Какие свойства есть у квадрата
Определение.
Квадрат – это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Основные свойства квадрата
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
| AC┴BD | AO = BO = CO = DO = | d | |
| 2 |
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата
Определение.
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
Периметр квадрата
Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.
Формулы определения длины периметра квадрата
1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
P = 4a
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
P = 2Dо√2
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
P = 4Dв
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:
Площадь квадрата
Определение.
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.
Формулы определения площади квадрата
1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
S = Dв2
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение.
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:
Окружность вписанная в квадрата
Определение.
Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.
Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:
Источник
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Дано: – ромб
– диагонали
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.
3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Итак, признаки квадрата:
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .
На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.
На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.
В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .
На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.
Дан квадрат . Докажите, что – ромб.
Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.
Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .
Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .
Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .
Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.
На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .
Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.
7
Источник
Задачи:
- определять и объяснять понятия через
практический показ, используя
наглядность; - учит распознавать геометрические
фигуры с учетом их свойств; - формировать умение находить периметры
геометрических фигур; - формировать прочный вычислительный
навык, умение решать простые и составные
задачи; – продолжить работу по обогащению
словарного запаса, расширению кругозора
учащихся; - способствовать сохранению здоровья
детей через использование динамических
упражнений, смены видов деятельности и
создания психологически- комфортной
среды на уроке.
Оборудование:
- раздаточный материал,
- блокнот обратной связи,
- геометрические фигуры,
- пригласительные билеты,
- магнитофон.
Ход урока
- Организационный момент.
1.
Долгожданный дан звонок
Начинается урок.
Тут затеи и задачи,
Игры, шутки, все для вас!
Пожелаем вам удачи-
За работу в добрый час.
2. Запись числа в тетради.
– Прочитайте число на доске.(1 марта)
– Что мы можем сказать про это число? (однозначное,
нечетное)
– К какому времени года относится месяц
март?
– Сколько времен года вы знаете?
– Назовите весенние месяцы по порядку.
– Сколько их?
– Чем примечателен месяц март? (праздником
8 марта)
– Что это за праздник 8 марта?
– Почему его отмечают? (беседа о празднике 8
марта)
8 Марта во многих странах мира
отмечается Международный Женский день. В 1910
году международная конференция женщин
приняла решение ежегодно отмечать день,
посвященный женщинам. В России эту дату
впервые отметили в 1913 году.
- Этап подготовки к активному усвоению
знаний.
1. Минутка чистописания.
В честь наступающего праздника мы сегодня
на уроке будем прописывать цифру 8 . ( показ
на доске таблицы )
– Что мы можем сказать про цифру 8? ( цифра 8
обозначает число 8)
– Какое оно? (однозначное, четное)
– Назовите предыдущее, последующее число.
– Вспомним состав числа 8.
Самостоятельная работа учащихся.
2. Ребята, сегодня нам прислали пакет
от имени ваших пап. В этом пакете лежат
пригласительные билеты.
(чтение приглашения учителем)
«Дорогие ребята, скоро наступит
праздник мам. Если вы активно будете
работать на уроке, выполнять все задания
правильно, то получите пригласительный
билет на праздник».
Тему урока вы узнаете, если выполните
правильно первое задание.
3. Арифметический диктант.
( У каждого ученика карточка с
ответами)
Поставить точку ручкой около
того числа, которое будет ответом на
поставленный вопрос.
– Назовите наибольшее
однозначное число (9).
– К празднику Защитников
Отечества для учащихся 3-х,
4-х классов были проведены
соревнования. Из 3-х классов участвовало 30
учащихся, а из 4-х 40 учащихся. На сколько
меньше участвовало детей из 3-х классов, чем
из 4-х?(10)
– Сколько получится, если 5 взять
три раза? (15)
– 12 увеличить на 6. (18)
– 35 уменьшить на 10. (25)
– В конкурсе «Русский медвежонок»
участвовало 20 человек из 2б класса и 14
человек из 2в класса. Сколько всего детей из
этих классов участвовало в конкурсе «Русский
медвежонок»? (34)
– Найти сумму чисел 20 и 16. (36)
– Найти разность чисел 70 и 2. (68)
Задание: соединить точки,
начиная с наименьшего числа, заканчивая
наибольшим.
– Какая геометрическая фигура
получилась? (квадрат)
– Тему урока вы назвали вы сами.
