Какие свойства используют для решения уравнения

50. Свойства равенств, на которых основывается решение уравнений. Возьмем какое-нибудь уравнение, не очень сложное, например:

7x – 24 = 15 – 3x

или

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

Мы видим в каждом уравнении знак равенства: все то, что написано слева от знака равенства, называется левою или первою частью уравнения (в первом уравнении 7x – 24 является левою или первою частью, а во втором x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 есть первая, или левая, часть); все то, что написано справа от знака равенства, называется правою или второю частью уравнения (15 – 3x есть правая часть первого уравнения, 1 является правою, или вторю, частью 2-го уравнения).

Каждая часть любого уравнения выражает собою некоторое число. Числа, выражаемые левою и правою частью уравнения, должны быть равны между собою. Нам ясно: если мы к каждому из этих чисел прибавим по одинаковому числу, либо вычтем из них по одинаковому числу, либо каждое из них умножим на одинаковое число, либо, наконец, разделим на одно и то же число, то результаты этих действий должны также быть равными между собою. Другими словами: если a = b, то a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc и a/c = b/c. По поводу деления следует, однако, иметь в виду, что в арифметике не имеется деления на нуль — мы не умеем, например, число 5 разделить на нуль. Поэтому в равенстве a/c = b/c число c не может быть равным нулю.

Итак:

К обеим частям уравнения можно прибавить или из них вычесть по одинаковому числу.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, исключая случай, когда это число может оказаться равным нулю.

Пользуясь этими свойствами уравнения, мы можем найти удобный способ решать уравнения. Выясним этот случай на примерах.

Пример 1. Пусть надо решить уравнение

5x – 7 = 4x + 15.

Мы видим, что первая часть уравнения содержит два члена; один из них 5x, содержащий неизвестный множитель x, можно назвать неизвестным членом, а другой –7 – известным. Во второй части уравнения также 2 члена: неизвестный 4x и известный +15. Сделаем так, чтобы в левой части уравнения оказались только неизвестные члены (а известный член –7 уничтожился бы), а в правой части оказались бы только известные члены (а неизвестный член +4x уничтожился бы). Для этой цели прибавим к обеим частям уравнения одинаковые числа: 1) прибавим по +7 (чтобы уничтожился член –7) и 2) прибавим по –4x (чтобы уничтожился член +4x). Тогда получим:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

Сделав в каждой части уравнения приведение подобных членов, получим

x = 22.

Это равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число 22.

Пример 2. Решить уравнение:

8x + 11 = 7 – 4x

Опять прибавим к обеим частям уравнения по –11 и по +4x, получим:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

Выполнив приведение подобных членов, получим:

12x = –4

Разделим теперь обе части уравнения на +12, получим:

x = –4/12 или x = –1/3

(первую часть уравнения 12x разделить на 12 – получим 12x/12 или просто x; вторую часть уравнения –4 разделить на +12 – получим –4/12 или –1/3).

Последнее равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число –1/3.

Пример 3. Решить уравнением

x – 23 = 3 · (2x – 3)

Раскроем сначала скобки, получим:
x – 23 = 6x – 9

Прибавим к обеим частям уравнения по +23 и по –6x, – получим:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Теперь, для того, чтобы впоследствии ускорить процесс решения уравнения, не будем сразу выполнять приведение всех подобных членов, а только заметим, что члены –23 и +23 в левой части уравнения взаимно уничтожаются, также члены +6x и –6x в первой части взаимно уничтожаются – получим:

x – 6x = –9 + 23.

Сравним это уравнение с начальным: вначале было уравнение:

x – 23 = 6x – 9

Теперь получили уравнение:

x – 6x = –9 + 23.

