параллелограмм

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.

Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.hello_html_5d8b8e62.png

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.hello_html_541964a.png

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.

3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.

Итак, признаки квадрата:

  1. Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

  2. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

  3. Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

  4. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

  5. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

  6. Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

  7. Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

  1. Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .

  2. На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.hello_html_m2a1c0a22.png

  3. На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.hello_html_m1e71b51e.png

  4. В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .

  5. В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .

  6. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .

  7. На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .

  8. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .

  9. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .

  10. Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.

  11. В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.hello_html_m4dda2bd9.png

  12. Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.

  13. Дан квадрат . Докажите, что – ромб.

Читайте также:  Какие углы называются смежными какими свойствами обладают вертикальные углы

hello_html_m432a04b5.png

  1. Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.

  2. Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .

  3. Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .

  4. Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .hello_html_48d9e46d.png

  5. Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.

  6. На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .hello_html_672b9d03.png

  7. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

  8. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

  9. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

  10. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

  11. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.

  12. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.

  13. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.

hello_html_m3be2225.png

  1. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.

  2. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.hello_html_m1d0ad6fb.png

  3. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .

  4. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.hello_html_m2a539d24.png

  5. Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .hello_html_61dd0c37.png

  6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.

hello_html_54f2e5c3.png

  1. Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .hello_html_m50529339.png

  2. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

  3. Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .

  4. Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.hello_html_7cc5861.png

7

Источник

Конспект урока математики

Дата проведения: 23. 09.2010 г.

Тема: Свойства диагоналей квадрата.

Тип урока: Расширение знаний о квадрате.

Цели урока:

Обучающие:

  • совершенствовать письменные вычислительные навыки и умение решать задачи;
  • показать практическую значимость математических знаний для решения задач в повседневной жизни;
  • обеспечить усвоение учащимися свойств диагоналей квадрата.

Развивающие:

  • развивать умение ясно выражать свои мысли, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения;
  • развивать навыки по определению свойств квадрата.

Воспитательные:

  • формировать способности к исследованию;
  • формировать умение наблюдать и анализировать;
  • воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, переносной экран.

Структура урока.

I.        Орг. момент.                                                                1 мин.

II.      Сообщение темы и целей урока.                                1 мин.

III.     Устный счет.                                                                5 мин.

IV.     Изучение нового материала.                                      10 мин.

V.      Физкультминутка.                                                        2 мин.

VI.     Закрепление изученного.                                            11 мин.

  1. Подведение итогов, выставление оценок.                 4 мин.
Читайте также:  Какими свойствами обладает клетки животного организма

VIII.   Домашнее задание.                                                      1 мин.

Ход урока.

I. Орг. момент

Учитель: Встали все правильно. Спинки все выпрямили. Первый ряд – тихонечко сели, второй ряд – тихонечко сели, третий ряд – тихонечко сели.

    II. Сообщение темы и целей урока

Учитель: Ребята, сегодня мы с вами продолжим работу с диагоналями, но объектом нашего исследования будет квадрат.

    III. Устный счет.

Найдите значения этих выражений.

2. Какие знаки можно поставить вместо снежинок и цифры вместо квадратиков так, чтобы получились верные равенства:

3. Замените суммой разрядных слагаемых следующие числа:

4. Стороны прямоугольника 7см и 5 см. Чему равна площадь квадрата, если периметр его равен периметру прямоугольника?

Ответ: 36см

IV. Изучение нового материала

Учитель: Что такое прямоугольник?

Дети: Прямоугольник –это четырёхугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны.

Учитель: Что такое диагональ?

Дети: Диагональ – это прямая линия, соединяющая противоположные углы прямоугольника и расположена под острым углом к его сторонам.

Учитель: Назовите свойства диагоналей прямоугольника.

Дети: 1) Диагонали прямоугольника равны.

           2) Все отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей прямоугольника, равны.

Учитель: Что такое квадрат?

Дети: Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Учитель: Мы с вами знаем, что диагонали прямоугольника равны. Равны ли будут диагонали квадрата?

