Какие свойства есть у прямоугольного треугольника
Урок геометрии в 7 классе по теме: «Некоторые свойства прямоугольного треугольника»
Цели урока:
Обучающие:
дать возможность учащимся самостоятельно приобрести знания о свойствах прямоугольного треугольника;
сформировать умения применять данные знания при решении задач.
Развивающие:
продолжить работу над развитием воображения, логического мышления учащихся;
продолжить работу над развитием умения сравнивать, обобщать, выделять главное, существенное;
Воспитательные:
продолжить работу над воспитанием ответственного отношения к учебе;
умение работать творчески, слушать учителя, оценивать себя;
воспитание гражданско-нравственного мировоззрения
Приёмы ТРКМ: ребус; корзина идей; верные, неверные утверждения; инсерт; кластер; создание викторины, кроссворд.
Оборудование: учебник, мультимедиа проектор, карточки с заданиями для работы.
Ход урока:
1. Оргмомент.
Здравствуйте ребята!
Сегодня на нашем уроке присутствуют гости.
На меня все посмотрели, и тихонечко присели.
Все ли готовы к уроку?
За окном весна, а так хочется лета. Пусть эти маленькие бабочки напоминают вам о лете. (презентация, слайд 1.)
Выберите одну и посадите ее на свою ладонь, а я вам в это время расскажу одну легенду:
Жил мудрец на свете, который знал всё. Но один его ученик захотел доказать обратное. Что он сделал? Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мёртвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее омертвлю, скажет мёртвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил:
…
– Как вы считаете, что ответил мудрец? ( выслушать ответы детей)
– А мудрец ответил: «Все в ваших руках». Вот эти слова я предлагаю вам взять девизом нашего урока.
Кто-то сегодня будет доволен, что сумел решить сам или с помощью одноклассников смешную или трудную задачу; кто-то тем, что он узнал что-то новое; а кто-то тем, что ему повезло, и не пришлось думать над задачей.
Перед вами листок настроения.
Вы моё настроение видите, оно зависит от вас, от ваших знаний. А какое ваше настроение? Покажите его, закрасив синим карандашом то личико, которое соответствует вашему настроению к началу урока.
2.Постановка темы и цели урока. Мотивация к учебной деятельности.
Откроем тетради, запишем сегодняшнюю дату, но тему пока записывать не будем.
У вас на партах находятся листы самооценивания, после каждого этапа урока мы будем к ним возвращаться и выставлять баллы за активную работу. Кто будет хорошо работать на уроке тот получит хорошие оценки. Подпишите их.
Лист самооценивания ФИ________________________
Задание №1.
Задание №2.
Задание №3.
Задание №4.
Задание №5.
Определи цель урока
Теоретический материал
Работа в парах
(математич.
диктант)
Работа в группах
Самостоятельная работа
12-11 балов –«5»
От 8до 10 балов –«4»; От 6 до 7 –«3»
Чтобы узнать тему урока, я предлагаю вам обратится к слайду2.
Решите ребус: 
– Вам знакома данная фигура?
Какая фигура называется треугольником?(составим кластер по теме «Треугольник»
1) По каким элементам классифицируем треугольники? ( по сторонам, по углам)
2) Какие существуют виды треугольников по сторонам? ( разносторонние, равнобедренные, равносторонние)
3) На какие виды делятся треугольники по углам? ( остроугольные, тупоугольные, прямоугольные).
4) Свойства каких из перечисленных треугольников мы изучали? (остроугольных, равнобедренных, равносторонних).
5) О свойствах каких треугольников мы знаем меньше всего?
6) Как вы думаете, что мы сегодня будем изучать на уроке?
Главный вопрос урока:
А прямоугольный треугольник обладает какими-то свойствами?
– Сформулируйте тему нашего урока. (Свойства прямоугольных треугольников)
–Можем ли мы на одном уроке изучить все свойства прямоугольных треугольников? (Нет)
Значит тема урока: Некоторые свойства прямоугольных треугольников.
– Прямоугольные треугольники изучаются очень давно и обладают удивительными свойствами. Некоторые из них мы рассмотрим сегодня на уроке.
– Откройте тетради, запишите тему урока.
9) Какие перед нами стоят цели?
(выявить свойства прямоугольных треугольников, доказать их, научиться применять их на практике при решении задач).
Кто цель сформулировал, поставьте, пожалуйста, в Лист самооценивания за первое задание по 1 баллу .
3.Актуализация опорных знаний.
