Какие свойства имеет пар
Параллелепи́пед др.-греч. παραλληλ-επίπεδον[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, основанием которой служит параллелограмм, или, что равносильно, многогранник, у которого шесть граней, каждая из которых — параллелограмм.
Типы параллелепипеда[править | править код]
Прямоугольный параллелепипед
Различается несколько типов параллелепипедов:
- Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
- Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
- Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
- Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
- Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами.
Основные элементы[править | править код]
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства[править | править код]
- Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
- Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Основные формулы[править | править код]
Прямой параллелепипед[править | править код]
Площадь боковой поверхности
Sб=Ро*h, где Ро — периметр основания, h — высота
Площадь полной поверхности
Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания
Объём
V=Sо*h
Прямоугольный параллелепипед[править | править код]
Площадь боковой поверхности
Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
Площадь полной поверхности
Sп=2(ab+bc+ac)
Объём
V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Куб[править | править код]
Площадь поверхности:
Объём: , где — ребро куба.
Произвольный параллелепипед[править | править код]
Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[2]:215.
В математическом анализе[править | править код]
В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида
Сечение параллелепипеда плоскостью[править | править код]
В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.
Примечания[править | править код]
Ссылки[править | править код]
- Прямоугольный параллелепипед
Источник
Что такое параллелепипед?
Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»?
Что за многогранник скрывается за этим словом?
Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?
Так и есть. Читай статью и ты все поймешь!
Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.
Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.
Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?
Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.
Смотри, запоминай и не путай!
Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.
Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.
- Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
- Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, асмежные.
- Боковые ребра параллелепипеда равны.
- Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.
Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
Вот так:
У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.
Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Это такая обувная коробка:
У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.
Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.
( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).
Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.
Смотри:
( displaystyle Delta BAD) – прямоугольный, поэтому
( displaystyle B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}})
( displaystyle Delta BD{{D}_{1}}) – тоже прямоугольный!
Поэтому
( displaystyle B{{D}_{1}}^{2}=B{{D}^{2}}+D{{D}_{1}}^{2}),
Подставим:
( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})
Вывели формулу.
Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.
Все ребра куба равны.
Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.
Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.
( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}),
То есть
( displaystyle d=asqrt{3})
Давай убедимся в пользе этой формулы.
Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна ( displaystyle 5sqrt{3}). Найти полную поверхность».
Решим ее.
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
Пользуясь нашей формулой: ( displaystyle d=asqrt{3}), мы узнали, что ( displaystyle 5sqrt{3}=asqrt{3} ), то есть ( displaystyle a=5).
Значит полная поверхность – шесть площадей квадратов со стороной ( displaystyle a) -равна:
( displaystyle S=6cdot {{a}^{2}}=6cdot 25=150).
Видишь, как быстро? И ты применяй!
Определения:
Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с ( displaystyle 6) гранями), все грани которой — параллелограммы.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого ( displaystyle 4) боковые грани — прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.
Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.
Свойства:
- Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
- Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений.
( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).
P.S. Последний бесценный совет ????
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.
Почему?
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
Набить руку, решая задачи.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.
Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.
А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.
После регистрации ты сможешь:
- проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
- подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
- понять тему с помощью статей учебника YouClever;
- набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
- сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.
Бонус: информатика и физика.
И в заключение…
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Время услышать тебя!
Теперь ты знаешь все про параллелепипед и куб. Ты воспользуешься этим в решении многих задач стереометрии!
Считай, ты помог себе из будущего ????
А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши в комментариях ниже свое мнение об этой статье!
Помогла ли она тебе? Все ли было понятно?
А еще ты можешь задать любой вопрос. Мы ответим!
Успехов!
Источник
Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.
В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:
- прямой;
- наклонный;
- прямоугольный.
Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.
Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.
Свойства параллелепипеда
Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:
- Противолежащие ребра и грани фигуры параллельны и равны между собой.
- Углы сонаправленных сторон равны между собой. На фотографии ниже представлено графическое изображение сонапрвленных лучей OA и O1А1. Прямая рассекает пространство на две плоскости. Если лучи расположены в одной полуплоскости и параллельны друг другу, то их называют сонаправленными.
- 4 главные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке внутри фигуры. Любой отрезок, проведенный между двумя плоскостями граней, через данную точку будет поделен ею пополам. Следствием данного свойства можно сформулировать следующим образом: плоскости, в которых лежат главные диагонали параллелепипеда, симметрично делят геометрическое тело.
- Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов ее измерений.
Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.
Формулы параллелепипеда
Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.
Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.
Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.
Примеры решения типовых заданий ЕГЭ
Задание 1.
Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.
Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:
После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.
Задание 2.
Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.
Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.
Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.
