Какие свойства есть у кривой

Саратовский колледж строительства мостов и гидротехнических сооружений.

(Исследовательская работа)

Выполнила:

Михалёва Анна,

Студентка 21 сзо группы

Руководитель:

Мухина Анастасия

Михайловна.,

преподаватель

математики

Саратов -2012 г

Содержание:

I.  Введение.

II.  Основная часть.

2.1 Циклоида.

2.2 Кардиоида.

2.3 Эллипс.

2.4 Кривая Коха.

III.  Заключение.

IV.  Приложение.

V.  Список литературы.

Актуальность темы: заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. На парах математики не изучаются замечательные кривые и их свойства, которые широко используются в жизни.

Цель работы: собрать материал по свойствам, применению и построению замечательных кривых, составить компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках математики и факультативных занятиях.

Объект исследования: кривые и их свойства.

Гипотеза: использование данного материала на парах математики расширяет кругозор учащихся по свойствам кривых.

Практическая значимость: материал работы по замечательным кривым поможет преподавателю красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных инструментов и подсобного материала.

Введение

Если внимательно присмотреться к окружающим нас предметам, легко можно заметить, что далеко не все они могут быть изображены на чертеже только с помощью прямых линий. Формы большей части предметов содержат в себе более сложные элементы кривых линий и поверхностей. Здания, машины, механизмы, мебель, одежда, посуда – все содержат в себе эти элементы.

Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии и встречающиеся в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, применяемых человеком в жизни. Я выбрала эту тему, так как считаю её интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к математике, открывающей практическое приложение математики в жизни. Использование данного материала на парах расширяет кругозор студентов, развивает пространственное представление, мышление. В школьном курсе математики рассматриваются кривые – гипербола, парабола, окружность, синусоида, но нигде не говорится о замечательных свойствах эллипса, циклоиды, улитки Паскаля, спирали Архимеда, кардиоиды, а тем более об их практическом применении. Я думаю, что полезно будет знать информацию об этих кривых, которые широко применяются в жизни. И моё мнение такое, что на парах математики необходимо ввести понятие и свойства эллипса, так как это тема, которая расширяется и теоретически обосновывается при изучении тем «Конус» и «Цилиндр».

Замечательные кривые меня заинтересовали при изучении геометрии.

В данной работе собран материал с уклоном на практическое построение и применение кривых. Изучение каждой кривой я рассматривала в трех направлениях:

·  Теория – определение кривой и её замечательное свойство.

·  Практика – как построить студенту кривую при помощи школьных чертежных инструментов или подручного материала.

·  Приложение – практическое применение кривых в жизни человека.

Основная часть.

2.1 Циклоида.

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. (Что по-гречески значит « кругообразная»)

Рис.1Построение циклоиды

Определяется она как кривая, которую описывает точка обода колеса, катящегося без проскальзывания по прямой линии.

Циклоида обладает многими замечательными свойствами. И основное свойство циклоиды: касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Рис.2 Свойство циклоиды

Обратим внимание на положение касательной к циклоиде. Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста.

Вот ещё одно свойство. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А и В ( А выше чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что желоб должен быть прямолинейным. Но это не так.

Может быть желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI – XVIIвв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз(рис 3).

Рис.3

Опыт.

Мы знаем, что часы с обычным маятником не могут идти точно, ведь период колебаний зависит от амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. По какой кривой должна двигаться точка, чтобы ее период не зависел от амплитуды. Понятно, что в обычном маятнике кривая, по которой движется точка – есть окружность. В приведенном случае искомой кривой является перевернутая циклоида.

Рис.4.

Христиан Гюйгенс, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник.

С циклоидами связан один интересный парадокс. Допустим, что пассажирский поезд идет из Москвы в Киев. Оказывается в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Этому можно только удивиться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельс, то можно увидеть выступ на колесе, который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельс. Эта самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению своего колеса.

Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею, будет выглядеть как на рисунке. Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель.

Рис.5

2.1 «Родственница» циклоиды – кардиоида. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово «кардио» означает «сердце»).

Рис.6Кардиоида

ПРАКТИКА: Вырежьте два картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого круга (рис.7). Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному, и понаблюдайте, какую линию опишет точка А.

Рис.7 Построение кардиоиды Рис.8 Рис.9

2.3 Эллипс (от др. греческого – недостаток).

Эту фигуру знают все. С ней встречаются в астрономии и географии

( траектория движения планет и спутников, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен мы и не задумываемся.

Рис10 Сечение конуса Рис.11 Рис.12 Эллиптическая галактика М32

Действительно о замечательной фигуре, обладающей красивыми и важными свойствами, практически ничего не говорится в школьных учебниках. На вопрос студентам « что такое эллипс?» одни ответили: «вытянутый круг», «вытянутая окружность» , другие – «сжатый круг» , «сжатая окружность», третьи пытались объяснить, что это овал, правда не понимая, что это за кривая. Несколько учащихся попытались нарисовать эллипс, но у них ничего не получилось.

Эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем нам кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов (рис13)., кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму (рис.14).

Рис.13 Рис.14

У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самое неожиданное применение. В форме эллипса можно изготовить журнальный толик или соткать ковер.

Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо взять две булавки с ниткой, воткнуть их в чертежную доску,

взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс (рис15).

Рис.15

Эллипс обладает еще одним замечательным свойством. Так если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместив в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в одном фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шепота, «потусторонних» звуков.

Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находится в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находиться рядом, хотя на самом деле расстояние велико (рис.16).

Рис.16

Все точки эллипса обладают одним свойством:

Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости (эти точки называются фокусами эллипса) постоянна.

2.4 Кривая Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с большой скоростью. Поиски данных кривых были вызваны не просто интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом подтвердила движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Процесс её построения выглядит следующим образом (рис.17): берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха, которая не имеет самопересечений.

Рис.17

Снежинку Коха можно построить на сторонах равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники треугольника. Эту операцию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившегося на предыдущем шаге (рис.18)

Рис.18

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема.

2. Имеет бесконечную длину.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь.

Заключение

Применение замечательных кривых широко распространено, их применяют в производстве, строительстве, военном деле. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора.

Весь собранный мною материал по кривым и их свойствам был использован в течение года при проведении факультативных занятий. Я заметила, что на этих занятиях учащиеся с большим интересом и любопытством изучали предложенный материал, который способствовал повышению познавательной активности учащихся. Ребятам с удовольствием сами строили эллипс, циклоиды и кардиоиды. На будущее я планирую собрать материал и создать презентацию по следующим замечательным кривым – это кривая Пеано, спираль Корню, кривая Леви.

Список литературы

1.  Маркушевич кривые.- М.:1978, 48 стр. с илл.

2.  Бакуш моделирование окружающего мира.-

Москва: Терра, 2009

3 . Дорохов в моем понимании.- Москва, 2004

4 . Детская энциклопедия. т16., 2000.

5. Майер о кривых.- СПб.:Знание,1999.

4.1. Кривые второго порядка. Окружность

4.2. Эллипс

4.3. Гипербола

4.4. Парабола

4.1. Кривые второго порядка

Геометрическое место точек называется алгебраической кривой, если левая часть его уравнения в декартовых координатах после упрощения и переноса всех членов в одну часть равенства будет многочленом относительно x и y. Степень этого многочлена, т. е. наибольшая из сумм показателей степеней x и y членов многочлена, называется порядком этой кривой. Можно доказать (это будет ниже доказано только для кривых второго порядка), что порядок алгебраической кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости; иными словами, степень уравнения данной кривой остается одной и той же, к какой бы системе прямоугольных координат ее ни относить.