– Сегодня у нас урок открытия новых знаний. Но для того, чтобы узнавать что-то новое, нам необходимо вспомнить тот материал, с которым мы уже знакомы.
– Какую большую главу по геометрии вы начали изучать?
– Давайте вспомним материал по теме «Треугольник. Виды треугольников».
Предлагаю его повторить. Итак, первое задание –Графический диктант:
А теперь поменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте свою работу.
Следующее задание: решаем задачи по готовым чертежам.
В тетради в столбик поставьте цифры от 1 до 5 и напишите ответ к задаче (слайд).
Время выполнения работы 2 минуты.
Учащиеся обмениваются тетрадями. Проверка:
-Завершили выполнение работы, проверяем!
(Фронтальный опрос класса)
– Какой ответ получили в задаче, поясните почему?
Ребята, оцените свою работу по следующим критериям (слайд №15).
Оценивание работы:
“5” –5 верных ответов,
“4” – 4 верных ответа,
“3” – 3 верных ответа.
Не забудьте проставить себе баллы в лист самооценки!
4. Открытие нового материала.
– А теперь давайте вспомним все, что вы знаете о прямоугольном треугольнике? Давайте все ваши мнения соберем в «корзину идей»(слайды 16-20).
1) Какой треугольник называется прямоугольным?
2) Как называются стороны прямоугольного треугольника?
3) Что такое гипотенуза и катеты?
А сейчас давайте попробуем выяснить, какими свойствами обладает прямоугольный треугольник.
Учащиеся разделены на 5 групп. Группы получают карточки с готовыми чертежами и соответствующими вопросами на выбор для исследования.
Вопрос №1: Чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?
Вопрос №2: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов равен 30 градусов?
Вопрос №3: Какая особенность у прямоугольных треугольников, в которых один из катетов равен половине гипотенузы?
Задание для исследования 1 группе.
Сделайте вывод о сумме острых углов прямоугольного треугольника.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ________________
Задание для исследования 2 группе.
Измерьте катет напротив угла в 30⁰ и гипотенузу, заполните таблицу.
Сделайте вывод: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов 30⁰?
В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 ⁰лежит_________ ______________________
Задание для исследования 3 группе.
Измерьте угол против катета, который в 2 раза меньше гипотенузы. Заполните таблицу.
Сделайте вывод: Какая особенность у острого угла прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине гипотенузы?
В прямоугольном треугольнике против катета равного половине гипотенузы лежит _______________________________
Задание для исследования 4 группе:
Сделайте вывод:
Какая взаимосвязь между гипотенузой и медианой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла?
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна________ ______________________
После того, как учащиеся приходят к какому-то выводу, представитель каждой группы выдвигает свою гипотезу.
Предполагаемые гипотезы:
Группа 1: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90.
Группа 2: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.
Группа 3: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30.
Группа 4: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
– ВНИМАНИЕ, ребята!!!
Гипотеза – это всего лишь предположение, которое просто необходимо доказать!
На доске (заранее на обратной стороне) чертежи свойств с «дано» и «доказать». По одному представителю от каждой группы доказывают открытое ими свойство.
5. Физминутка «Звездочет»( электронная физминутка для глаз)
6. Первичное применение свойств прямоугольного треугольника.
После доказательства свойств прямоугольного треугольника учащимся предлагаются задачи на готовых чертежах (слайды). Задачи решаются устно, быстро.
Один ученик у доски, остальные в тетради:
Задача № 257, стр. 81 (если позволит время).
Дано:
ΔАВС.
∠ С = 90⁰,
∠ ВАD = 120⁰,
AС + АВ = 18 см
Найти: АС, АВ.
Решение:
∠ВАD = 120⁰ = > ∠В = 30⁰
АС = ½ АВ (по свойству катета, лежащего против угла в 30⁰)
Если АС = х см, то АВ = 2х см, тогда, учитывая условие, х + 2х = 18, х = 6, т.е. АС = 6 см, АВ = 12 см
Ответ: АВ=12см, АС=6 см
Задача (слайд 42)
Ответ: 10см
7. Тест с взаимопроверкой в парах и самооценкой (слайд 47)
Ответы записывают на листочках. Затем проверяют по образцу с помощью компьютера (работа в парах) и сами ставят себе оценку.
Критерии:
«3» – четыре верных ответа.
«4» – пять верных ответов.
«5» – шесть-семь верных ответов.
8. Подведение итогов. Домашнее задание (слайд презентации).