Мы видим, что в конце концов оказалось, что член –23, находившийся сначала в левой части уравнения, теперь как бы перешел в правую часть уравнения, причем у него переменился знак (в левой части начального уравнения был член –23, теперь его там нет, но зато в правой части уравнения имеется член + 23, которого там раньше не было). Так же точно в правой части уравнения был член +6x, теперь его там нет, но появился зато в левой части уравнения член –6x, которого раньше там не было. Рассматривая с этой точки зрения примеры 1 и 2, мы придем к общему заключению:

Можно любой член уравнения перенести из одной части в другую, меняя знак у этого члена (в дальнейших примерах мы будем этим пользоваться).

Итак, возвращаясь к нашему примеру, мы получили уравнение

x – 6x = –9 + 23

Выполним приведение подобных членов:

–5x = +14

Разделим обе части уравнения на –5. Тогда получим:

x = –2(4/5)

[–5x : (–5) получим x] – это и есть решение нашего уравнения.

Пример 4. Решить уравнение:

Сделаем так, чтобы в уравнении не было дробей. Для этой цели найдем общего знаменателя для наших дробей – общим знаменателем служит число 24 – и умножим на него обе части нашего уравнения (можно, ведь, чтобы равенство не нарушалось, умножить на одно и то же число только обе части уравнения). В первой части 3 члена, причем каждый член является дробью — надо, следовательно, каждую дробь умножить на 24: вторая часть уравнения есть 0, а нуль умножить на 24 — получим нуль. Итак,

Мы видим, что каждая из наших трех дробей, благодаря тому, что она умножена на общее наименьшее кратное знаменателей этих дробей, сократится и сделается целым выражением, а именно получим:

(3x – 8) · 4 – (2x – 1) · 6 + (x – 7) · 3 = 0

Конечно, желательно все это выполнить в уме: надо вообразить, что, например, числитель первой дроби заключается в скобки и умножается на 24, после чего воображение поможет нам увидеть сокращение это дроби (на 6) и конечный результат, т. е. (3x – 8) · 4. Тоже имеет место и для остальных дробей. Раскроем теперь в полученном уравнении (в его левой части) скобки:

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(обратим внимание, что здесь понадобилось двучлен 2x – 1 умножить на 6 и полученное произведение 12x – 6 вычесть из предыдущего, благодаря чему знаки членов этого произведения должны перемениться — выше и написано –12x + 6). Перенесем известные члены (т. е. –32, +6 и –21) из левой части уравнения в его правую часть, причем (как мы уже знаем) знаки этих членов должны перемениться — получим:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21.

Выполним приведение подобных членов:

3x = 47

(при навыке должно сразу выполняться и перенесение нужных членов из одной части уравнения в другую и приведение подобных членов), разделим, наконец, обе части уравнения на 3 — получим:

x = 15(2/3) — это и есть решение уравнения.

Пример 5. Решить уравнение:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Здесь две дроби, и их общий знаменатель равен 35. Умножим, чтобы освободить уравнение от дробей, обе части уравнения на общего знаменателя 35. В каждой части нашего уравнения 2 члена. При умножении каждой части на 35 должно каждый член умножить на 35 — получим:

Дроби сократятся — получим:

175 – (3x + 1) · 5 = 35x + (2x – 3) · 7

(конечно, можно было бы при навыке написать сразу это уравнение).

Выполним все действия:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21.

Перенесем все неизвестные члены из правой части (т. е. члены +35x и +14x) в левую, а все известные члены из левой части (т. е. члены +175 и –5) в правую — следует при этом не забывать у переносимых членов менять знак:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(член –15x, как раньше был в левой части, так и теперь в ней остался — у него поэтому отнюдь не следует менять знака; аналогичное имеет место и для члена –21). Сделав приведение подобных членов, получим:

–64x = –191.

[Возможно сделать так, чтобы не было знака минус в обеих частях уравнения; для этого умножим обе части уравнения на (–1), получим 64x = 191, но этого можно и не делать.]
Разделим затем обе части уравнения на (–64), получим решение нашего уравнения

x = 2(63/64)

[Если умножили обе части уравнения на (–1) и получили уравнение 64x = 191, то теперь надо обе части уравнения разделить на 64.]