Похожие статьи
Источник
Ïàðàëëåëåïèïåä — ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàìì ëèáî (ðàâíîñèëüíî) ìíîãîãðàííèê ñ øåñòüþ ãðàíÿìè, ÿâëÿþùèìèñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Øåñòèãðàííèê.
Ïàðàëëåëîãðàììû, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ïàðàëëåëåïèïåä ÿâëÿþòñÿ ãðàíÿìè ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ñòîðîíû ýòèõ ïàðàëëåëîãðàììîâ ÿâëÿþòñÿ ðåáðàìè ïàðàëëåëåïèïåäà, à âåðøèíû ïàðàëëåëîãðàììîâ — âåðøèíàìè ïàðàëëåëåïèïåäà. Ó ïàðàëëåëåïèïåäà êàæäàÿ ãðàíü ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì.
Êàê ïðàâèëî âûäåëÿþò ëþáûå 2-å ïðîòèâîëåæàùèå ãðàíè è íàçûâàþò èõ îñíîâàíèÿìè ïàðàëëåëåïèïåäà, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè — áîêîâûìè ãðàíÿìè ïàðàëëåëåïèïåäà. Ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò îñíîâàíèÿì ÿâëÿþòñÿ áîêîâûìè ðåáðàìè.
2 ãðàíè ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûå èìåþò îáùåå ðåáðî ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè, à òå, êîòîðûå íå èìåþò îáùèõ ðåáåð — ïðîòèâîïîëîæíûìè.
Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2 âåðøèíû, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò 1-îé ãðàíè ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëåïèïåäà.
Äëèíû ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûå íå ïàðàëëåëüíû, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ðàçìåðàìè (èçìåðåíèÿìè) ïàðàëëåëåïèïåäà. Ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 3 ëèíåéíûõ ðàçìåðà.
Òèïû ïàðàëëåëåïèïåäà.
Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âèäîâ ïàðàëëåëåïèïåäîâ:
Ïðÿìûì ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåä ñ ðåáðîì, ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ.
Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä ñ ïðÿìîóãîëüíèêîì â îñíîâàíèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì. Ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà êàæäàÿ èç ãðàíåé ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Íàêëîííûé ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî áîêîâûå ãðàíè ðàñïîëîæåíû, ïî îòíîøåíèþ ê îñíîâàíèÿì, ïîä óãëîì, íå ðàâíûì 90 ãðàäóñîâ.
Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî âñå 3 èçìåðåíèÿ èìåþò ðàâíóþ âåëè÷èíó, ÿâëÿåòñÿ êóáîì. Êàæäàÿ èç ãðàíåé êóáà – ýòî ðàâíûå êâàäðàòû.
Ïðîèçâîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Îáú¸ì è ñîîòíîøåíèÿ â íàêëîííîì ïàðàëëåëåïèïåäå â îñíîâíîì îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ïîìîùè âåêòîðíîé àëãåáðû. Îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíÿåòñÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ 3-õ âåêòîðîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ 3-ìÿ ñòîðîíàìè ïàðàëëåëåïèïåäà (êîòîðûå èñõîäÿò èç îäíîé âåðøèíû). Ñîîòíîøåíèå ìåæäó äëèíàìè ñòîðîí ïàðàëëåëåïèïåäà è óãëàìè ìåæäó íèìè ïîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå, ÷òî îïðåäåëèòåëü Ãðàìà äàííûõ 3-õ âåêòîðîâ ðàâíÿåòñÿ êâàäðàòó èõ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Ñâîéñòâà ïàðàëëåëåïèïåäà.
- Ïàðàëëåëåïèïåä ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ñåðåäèíû åãî äèàãîíàëè.
- Âñÿêèé îòðåçîê ñ êîíöàìè, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà è êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó åãî äèàãîíàëè, äåëèòñÿ åþ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Âñå äèàãîíàëè ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðåñåêàþòñÿ â 1-îé òî÷êå è äåëÿòñÿ åþ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè.
- Ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ïàðàëëåëåïèïåäà ïàðàëëåëüíû è èìåþò ðàâíûå ðàçìåðû.
- Êâàäðàò äëèíû äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíÿåòñÿ ñóììå êâàäðàòîâ 3-õ åãî èçìåðåíèé.
 ïàðàëëåëåïèïåä âïèñûâàþò òåòðàýäð. Îáúåì ýòîãî òåòðàýäðà áóäåò ðàâíÿòüñÿ òðåòüåé ÷àñòè îáúåìà ïàðàëëåëåïèïåäà.
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû – ïèðàìèäà, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, óãëû, øàð, ïàðàëëåëîãðàìì, ïàðàëëåëåïèïåä, ïðèçìà, ñâîéñòâà, ôîðìóëû ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû. | |
| Ïðèçìà ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû. | |
Источник