Выбрать задание одного из уровней:
Пункт 34: выучить все свойства и доказательство любых двух, № 255.
Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство, № 258.
Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство, № 260.
Творческое задание ( по желанию): придумать и решить задачу на применение всех четырех свойств прямоугольного треугольника.
9. Рефлексия.
– Какие цели мы ставили?
-Достигли ли мы их?
– До сегодняшнего дня мы не знали свойств прямоугольных треугольников, а сегодня вы сами исследовали их, выдвинули гипотезы и доказали. Оцените, насколько хорошо вы справились с поставленной задачей.
– Как вы оцените свою работу на уроке, к какому уровню себя отнесете? (презентация): И не забудьте выразить свое настроение к концу нашего урока:
Источник
Цели:
Образовательные:
- Исследовать и доказать свойства прямоугольного треугольника.
- Формировать умения и навыки применять их к решению задач.
Развивающие:
- Развивать познавательную активность, творческие способности и интерес к предмету.
- Развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать, обобщать, решать проблемные ситуации, делать выводы.
Воспитательные:
- Учить прислушиваться к мнению своих товарищей.
- Развивать умения работать в группах.
Оборудование: Компьютерный класс, презентация, карточки с готовыми чертежами, презентация, контрольный тест в виде презентации на два варианта, карточки с заданиями теста (если нет компьютерного класса).
Тип занятия: урок доказательства теоремы.
Ход урока
1. Подготовительный этап (Актуализация знаний)
Цель: повторить теорему о сумме углов треугольника, определение и свойства внешнего угла треугольника, виды треугольников по углам и по сторонам, элементы прямоугольного треугольника
– Какие темы мы изучали на последних уроках? (сумма углов треугольника, неравенство треугольника, внешний угол треугольника)
– Какая фигура называется треугольником?
– По каким элементам мы классифицировали треугольников? (по сторонам, по углам)
– Какие существуют виды треугольников по сторонам? (разносторонние, равнобедренные, равносторонние)
– На какие виды делятся треугольники по углам? (остроугольные, тупоугольные, прямоугольные)
Учитель фиксирует на доске названные виды треугольников в два столбика с помощью табличек и магнитов.
– Свойства каких из перечисленных треугольников мы уже изучали? (остроугольных, равнобедренных, равносторонних)
Учитель фиксирует на доске названные виды с помощью магнитов другого цвета.
– О свойствах каких треугольников мы знаем меньше всего? (прямоугольных)
– Как вы думаете, что мы сегодня будем изучать на уроке?
Сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока. (Свойства прямоугольных треугольников)
Можем ли мы на одном уроке изучить все свойства прямоугольных треугольников? (Нет)
Значит тема ……. Некоторые …..
– Молодцы. Откройте тетради. Запишите дату и тему урока.
– Какие перед нами стоят цели?
(выявить свойства прямоугольных треугольников, доказать их, научиться применять их на практике при решении задач).
УСТНО:
1) Какой треугольник называется прямоугольным?
2) Как называются стороны прямоугольного треугольника?
3) Что такое гипотенуза и катеты?
2. Мотивационный этап
Цель: Побуждение интереса к изучению теоремы об угле 30 градусов в прямоугольном треугольнике, подведение обучающихся к раскрытию содержания теоремы. Прием – лабораторная работа.
Учащиеся разделены на 5 групп. Группы получают карточки с готовыми чертежами и соответствующими вопросами на выбор для исследования.
Вопрос №1: Чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?
Вопрос №2: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов равен 30 градусов?
Вопрос №3: Какая особенность у прямоугольных треугольников, в которых один из катетов равен половине гипотенузы?
Задание для исследования 1 группе
По рисунку найдите неизвестные углы, заполните таблицу.
№ | Углы | ||||
С | А | В | А + В | ||
1 | 30⁰ | → | |||
2 | 50⁰ | → | |||
3 | 25⁰ | → | |||
4 | 45⁰ | → | |||
Сделайте вывод о сумме острых углов прямоугольного треугольника.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ________________
Задание для исследования 2 группе
Измерьте катет напротив угла в 30⁰ и гипотенузу, заполните таблицу.
№ | С | А | ВС | АВ |
1 | ||||
2 |
Сделайте вывод: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов 30⁰?
В прямоугольном треугольнике напротив угла в 300 лежит ______________________
Задание для исследования 3 группе
Измерьте угол против катета, который в 2 раза меньше гипотенузы. Заполните таблицу.
