Какие свойства логарифмов вы знаете

1. Общие понятия
2. Свойства логарифмов
3. Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму
4. Задачи с применением логарифмических свойств

Общие понятия

Логарифм числа (b∈R) по основанию (a (a>0,a≠1)) – это такое число (c), в которое нужно возвести число a, чтобы получить число (b). Обозначается таким образом: (log_a⁡b).

В соответствии с определением напрашивается вывод, что для числа( b≤0) не существует действительного логарифма. Сформулируем теорему о действительном логарифме:

Логарифм числа (b∈R) с основанием (a=e) называют натуральным логарифмом. Обозначается (log_e⁡b=lnb).

Свойства логарифмов

Рассмотрим свойства логарифмов, первые два из них вытекают из определения:

1. (a^{log_a⁡b} =b);

2. (log_a⁡a^c=c).

3. Логарифм произведения будет равняться сумме логарифмов множителей:
(log_a⁡xy=log_a⁡x+log_a⁡y).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым свойством логарифма и свойством суммы степеней, получаем:
(a^{log_a⁡xy} =xy; a^{log_a⁡x+log_a⁡y }=a^{log_a⁡x} ∙a^{og_a⁡y} =xy.) Из этого следует, что:
(a^{log_a⁡xy} =a^{log_a⁡x+log_a⁡y}, log_{a⁡xy}=log_{a⁡x+log_a⁡y}).

7.Одним из свойств логарифма является его свойство перехода к другому основанию:
(log_b⁡c={log_a⁡cover log_a⁡b }).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым и вторым свойствами логарифмов, имеем:
(log_a⁡c=log_a⁡b^{log_b⁡c}  =log_b⁡c∙log_a⁡b);
(log_b⁡c={log_a⁡cover log_a⁡b}) .
    
8. (log_a⁡b={1over log_b⁡a }).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым логарифмическим свойством:
(log_a⁡b={log_b⁡bover log_b⁡a} ={1over log_b⁡a}) .

9. (log_a {^n} ⁡b={1over n}  log_a⁡b ).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым и вторым логарифмическими свойствами:
(log_a{^n}⁡b={log_a⁡bover log_a⁡a^n} ={1over n}  log_a⁡b ).

Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму

Если рассмотреть формулу (log_b⁡c={log_a⁡cover log_a⁡b}) , то в ней (M={1over log_a⁡b})  – это модуль перехода от логарифма с основанием a к логарифму с основанием b. Иным образом формула примет вид:

(log_b⁡c=M log_a⁡c).

Рассмотрим частные случаи этой формулы:

1. В формуле (lgx=Mlnx), число (M={1over ln10}=lge≈0,(43)) – это число, которое является модулем перехода от натурального к десятичному логарифму.
2. В формуле (lnx=Mlgx, M={1over lge}=ln10≈2,3026)… – это число, которое является модулем перехода от десятичного к натуральному логарифму.

Задачи с применением логарифмических свойств

Рассмотрим три примера решения логарифмических задач:

Задача 1. Найти значение числа, записанного в форме логарифма (5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}) .

Решение:
оспользовавшись первым логарифмическим свойством, получим:
(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12})( =5∙12=60).

Задача 2. Найти значение числа, записанного в форме логарифма 
(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } ).

Решение:
воспользовавшись первым и шестым логарифмическими свойствами, имеем:
(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } )(= log_3  {15over5}+5=log_3 3+5=1+5=6).

Задача 3. Найти значение числа, записанного в форме логарифма (9^{log_9⁡2} +log_5  {1over25}).

Решение:
(9^{log_9⁡2} +log_5  {1over25})=(2+(-{1over 2})=1,5.)

2 февраля 2017

• Скачать все формулы

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. logax + logay = loga (x · y);
2. logax − logay = loga (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. logaxn = n · logax;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

[Подпись к рисунку]

В частности, если положить c = x, получим:

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = logaan

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. logaa = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. loga 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

1. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
2. Как решать простейшие логарифмические уравнения
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
5. Показательные функции в задаче B15
6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов

• Основное логарифмическое тождество
• Свойства логарифмов

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве  ax = N  можно сказать, что  x  — это логарифм числа  N  по основанию  a  (где  a > 0   и   a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается  log,  основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны  log.

Если мы знаем, что логарифм числа  N  при основании  a  равен числу  x,  то есть:

logaN = x,

то это равенство можно написать без знака логарифма

ax = N,

где  a  — основание степени,  x  — показатель степени,  N  — степень.

Оба равенства:

logaN = x   и   ax = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a,  x  и  N:  если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами  a,  x  и  N  можно выразить ещё одним равенством:

x√ N  = a   или   a =x√ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании  a  (a > 0   и   a ≠ 1)  логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа  N  при таком же основании, как и основание степени, равна числу  N.

alogaN = N.

Возьмём логарифм числа  N  при основании  a  равный числу  q

logaN = q,  значит  aq = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа  q  равное ему выражение  logaN,  получим

alogaN = N.

Выражение  alogaN = N  называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0    и    a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

loga1 = 0,

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна  1:

a0 = 1.

Логарифм числа равного основанию равен единице.

logaa = 1,

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

logaMN = logaM + logaN ,

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

loga(Nα) = α logaN ,

где  N > 0.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

где  N > 0,  x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

где  N > 0,  β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

где  N > 0.  Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

logba · logab = 1.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

logaN = logaxNx,

где  N > 0,  x ≠ 0.