Сегодня на уроке мы узнаем,
какая геометрическая фигура называется
квадратом и познакомимся с его свойствами.
Этап усвоения знаний.
1. На доске плакат с
геометрическими фигурами.
– Покажите квадрат.
– Почему вы так думаете? (стороны
равные, углы прямые)
Это свойства квадрата.
– Как по -другому можно назвать квадрат? (прямоугольник,
четырехугольник, многоугольник)
2. Чтение учеником стихотворения про
квадрат.
Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны
Одинаковой длины.
Вам его представить рад
Как зовут его? (квадрат)
3. Чтение правила на стр. 30.
Физминутка:
Вырос высокий цветок на поляне.
Утром весенним раскрыл лепестки.
Всем лепесткам красоту и питание
Дружно дают под землей лепестки.
4. Практическая работа.
На столах у учащихся лежат геометрические
фигуры.
– назовите все геометрические фигуры.
– А теперь докажем, что это квадрат,
прямоугольник.
Возьмем треугольник и при помощи прямого
угла способом наложения докажем, что у
квадрата все углы прямые.
– Измерьте с помощью линейки стороны
квадрата.
– Какие они?
– А как назовем вторую фигуру? (прямоугольник)
– Почему она так называется? (все углы
прямые)
– Давайте убедимся в этом.
– При помощи треугольника измерим все углы.
– Сколько сторон у прямоугольника? (4)
– Как называются стороны, которые лежат
одна против другой? противоположные)
– Покажите их.
– Способом перегибания проверим, что они
равны.
– Теперь сравним квадрат и прямоугольник.
– Чем они похожи? (прямые углы, 4 стороны,
противоположные стороны равны)
– Чем отличаются? ( у квадрата все стороны
равны)
– Можно ли начертить квадрат, зная только
длину одной стороны?
– Почему?
– Начертите в тетради квадрат со стороной 3
см.
-А теперь найдите периметр этого квадрата.
– Вспомните, что называется периметром
геометрической фигуры?
Запись решения. Р=3+3+3+3=12 (см)
– А как по- другому можно найти периметр
квадрата?
Р=3*4=12 (3 взять 4 раза)
Так мы будем находить периметр, когда
начнем изучать действие умножение.
Ребята, а что обычно дарят женщинам в день
8 марта? (Всем женщинам дарят цветы) У нас
сегодня составлен необычный букет,
состоящий из геометрических фигур. Давайте
назовем их. (плакат с букетом на доске.)
- Этап закрепления новых знаний.
– А что еще дарят женщинам на праздник
кроме цветов?
1. Решение задачи.
У каждого ученика на парте лежит текст
задачи.
– Прочитайте задачу про поздравительные
открытки.
« Ребята к празднику делали
поздравительные открытки. Девочки сделали
12 открыток, а мальчики на 8 больше. Сколько
всего открыток сделали дети на праздник?»
– Почему мальчики сделали больше открыток,
чем девочки?
– Прочитайте условие задачи, назовите
вопрос задачи.
– Сделаем краткую запись задачи, а решать
будем по группам.
– первая группа запишет решение
выражением;
-вторая группа запишет решение по
действиям.
Анализ задачи.
– можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
– почему?
– как узнать, сколько открыток сделали
мальчики?
– а теперь можно ответить на вопрос задачи?
– как?
Один ученик решает у доски по действиям.
Проверка первой группы с использованием
блокнотов.
Релаксационная пауза. (магнитофонная
запись)
2. Задание на развитие логического
мышления. (работа по индивидуальным
таблицам)
– Какие фигуры изображены? (квадраты)
В каждом квадрате найти одинаковые фигуры
и отличающиеся от других.
3. Самостоятельная работа.
– Какие весенние цветы чаще всего дарят вы
отгадаете, если решите примеры правильно
| МИМОЗА | |
| 35+23=58 48-15=33 39+21=60 78-44=34 60-13=47 63+36=99 | 33-И 58-М 99-0 34-З 60- М 47- А |
Показ открытки с цветком.
Домашнее задание: составить букет из
своих геометрических фигур.
- Итог урока.
-Что узнали на уроке?
– Что называется квадратом?
Так как вы хорошо поработали на уроке,
выполнили все задания верно, получаете
пригласительные билеты на праздник.
Источник