На основании того, что пришлось выполнять в примерах 4 и 5, мы можем установить: можно освободить уравнение от дробей — для этого надо найти общего знаменателя для всех дробей, входящих в уравнение (или наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей) и на него умножить обе части уравнения — тогда дроби должны исчезнуть.

Пример 6. Решить уравнение:

5x = 4x.

Перенеся член 4x из правой части уравнения в левую, получим:

5x – 4x = 0 или x = 0.

Итак, решение найдено: для x надо взять число нуль. Если мы заменим в данном уравнении x нулем, получим 5 · 0 = 4 · 0 или 0 = 0, что указывает на выполнение требования, выражаемого данным уравнением: найти такое число для x, чтобы одночлен 5x оказался равен тому же самому числу, как и одночлен 4x.

Если кто-либо подметит с самого начала, что обе части уравнения 5x = 4x можно разделить на x и выполнит это деление, то получится явная несообразность 5 = 4! Причиною этого является то обстоятельство, что деление 5x/x в данном случае выполнить нельзя, так как, мы видели выше, вопрос, выражаемый нашим уравнением, требует, чтобы x = 0, а деление на нуль не выполнимо.

Заметим еще, что и умножение на нуль требует некоторой внимательности: умножая на нуль и два неравных числа, мы получим в результате этих умножений равные произведения, а именно — нули.

Если, например, мы имеем уравнение

x – 3 = 7 – x (его решение: x = 5)

и если кто-либо захочет к нему применить свойство «обе части уравнения можно умножить на одно и тоже число» и умножить обе части на x, то получит:

x2 – 3x = 7x – x2.

После этого может обратить на себя внимание, что все члены уравнения содержат множителя x, из чего можно сделать заключение, что для решения этого уравнения можно взять число нуль, т. е. положить x = 0. И в самом деле, тогда получим:
02 – 3 · 0 = 7 · 0 – 02 или 0 = 0.

Однако, это решение x = 0, очевидно, не годится для данного уравнения x – 3 = 7 – x; заменяя в нем x нулем, получим явную несообразность: 3 = 7!