№ | С | ВС (мм) | АВ (мм) | Ð А |
1 | → | |||
2 | → |
Сделайте вывод: Какая особенность у острого угла прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине гипотенузы?
В прямоугольном треугольнике против катета равного половине гипотенузы лежит _______________________________
После того, как учащиеся приходят к какому-то выводу, представитель каждой группы выдвигает свою гипотезу.
Предполагаемые гипотезы:
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300,
равен половине гипотенузы.
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы,
то угол, лежащий против этого катета, равен 300.
– ВНИМАНИЕ, ребята!!!
Гипотеза – это всего лишь предположение, которое просто необходимо доказать!
На доске (заранее на обратной стороне) чертежи свойств с «дано» и «доказать».
3. Ориентировочный этап
Цель: ввести формулировки теорем и организовать работу по усвоению теорем о свойствах прямоугольного треугольника.
Метод – частично-поисковый.
Теорема: Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Дано:
∆ ABC,
∠C=90º,
∠A=30º.
Доказать:
BC = ½ AB
Доказательство:
I способ
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠B = 90º – ∠A=90º – 30º = 60º.
Проведем из вершины прямого угла медиану CF.
Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то CF = ½AB,
то есть, CF = AF = BF.
Так как BF=CF, то треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.
Следовательно, у него углы при основании равны:
∠B=∠BCF=60º.
Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC
∠BFC =180º – (∠B+∠BCF) = 60º.
Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.
Значит, все его стороны равны и BC = CF = BF = ½ AB.
Что и требовалось доказать.
II способ
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠B=90º–∠A=90º–30º=60º.
Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.
В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º (по построению).
Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.
Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:
∠BAD =∠D =∠B = 60º.
Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.
BC=DC (по построению), поэтому BC = ½ BD = ½ AB.
Что и требовалось доказать.
Попробуйте доказать теорему любым их двух способов.
Катет __________________________ треугольника, лежащий против угла в ____0, равен ______________________ гипотенузы.
Дано:
Δ АВС
∠С = 90º
∠В = 30º
Доказать: АС = ½ АВ
Доказательство:
4. Первичное применение теоремы
После доказательства свойствпрямоугольного треугольника учащимся предлагаются задачи на готовых чертежах (слайды). Задачи решаются устно, быстро.
Один ученик у доски, остальные в тетради.
Задача № 257, стр. 81 (если позволит время).
Дано:
ΔАВС.
∠ С = 90⁰,
∠ ВАD = 120⁰,
AС + АВ = 18 см
Найти: АС, АВ.
Решение: ∠ВАD = 120⁰ = > ∠В = 30⁰
АС = ½ АВ (по свойству катета, лежащего против угла в 30⁰)
Если АС = х см, то АВ = 2х см, тогда, учитывая условие, х + 2х = 18, х = 6, т.е. АС = 6 см, АВ = 12 см
5. Тест с взаимопроверкой в парах и самооценкой (см. приложения)
Ответы записывают на листочках. Затем проверяют по образцу с помощью компьютера (работа в парах) и сами ставят себе оценку.
Критерии:
- «3» – четыре верных ответа.
- «4» – пять верных ответов.
- «5» – шесть-семь верных ответов.
6. Подведение итогов. Домашнее задание (слайд презентации).
Выбрать задание одного из уровней:
Провести доказательство гипотезы 2 и 3 дома самостоятельно и внести их на шаблоны.
В _______________________ треугольнике сумма ____________
равна ____________ .
Дано:
Δ АВС
∠С = 90⁰
Доказать: ∠А + ∠В = 90⁰
Доказательство:
Если катет _____________ треугольника равен ___________ гипотенузы, то угол лежащий против этого катета, равен _____.
Дано:
Δ АВС
∠С = 90⁰
АС = ½ АВ
Доказать: ∠В = 30⁰
Доказательство:
- Пункт 34: выучить все свойства и доказательство любых двух. № 255.
- Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство. № 258
- Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство. № 260
Творческое задание (по желанию): придумать и решить задачу на применение всех трех свойств прямоугольного треугольника.
8. Рефлексия.
До сегодняшнего дня мы не знали свойств прямоугольных треугольников, а сегодня вы сами исследовали их, выдвинули гипотезу и доказали.
Оцените насколько хорошо вы справились с поставленной задачей
Как вы оцените свою работу на уроке, к какому уровню себя отнесете? (презентация):
- Я всё понял и могу доказать все свойства.
- Я всё понял и могу доказать некоторые свойства.
- Для полного понимания мне необходимо повторить тему дома.
- Я ничего не понял.
Источник