Всякое уравнение вида , т. е. уравнение первой степени относительно x и y, всегда определяет на плоскости некоторую прямую; таким образом, кривые первого порядка – это прямые линии.

К кривым второго порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Кроме того, в некоторых случаях уравнение второй степени относительно x и y может определять две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Кривые второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – играют большую роль в прикладных вопросах. Напомним, что планеты солнечной системы в соответствии с первым законом Кеплера движутся вокруг Солнца по эллипсам; по эллипсам же движутся вокруг планет их спутники (в частности, искусственные спутники Земли); наконец, кометы, зашедшие в солнечную систему из мирового пространства, могут двигаться вокруг Солнца либо по эллипсам, либо по параболам, либо по гиперболам в зависимости от значения скорости, с которой комета приближается к Солнечной системе.

Кривые второго порядка начнем изучать с простейших из них – окружности.

Окружность

Как известно, уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

(3.1).

Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести в левую часть равенства, то уравнение примет вид:

(3.1`).

Геометрический смысл уравнения не изменится, если все его члены умножить на один и тот же, отличный от нуля и не зависящий от и множитель ;
введем обозначения – ,
– , .

Уравнение (3.1′) запишется тогда в виде:

(3.2).

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (3.2) является уравнением некоторой окружности?

Чтобы ответить на этот вопрос, проделаем обратное преобразование уравнения (3.2) к виду (3.1), считая коэффициенты A, D, E и F произвольными (но ).

Разделим все члены уравнения (3.2) на А и введем обозначения: , , ; тогда уравнение (3.2) примет вид:

(3.2`).

Дополняя члены с x и y до полных квадратов и перенося член направо, придадим уравнению (3.2′) вид:

(3.3).

Правая часть последнего уравнения может быть числом положительным, отрицательным или нулем.

1. Если , то положим .

Уравнение (3.3) запишется в виде:

(3.3`)

и является, как известно, уравнением окружности радиуса R с центром в точке .

2. Если , то уравнение (3.3) принимает вид:

(3.3“).

Ему удовлетворяют только значения , (сумма двух квадратов может быть равна нулю только тогда, когда одновременно равен нулю каждый из них); таким образом, уравнению (3.3”) удовлетворяет единственная точка плоскости .
Но, впрочем, можно говорить, что уравнение (3.3”) и в этом случае является уравнением окружности, но окружности, выродившейся в точку (окружности с нулевым радиусом).

3. Если , то полагая , приводим уравнение (3.3) к виду:

(3.3“`).

Поскольку сумма квадратов двух вещественных чисел не может быть числом отрицательным, то на плоскости xOy не существует точек, которые удовлетворяли бы уравнению (3.3”’).
Поэтому уравнение (3.3”’) не определяет никакой кривой; иногда говорят, впрочем, что уравнение (3.3”’) является уравнением мнимой окружности.

Только учитывая это последнее замечание, можно говорить, что уравнение (3.2) всегда определяет окружность (вещественную, выродившуюся в точку или мнимую).

Примеры.

1. Уравнение x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 приводится к виду (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 и определяет окружность радиуса R = 5 с центром в точке С(2;–3).

2. Уравнение x2 + y2 + 2x + 1 = 0 приводится к виду (x + 1)2 + y2 = 0 и определяет единственную точку С(–1;0).

3. Уравнение x2 + y2 + 4x + 2y + 7 = 0 приводится к виду (x + 2)2 + (y + 1)2 = – 2 и никакой вещественной кривой не определяет (мнимая окружность).

4.2. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами эллипса, постоянна.

Пусть фокусами эллипса являются точки F1 и F2, а М – некоторая точка, принадлежащая эллипсу. По определению эллипса для любой его точки М имеем:

(3.4)

где через обозначена упоминаемая в определении эллипса постоянная величина. Введем обозначение ; очевидно, что ( – сумма двух сторон треугольника , а – его третья сторона).

Для вывода простейшего уравнения эллипса выберем следующее расположение координатных осей. Начало координат О поместим в середину отрезка , а за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , ось направим перпендикулярно к оси в точке .