Источник

Оборудование: компьютер, мультимедийный
проектор, экран, презентация “Использование
свойств функций при решении уравнений и
неравенств”, доска, мел, раздаточный материал
для работы на уроке и домашним заданием.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Организационный этап.
Здравствуйте, рада вас всех видеть!		Ответы учащихся: Здравствуйте!
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
Эпиграфом к уроку я выбрала слова датского математика и историка математики, жившего с 1839 по 1920 года, Иеромонима Георга Цейтена: “Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах”. Слайд 2 При решении практически любой математической задачи приходится производить преобразование числовых, алгебраических или функциональных выражений. Но бывают случаи, когда стандартные преобразования не позволяют получить ответ. Тогда используют нестандартные методы, суть которых – реализовать “иной взгляд” на задачу, что существенно упрощает решение некоторых задач. Таким образом, тема сегодняшнего урока… Но для начала – вопросы, ответы на которые вы должны были повторить дома.	“Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”.
Слайд 3 Что называется функцией?	Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция , определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.
Какие свойства функций вам известны?	Область определения функции. Область значений (область изменения).Ограниченность функции. Возрастание, убывание функции. Четность, нечетность функции. Периодичность функции.
Что называется областью определения функции?	Из определения функции следует, что функция задается вместе с областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Что называется областью значения функции?	Область значений (область изменения) – множество всех значений функции . Функцию называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство , (). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Что понимается под монотонностью функции? Все определения можно ещё раз увидеть в Приложении 1, которое лежит у вас на партах.	Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.
3. Этап обобщения и систематизации изученного.
Судя по тем вопросам, которые я задала вам в начале урока, как вы думаете, какие свойства легли в основу методов, которые мы с вами сегодня будем разбирать? Слайд 3	Область определения, ограниченность функции, её монотонность.
Для более удобного рассмотрения нестандартных методов я составила для вас таблицу. Она у каждого из вас. С её помощью на сегодняшнем уроке мы разберём три метода. Учитель разбирает методы по таблице: пояснения теоретической части, разбор 1-2 примеров (какого – по желанию учащихся). Приложение 2. Слайды 4 – 7.	Ученики слушают объяснения учителя, делая пометки в таблице.
А сейчас вы будете работать в группах. Каждая группа выберет себе задание. Затем представитель от группы представит решение. Слайд 8 1 группа. Решить уравнение . 2 группа. Решить неравенство . 3 группа. Решить неравенство .	Учащиеся работают в группах.
Защита решений. Слайд 8	От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения). 1группа. . Решение: при решении используем ограниченность функций и квадратичной функций: 1. для любого х из R. 2. . Таким образом мы видим, что области значений левой и правой части этого уравнения не имеют “точек соприкосновения”. Значит уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет. 2 группа. . Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства. ОДЗ: . х=1 не является решением. Тогда при получим, что , а . Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка. Ответ: 3 группа. . Решение: при решении используем монотонность функций, входящих в неравенство. Рассмотрим функции . Все они непрерывны и строго возрастают на R. значит и сумма этих функций тоже будет возрастающей функцией. Легко увидеть, что . А в силу её непрерывности и строгой монотонности получим, что при имеем, а при имеем. Значит решениями являются все . Ответ:
4.Этап подведения итогов.
Ребята, подведём итоги сегодняшнего занятия. Слайд 9. Какие неравенства мы сегодня рассматривали? Какими алгоритмами мы пользовались? Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались? А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём – минусы?	Учащиеся отвечают, используя записи; рассказывают о своих затруднениях, если они были; высказывают личное мнение о методе.
5. Этап информации учащихся о домашнем задании.
На следующем занятии мы продолжим решать уравнения и неравенства, с использованием уже других свойств функций. А по теме сегодняшнего урока вам необходимо к следующему уроку выполнить следующее задание (карточки): Слайд 10 1. Решить неравенства: ; ; ; ; . 2. Творческое задание. Подумайте, какие “внешние” признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов. Всем спасибо! Слайд 11

Литература.

Замечание. По данной теме проводится ещё
два урока: 2 урок – использование четности,
периодичности, решение задач, 3 урок –
самостоятельная работа.

Источник

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа № 12 г.Феодосии Республики Крым»

Урок математики в 6 классе

Тема урока:

Учитель математики Дубинина Татьяна Яковлевна

2016г.

Цель урока: раскрыть понятие уравнения, решения уравнения; рассмотреть основные свойства уравнений; разобрать понятие линейного уравнения с одной переменной; закрепить на простейших примерах. Продолжать формировать умения и навыки выполнения действий над рациональными числами.

Ход урока

Организационный момент (слайд 2): на тему выделено 12 часов, планируются 1 самостоятельная работа, 1 математический диктант и 1 контрольная работа.
Оглашение цели урока: сегодня наша с вами задача понять, что же такое уравнение, его корни, что значит решить уравнение, разобрать свойства уравнений и к концу урока на начальном уровне уже уметь ими пользоваться.
Восприятие новой темы

1.Давайте подумаем и попробуем сами определить: что же такое уравнение. Приведите пример уравнения и попробуйте дать определение уравнению. Подумайте, что должно быть в записи, чтобы это было уравнение.

(Дети пытаются приводить примеры, учитель записывает их на доске)

Слайд 3

1)2х +6;

2)4+9=13;

3)х+5=8.

Обсудить каждую запись:

1)буквенное выражение

Вопрос классу: чего не хватает в этой записи? Ответ: знака «равно» и ответа;

2)числовое равенство

Вопрос классу: почему это не уравнение? Ответ: нет буквы (переменной)

3)уравнение

Итак, давайте попробуем дать определение уравнения с одной переменной: (под запись в конспекты) Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее одну переменную.