Дети: Диагонали квадрата тоже равны, т.к. квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Учитель: Если квадрат – это прямоугольник, значит и свойства диагоналей такие же.

  1. Диагонали квадрата равны.

     2) Все отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей квадрата, равны.

Ребята у квадрата есть ещё одно особенное свойство, которого у прямоугольника нет.

    3) При пересечении диагоналей квадрата получаются четыре прямых угла.

Учитель: А сейчас давайте проверим все эти свойства на рисунке в учебнике.

Откроем учебник на странице 17. Наверху нарисованы 2 квадрата и в них проведены диагонали.

Назовите мне первый квадрат.

Дети: Первый квадрат АВСD

Учитель: Назовите диагонали квадрата АВСD

Дети: Диагональ BD и СА

Учитель: Что такое точка О?

Дети: Точка пересечения диагоналей.

Учитель: Назовите второй квадрат на рисунке.

Дети: Второй квадрат KLMN

Учитель: Назовите диагонали этого квадрата.

Дети: KM и LN

Учитель: Назовите точку пересечения диагоналей

Дети: Это точка Е

Учитель: Какие углы образуются при пересечении диагоналей?

Дети: Образуются прямые углы. Чтобы проверить, можно подставить линейку и убедиться в этом.

Учитель: Назовите мне эти углы

Дети: KEL, LEM, MEN, NEK

Учитель: А сейчас, ребята, давайте немного отдохнем.

  1. Физкультминутка

Чудеса на белом свете –

Стали маленькими дети.

А потом все дружно встали,

Великанами вдруг стали.

Флюгер есть теперь у нас,

Завращается сейчас.

Ветер справа, ветер слева,

Флюгер вертится умело.

Сначала буду маленьким,

К коленочкам прижмусь.

Потом я вырасту большим,

До лампы дотянусь.

  1. Закрепление изученного.

Учитель: Немного отдохнули, а сейчас давайте выполним № 81

(Дети читают задание. Один человек выполняет на доске, остальные в тетради)

Учитель: Выполняем № 84 (1,2) – на доске, 3,4 – самостоятельно в тетради.

(4 человека выполняют на доске, остальные выполняют в тетрадях).

832:9=92(ост.4)    641:3=213(ост.3)    587:8=73(ост.3)     667:7=94(ост.5)

Учитель: Читаем задачу № 82

Сначала скажите, сколько в 1ч минут?

– 60 минут

1ч 10 мин переведите в минуты

– получится 70 минут

Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?

– нет, не можем

Почему?

– мы не знаем сколько времени он затратил на поездку в магазин и был в магазине

Как нам узнать это?

– мы к времени, которое затратил мальчик на дорогу в магазин прибавим время, которое он был в магазине

     1) 25 + 15 = 40 (мин.)

Теперь мы можем узнать, сколько времени мальчик ехал назад

  1. 70 – 40 = 30 (мин.)

             Ответ: 30 минут

  1. Подведение итогов, выставление оценок.

Учитель: Что такое прямоугольник?

Дети: Прямоугольник –это четырёхугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны.

Учитель: Назовите свойства диагоналей прямоугольника.

Дети: 1) Диагонали прямоугольника равны.

           2) Все отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей прямоугольника, равны.

Учитель: Что такое квадрат?

Дети: Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Учитель: Назовите свойства диагоналей квадрата.

Дети:

  1. Диагонали квадрата равны.

     2) Все отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей квадрата, равны.

  1. При пересечении диагоналей квадрата получаются четыре прямых угла.

Учитель: Молодцы ребята! Вы сегодня хорошо поработали!

  1. Домашнее задание

Откроем дневники и запишем домашнее задание: №83, №85 стр.17

Урок окончен. Можете идти отдыхать.

Просмотр содержимого документа

«Конспект урока математики 4 кл.»

Источник

Предыдущая статья
Какие продукты уменьшают вздутие живота
Следующая статья
Какие продукты взять с собой в дальнюю ...
© А какой продукт?