При таком выборе осей координаты фокусов будут , ; произвольную точку эллипса обозначим через .

Имеем:

, (3.5),

а подставляя эти значения в уравнение (3.4), находим:

(3.6).

Получено уравнение эллипса. Для преобразования уравнения к более простому виду перенесем корень второй степени в правую часть равенства и возведем обе части равенства в квадрат (одновременно раскрыв скобки):

(3.7).

Перенося в этом уравнении радикал в левую часть, а все остальные члены – в правую часть равенства, после привидения подобных членов и сокращения на общий множитель найдем:

(3.8).

Снова возведем в квадрат обе части уравнения:

(3.9).

Перенесем теперь члены с текущими координатами в левую часть равенства, а постоянные члены – в правую:

(3.10).

Наконец, разделим левую и правую части на :

(3.11).

Так как , то можно положить ; тогда окончательно получим следующую простейшую (ее называют канонической) форму уравнения эллипса:

(3.12).

Можно доказать, что уравнение (3.12) равносильно исходному уравнению (3.6).

Исследуем форму эллипса по его уравнению. Прежде всего заметим, что каждое из двух слагаемых левой части уравнения (3.12) не превосходит единицы, поскольку их сумма (а они оба положительны) равна единице:

, ;

отсюда найдем, что для всех точек эллипса:

, , (3.13)

т. е. что эллипс целиком лежит внутри прямоугольника, определяемого неравенствами (3.13).

Далее заметим, что уравнение (3.12) сохраняет вид, если заменить на или на (поскольку x и y входят в уравнение лишь во второй степени). Из этого следует, что если на эллипсе лежит некоторая точка , то одновременно с нею на эллипсе лежат и три точки , и , симметричные с точкой М соответственно относительно оси Ox , оси Oy и начала координат. Это означает, что эллипс имеет оси координат своими осями симметрии и поэтому для его построения достаточно построить его дугу, лежащую, например, в I четверти.

Решим уравнение (3.12) относительно y:

(3.14).

Для построения дуги эллипса, лежащей в I четверти, надо в правой части (3.14) взять знак плюс и изменять x только от 0 до a:

, (3.14`)

Из этого уравнения следует:
1) при ;
2) при возрастании x от 0 до а y убывает от b до 0; 3) при .
Это позволяет нам построить дугу эллипса, лежащую в I четверти, и по соображениям симметрии весь эллипс.

Познакомимся с принятой в аналитической геометрии по отношению к эллипсу терминологией.

Отрезки и осей симметрии эллипса, принятых нами з оси координат, называют соответственно большой и малой осями эллипса; их длины равны соответственно 2a и 2b (, так как ); половину их длин – числа a и b – часто называют большой и малой полуосями эллипса. Точка О пересечения осей симметрии эллипса называется его центром. Концы большой и малой осей эллипса – точки , , , – называют его вершинами.

Форма эллипса зависит от величины соотношения длин его малой и большой полуосей: чем больше это соотношение, тем эллипс будет менее “сплющенным”, менее сжатым; при эллипс, как легко установить по его уравнению (3.12), превращается в окружность; в самом деле, в этом случае уравнение (3.12) превращается в уравнение:

(3.15),

т. е. в уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат.

В качестве характеристики формы эллипса в аналитической геометрии чаще пользуются не соотношением его полуосей , а другой величиной – отношением половины расстояния с между фокусами эллипса к его большой полуоси а, которое называют эксцентриситетом и обозначают греческой буквой “эпсилон” ():

(3.16).

Так как , то эксцентриситет для различных эллипсов может меняться в пределах от 0 до 1: ; чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов и тем более сплющен эллипс; чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше форма эллипса приближается к окружности. (Если положить , то эллипс превращается в окружность; если положить , эллипс превращается в свою собственную большую ось).

