Какие свойства есть у линейных функций
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Проще всего освоить такой материал на веселых задачках — в детской школе Skysmrt подобрали тысячи интерактивных упражнений разной сложности, чтобы ребенок нагнал упущенное и повысил оценки в школе без давления и суеты.
Приходите на бесплатный вводный урок математики: покажем, как все устроено и вдохновим на учебу.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:
- если х = 0, то у = -2;
- если х = 2, то у = -1;
- если х = 4, то у = 0;
- и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Свойства линейной функции
- Область определения функции — множество всех действительных чисел.
- Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
- График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
- Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
- Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция. - Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
- График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b). - x=-b/k — является нулем функции.
- Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х. - Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.
- При k > 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, -b/k) и положительные значения на промежутке (-b/k, +∞)
При k < 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-b/k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, -b/k). - Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Есть два частных случая линейной функции:
- Если b = 0, то уравнение примет вид «y = kx». Такая функция называется прямой пропорциональностью. График — прямая, которая проходит через начало координат.
- Если k = 0, то уравнение примет вид «y = b». График — прямая, которая параллельна оси Ох и проходит через точку (0; b).
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
- если k > 0, то график наклонен вправо;
- если k < 0, то график наклонен влево.
Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:
- если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
- если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.
Начертим три графика функции: y = 2x + 3, y = 1/2x + 3, y = x + 3.
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = -1/2x + 3, y = -x + 3.
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x – 2.
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
- график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
- график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
- график функции y = 2x – 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:
Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:
На уроках математики в Skysmart ученики рисуют такие графики вместе с учителем на интерактивной онлайн-доске. Преподаватель видит ход мысли ученика и сразу может помочь взглянуть по-другому, если что-то не получается с первого раза. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок и попробуйте сами.
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 * k2 = -1 или k1 = -1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
- С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b). - С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = -b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (-b/k; 0)
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
Как решаем:
- В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10 - Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Как решаем:
- Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство. - Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
- Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x – 2.
Источник
В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида
В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции .
Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:
Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :
На рисунке ниже изображены графики функций ; ;
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; ;
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; ;
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) – начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k=0 , то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0, то график функции проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции параллелен графику функции , если
5. Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции перпендикулярен графику функции , если или
6. Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):
Рассмотрим решение задач.
1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой .
3. Постройте график уравнения
Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя.
Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:
Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :
4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)
Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.
а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид
б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:
, отсюда .
Следовательно, наша функция имеет вид: .
5. Постройте график функции
Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.
Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому , .
Тогда наша функция принимает вид:
То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Источник
Вот дурацкий пример, чтобы понять что такое функция.
Чтобы купить 1 айфон, нужно «развести» родителей на 70 тыс. рублей. (Разводить родителей не хорошо! Не делайте так никогда! ???? )
Количество айфонов, которые ты сможешь купить зависит от того, на сколько денег ты «разведешь» родителей.
Зависимость одной величины от другой математики называют ФУНКЦИЕЙ одной величины от другой.
Количество айфонов — это функция количества денег (иногда говорят «от количества денег).
Вес — это функция от съеденных круассанов. Чем меньше съел, тем меньше весишь.
Расстояние — это функция времени. Чем дольше ты будешь идти, тем больше пройдешь.
Ну а теперь перейдем к одному из видов функций – линейной функции.
Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: айфон – деньги, вес – круассаны, расстояние – время.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»?
Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» – не все можно подставить в зависимость.
Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.
Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.
Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) – любые числа (они называются коэффициентами).
Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.
Как думаешь, почему она называется линейной?
Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).
Какими могут быть значения аргумента линейной функции ( y=kx+b)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:
( Dleft( y right)=mathbb{R})
или ( Dleft( y right)=left( -infty ;+infty right)).
А множество значений?
Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).
Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb{R}), верно?
Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?
Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?
А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!
Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):
( y = kx + b:{rm{ }}left[ begin{array}{l}Eleft( y right) = mathbb{R}{rm{ при }}k ne 0\Eleft( y right) = left{ b right}{rm{ при }}k = 0.end{array} right.)
Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.
1
При увеличении аргумента функции ( y=kx+b) на ( 2), функция увеличилась на ( 4). Найдите коэффициент ( k).
2
При увеличении аргумента функции ( y=kx+b) на ( 1), функция уменьшилась на ( 3). Найдите коэффициент ( k).
3
Дана функция ( y=kx+b). При ( x=3:y=1), а при ( x=5:y=-1). Определите коэффициенты ( k) и ( b) функции.
Пусть начальное значение аргумента равно некому числу ( {{x}_{1}}). После увеличения на ( 2) аргумент стал равен: ( {{x}_{2}}={{x}_{1}}+2).
Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:
( {{y}_{1}}=kcdot {{x}_{1}}+b)
После увеличения: ( {{y}_{2}}=kcdot {{x}_{2}}+b=kleft( {{x}_{1}}+2 right)+b=kcdot {{x}_{1}}+2k+b).
Функция увеличилась на ( 4). Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)?
Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции ( y) вычесть начальное:
( 4={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=left( kcdot {{x}_{1}}+2k+b right)-left( kcdot {{x}_{1}}+b right)=underline{kcdot {{x}_{1}}}+2k+underline{underline{b}}-underline{kcdot {{x}_{1}}}-underline{underline{b}}=2k)
( 4=2ktext{ }Rightarrow text{ }k=2)
Ответ: ( 2).