Предложить нескольким учащимся повторить определение уравнения и ответить на вопрос, какие из записей на слайде являются уравнением:

Слайд 4

х+5;

х2+х=3;

х-у=1;

2х+1=х-5;

8+3=2+9.

2.Теперь разберём, что же называется корнем уравнения с одной переменной.

Слайд 5

х+2=5

Из чисел -1; 4; 3; 0 выберите корень данного уравнения.

1)х=-1

-1+2=1, 15, значит, х=-1 не является корнем уравнения

2)х=4

4+2=6, 65, значит, х=4 не является корнем уравнения

3)х=3

3+2=5, 5=5, значит, х=3 является корнем уравнения

4)х=0

0+2=2, 25, значит, х=0 не является корнем уравнения

Делаем вывод: (под запись в тетрадь)

Корнем уравнения с одной переменной называется числовое значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.

4. Давайте решим следующие уравнения:

Слайд 6

х2=4; 0х=6; 0х=0; х+2=-9

Записывают уравнения в тетрадь и решают их, обсуждая:

1)х2=4;

х=2 или х=-2;

2)0х=6;

нет корней;

3)0х=0;

х-любое число.

Делаем вывод (с записью в тетради):

Решить уравнение – это значит найти все его корни или показать, что таковых нет.

5.Разберём теперь свойства уравнений (слайд 6). Все видели чашечные весы на рынке, представим себе, что на одну чашу положили 5 кг сахара, а на вторую – 5-ти килограммовую гирю. Что при этом происходит с весами?

Ответ: весы находятся в равновесии.

Вопрос: если теперь на обе чаши добавить по 1 кг, что при этом изменится, а что – нет?

Ответ: изменится вес на каждой чаше, но не изменится равновесие.

Вот так и в уравнении: важно равновесие, мы сейчас выясним, что можно делать с уравнением, чтобы корни его не изменились.

Вывод:

свойство 1

Корень уравнения не изменится, если к обеим частям прибавить одно и то же выражение.

Пример

2х+3=-х+6; /-3

2х+3-3=-х+6-3;

2х=-х+6-3; /+х

2х+х=-х+6-3+х;

2х+х=6-3;

3х=3;

х=1.

Из этого примера сделать вывод:

Свойство 2

Корень уравнения не изменится, если перенести слагаемое из одной его части в другую, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный.

Пример:

3х-8=2х+6;

3х-2х=6+8;

х=14.

Свойство 3

Корень уравнения не изменится, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Пример:

4-8х=х-5;

-8х-х=-5-4; /*(-1)

8х+х=5+4;

9х=9;

х=1.

Свойство 4

Корень уравнения не изменится, если раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, упростить обе части уравнения.

Пример:

5х-8(2-х)=11+6(х-1);

5х-16+8х=11+6х-6;

13х-16=5+6х;

13х-6х=5+16;

7х=21;

х=3.

4.Осмысление

Решают сначала самостоятельно, чтобы понять – насколько хорошо усвоили тему, а затем у доски проверяем.

618(а, б) Является ли число 2 корнем уравнения:

а) х-2=0; б)х+4=0.

626(а) Решить уравнение 3х+2х=10

627(а) Решить уравнение х+3=3х-7

628(а) Решить уравнение 2(х-5)=9

Задать домашнее задание: п.3.9 – учить определение уравнения, знать понятие корня уравнения и знать, что значит решить уравнение, решать №№618(в, д), 626(г, ж), 627(г). Подумайте дома и попробуйте ответить на вопрос: зачем нужны уравнения?
Рефлексия:

1)что же мы сегодня изучали на уроке?

2)достигли ли мы поставленной цели?

3)всё ли было понятно или на что-то необходимо обратить внимание на следующем уроке?

Источник