Если по уравнению эллипса (3.12) нужно построить не только сам эллипс, но и отметить на чертеже положение его фокусов и , то полезно запомнить. Что расстояния от фокусов эллипса до концов и его малой оси равны длине большой полуоси эллипса а:

.

Это сразу следует из основного соотношения, связывающего величины a, b и с:

(3.17).

Пример.

Найти простейшее уравнение и построить его, если его большая ось расположена на оси Ox симметрично относительно начала координат и имеет длину , а эксцентриситет эллипса .

Решение. Пользуясь формулой (3.16), находим с:

.

Затем по формуле (3.17) определяем .
Зная теперь a и b, получаем простейшее уравнение эллипса:

.

Построение этого эллипса по его уравнению рекомендуем читателю сделать самостоятельно.

Рассмотрим теперь уравнение

, в котором .

Очевидно, отнесенный к системе координат, в которой оси Ox и Oy поменялись ролями: большая ось и фокусы этого эллипса лежат на оси Oy, а малая ось – на оси Ox (рис. 3.3). Следует лишь помнить, что для такого эллипса и .
Координаты фокусов такого эллипса: и .

4.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, постоянна.

Для вывода простейшего уравнения гиперболы расположим оси координат по отношению к ее фокусам и так же, как мы это делали в предыдущем параграфе для эллипса. Сохраним для гиперболы те же обозначения: 2а для постоянной величины, упоминаемой в определении гиперболы, 2с для расстояния между фокусами и . Координаты фокусов те же, что и для эллипса в предыдущем параграфе: и .

Возьмем произвольную точку , лежащую на гиперболе. По определению гиперболы для точек кривой, лежащих в I и IV четвертях имеем:

(3.18),

а для точек, лежащих во II и III четвертях:

(3.18`).

Заметим, что для гиперболы в отличие от эллипса (2а есть разность двух сторон треугольника , а 2с – его третья сторона). Выражая через координаты точек , и длины отрезков и оба равенства (3.18) и (3.18′) можно записать в виде:

(3.19).

Производя над этим уравнением те же преобразования, что и над уравнением (3.6) в случае эллипса (см. § 4.2), мы в конечном счете придем
к тому же самому уравнению (3.10):

,

в котором, однако, теперь .
(Рекомендуется читателю произвести это преобразование самостоятельно.)

Деля левую и правую части уравнения (3.10) на и учитывая, что теперь , запишем результат в виде:

(3.20).

Наконец, полагая , получим окончательно простейшее (каноническое) уравнение гиперболы:

(3.21).

Можно доказать, что равенство (3.21) равносильно объединенному равенству (3.19).

Для построению гиперболы по ее уравнению (3.21) заметим прежде всего, что первый член левой части этого уравнения не меньше его правой части, т. е. единицы (поскольку из вычитается неотрицательная величина ): .

Отсюда .
Таким образом, в вертикальной полосе между параллельными оси Oy прямыми и точек кривой нет.

Отмечаем далее, что, так же как и для эллипса, оси координат служат осями симметрии гиперболы, так как в уравнении (3.21) x и y входят лишь в четных степенях. Поэтому достаточно построить часть гиперболы, лежащую в I четверти.

Решим уравнение гиперболы (3.21) относительно y: ,
выберем в правой части знак плюс, поскольку в I четверти :

, (3.22).

При ; при возрастании x возрастает и y: ветвь гиперболы, подымаясь от оси Ox, уходит на плоскости все дальше и дальше, или, как говорят в геометрии, уходит “в бесконечность”. Но при этом, как нетрудно показать, ветвь кривой все ближе и ближе подходит к прямой .
В самом деле, разность между ординатами точек этой прямой и гиперболы (обозначим ее через ), соответствующих одному и тому же значению абсциссы х, имеем следующее выражение:

(3.23)

Из последнего выражения видно, что когда х неограниченно возрастает, то , оставаясь положительным, стремится к нулю, что и подтверждает высказанную нами мысль: ветвь гиперболы, лежащая в I четверти неограниченно приближается (и притом снизу, так как ) к прямой , когда абсцисса х точки гиперболы неограниченно возрастает. Такие прямые, к которым неограниченно приближаются уходящие в бесконечность ветви кривых, называются асимптотами этих кривых.