Аналогично предыдущей задаче:
Начальное значение аргумента равно ( {{x}_{1}}), конечное – ( {{x}_{2}}={{x}_{1}}+1).
Начальное значение функции: ( {{y}_{1}}=k{{x}_{1}}+b);
конечное значение функции: ( {{y}_{2}}=k{{x}_{2}}+b=kleft( {{x}_{1}}+1 right)+b=k{{x}_{1}}+k+b).
В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:
( -3={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=left( kcdot {{x}_{1}}+k+b right)-left( kcdot {{x}_{1}}+b right)=underline{kcdot {{x}_{1}}}+k+underline{underline{b}}-underline{kcdot {{x}_{1}}}-underline{underline{b}}=k)
Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу.
При изменении аргумента линейной функции на ( Delta x) функция изменяется на ( kcdot Delta x). То есть изменение функции всегда ровно в ( mathbf{k}) раз больше изменения аргумента.
По сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.
Подставим известные значения аргумента и функции в формулу ( y=kx+b):
( 1=kcdot 3+b)
( -1=kcdot 5+b)
Получили два уравнения относительно ( k) и ( b). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:
( left{ begin{array}{l}1 = 3k + b\ – 1 = 5k + bend{array} right.)
Вычтем из первого уравнения второе:
( 1-left( -1 right)=3k+b-left( 5k+b right)text{ }Leftrightarrow text{ }2=-2ktext{ }Rightarrow text{ }k=-1)
Подставим найденное значение k в первое уравнение:
( 1=3cdot left( -1 right)+btext{ }Rightarrow text{ }b=4)
Вот и все.
Ответ: ( -1;text{ }4.)
Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).
Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.
То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).
Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).
Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).
Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).
Ставим эти две точки на координатной плоскости:
Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:
Вот и все, график построен!
Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y={x} -1) и ( y=-x+2).
Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.
Должно получиться так:
Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах ( displaystyle k) и ( displaystyle b).
Давай разберемся, на что они влияют.
Чтобы получить полный доступ к этой и другим статьям учебника YouClever, Вам необходимо оплатить курс.
На курсе Вы научитесь решать любые задачи так, чтобы получить
90+ баллов на ЕГЭ
Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).
Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.
Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2):
Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики? Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.
Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf{y}) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf{b})!
И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?
В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).
Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):
( displaystyle y=kcdot 0+b=b)
Теперь по поводу ( displaystyle k). Рассмотрим функцию ( displaystyle left( b=0 right).) Будем менять ( displaystyle k) и смотреть, что происходит с графиком.
Построим графики для ( displaystyle k=-3,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2:)
Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.
Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.
Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k<0) – «влево». А когда ( displaystyle k=0), прямая располагается вдоль оси абсциссс.
Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):
Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.
Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).
Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).
Получается, что ( BC = k cdot AC{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = frac{{BC}}{{AC}} = {mathop{rm tg}nolimits} alpha ).
Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.
Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.
В случае, когда ( k < 0,{mathop{rm tg}nolimits} alpha < 0,) что соответствует тупому углу:
Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.
Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.
1. Найдите коэффициенты ( displaystyle k) и ( displaystyle b) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.
2. Найдите коэффициенты ( displaystyle k) и ( displaystyle b) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.
3. График какой из функций изображен на рисунке?
a) ( y=-2x+3)
b) ( y=2x+3)
c) ( y=3x+2)
d) ( y=-3x+3)
Коэффициент ( b) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью ( displaystyle Oy):
( displaystyle b=-1)
Угловой коэффициент ( displaystyle k) – это тангенс угла наклона прямой.
Для его нахождения выберем две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой ( displaystyle AB):
( k = {mathop{rm tg}nolimits} alpha = frac{{BC}}{{AC}} = frac{2}{1} = 2)
Теперь можно составить уравнение этой прямой:
( y=2{x} -1).
Все аналогично предыдущей задаче.
( b=2)
Поскольку график наклонен «влево», угол между ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.
Чтобы было проще найти тангенс угла наклона ( alpha ), рассмотрим смежный с ним угол ( beta ).
Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:
( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = – {mathop{rm tg}nolimits} beta )
( Delta ABC:{mathop{rm tg}nolimits} beta = frac{{AC}}{{BC}} = frac{3}{1} = 3{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = {mathop{rm tg}nolimits} alpha = – 3)
Уравнение этой прямой выглядит так:
( displaystyle y=-3x+2).
И снова в первую очередь смотрим на ( displaystyle b:b=3). Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d).
Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент?
Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).
Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:
( begin{array}{l}k = {mathop{rm tg}nolimits} alpha = – {mathop{rm tg}nolimits} beta ;\tgbeta = frac{{AC}}{{BC}} = 2{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = – 2end{array})
Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:
( y=-2x+3)
То есть правильный ответ: a.
Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент ( b). А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?
В случае пересечения с осью ( Oy) координата ( x=0). При пересечении оси ( Ox) – аналогично, координата ( y=0):
( 0=kx+b)
Да это же простое линейное уравнение!
И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента ( x) функция ( y=0), то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.
Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения.
Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью ( Ox).
Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».