Таким образом, прямая является асимптотой гиперболы. В силу симметрии гиперболы у нее есть и вторая асимптота: . Наличие асимптот и соображения симметрии позволяют нам построить всю гиперболу (рис. 5): кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между прямыми и и неограниченно приближаются к этим прямым.

В отношении гиперболы используется следующая терминология.

Отрезок называют вещественной, а – мнимой осью гиперболы; их длины равны соответственно 2а и 2b (а – вещественная полуось, b – мнимая полуось). Точки гиперболы и , лежащие на вещественной оси, – вершины гиперболы. Точка О – центр гиперболы. Изображенный на рис. 3.5 пунктиром прямоугольник с центром в точке О и сторонами , и , параллельными осями симметрии гиперболы, называют осевым прямоугольником гипербол; его построение облегчает построение гиперболы; сама гипербола касается вертикальных сторон этого прямоугольника в их серединах, являющихся вершинами гиперболы.

Для построения фокусов гиперболы и полезно знать, что основное соотношение между величинами , и у гиперболы можно записать в виде:

(3.24).

Поэтому расстояние от центра гиперболы до ее фокуса равно половине длинны диагонали осевого прямоугольника : в прямоугольном треугольнике катеты , , а следовательно, его гипотенуза .

Форма гиперболы зависит от угла наклона асимптоты к вещественной оси, т. е. от величины отношения : чем эта величина меньше, тем меньше угол между асимптотами, в котором заключена гипербола, и тем более сжата сама гипербола; чем больше величина , тем круче располагаются ветви гиперболы.

Но, так же как и для эллипса, в качестве характеристики формы гиперболы в аналитической геометрии пользуются не величиной отношения , а величиной , называемой эксцентриситетом гиперболы и обозначают той же буквой , как и для эллипса:

(3.25).

Так как у гиперболы , то эксцентриситет гиперболы .
Из прямоугольного треугольника , в котором острый угол наклона асимптоты к вещественной оси обозначен через , находим:

и, следовательно:

(3.26),

т. е. эксцентриситет гиперболы равен секансу угла наклона асимптоты к вещественной оси.

Важным частным случаем гиперболы является равносторонняя (равноосная) гипербола – такая гипербола, у которой равны длины вещественной и мнимой полуосей: .

Уравнение этой гиперболы имеет вид:

(3.27).

У равносторонней гиперболы, как нетрудно показать, угол между асимптотами прямой, и .

Для гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но вещественная ось одной служит мнимой осью другой и наоборот, называются сопряженными; асимптоты таких гипербол также совпадают (поскольку совпадают их осевые прямоугольники), но гиперболы располагаются в смежных углах между асимптотами.

Нетрудно видеть, что если уравнением одной из сопряженных гипербол является уравнение (3.21):

,

то уравнение второй будет иметь вид:

,
или (3.28),

поскольку меняются ролями оси Ox и Oy и полуоси гипербол а и b.

Отметим, что расстояние с от центра до фокусов у обеих сопряженных гипербол одно и то же, определяемое формулой (3.24), но эксцентриситеты различные: , ; (если только обе гиперболы не являются равносторонними).

4.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояния которых от заданных на той же плоскости точки (фокуса параболы) и прямой (директрисы параболы) равны между собой.

Пусть точка F – фокус; прямая KL – директриса параболы; М – произвольная точка параболы.

По определению параболы:

(3.29),

где В – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису KL.

Введем обозначение , где – основание перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису; величину , расстояние от фокуса до директрисы, называют параметром параболы.

Для вывода простейшего уравнения параболы оси координат расположим следующим образом: начало коор?