Какие свойства предпочтений отвечают за отрицательный наклон кривой безразличия

Понятия «кривая безразличия», «бюджетное ограничение» используются в экономической теории в рамках ординалистической теории полезности. Их появление было связано с необходимостью устранить недостаток кардинатистической теории, которая измеряла полезность в абсолютном выражении, тогда как при ординалистическом подходе используется относительное измерение полезности благ, сравнение их друг с другом. Теорию развивали Ф. Эджуорт, В. Парето, И. Фишер.

Кривые безразличия

Кривая безразличия (КБ) представляет собой графическое изображение выбора потребителя между двумя благами.

Положение каждой точки этой кривой характеризует такую комбинацию из двух товаров или услуг (по оси х и у), которая приносит одинаковую полезность индивиду.

Другими словами, полезность комбинации А равна полезности комбинации В, и потребителю безразлично, какую из них выбрать. Например, ученик использует карандаши и ручки, и ему будет не важно, выбрать пенал А, в котором лежат 3 ручки и 7 карандашей, или пенал В, где 4 ручки и 6 карандашей.

Свойства кривых безразличия

Кривые безразличия не пересекаются. Это связано с тем, что каждая КБ описывает свой уровень полезности. Математически они представляют собой линии уровня функции полезности, то есть, зафиксировав U, строят ту или иную кривую, форма которой не меняется, а будет изменяться только положение.

Чем больше расстояние от кривой до начала координат, тем выше полезность наборов, которым она соответствует. При увеличении общей полезности набора благ происходит сдвиг КБ вверх вправо, а при уменьшении – вниз влево. На основании приведенного ниже графика это свойство можно описать так: набор благ на U более предпочтителен, чем на U2, но менее предпочтителен, чем на U1.

Кривая безразличия вогнута к началу координат, вследствие этого любая касательная, проведенная к ней, будет иметь отрицательный наклон. Такая форма КБ связана с тем, что при увеличении количества потребляемого блага, полезность каждой дополнительной единицы убывает. Также в силу рациональности индивида предпочтение всегда отдается большему количеству товаров и услуг, чем меньшему.

Бюджетное ограничение и потребительский выбор

Каждый индивид имеет в своем распоряжении определенный размер денежных средств, которые он тратит на ту комбинацию товаров или услуг, которые изображаются кривой безразличия. Эта сумма денег и есть бюджетное ограничение, которое накладывается на выбор потребителя.

Например, у Васи есть 200 д.е., цена пирожка с капустой 50 д.е., а пирожка с мясом 100 д.е. На свои деньги он сможет купить следующие наборы пирожков (4 с капустой; 0 с мясом), (2К; 1М), (0К;2М). Эти точки и будут лежать на прямой, описывающей бюджетное ограничение.

Представим это на графике.

Оптимальный выбор потребителя будет находиться в точке касания бюджетной линии к кривой безразличия.

Если рассматривать математическую интерпретацию задачи оптимального выбора, то необходимо использовать понятие предельной полезности.

Пусть U=f(x,y)U=f(x,y)U=f(x,y) – функция полезности.
MUx=fx′MU_x= f’_xMUx​=fx′​

MUy=fy′MU_y= f’_yMUy​=fy′​

Тогда оптимум будет достигаться при

MUxPx=MUyPyfrac{MU_x}{P_x}=frac{MU_y}{P_y}Px​MUx​​=Py​MUy​​

Примеры решения

Пример 1

Сидоров Степан Сергеевич вышел на пенсию и решил, что 1000 руб. из нее он будет тратить только на творог и сыр. Стоимость пачки творога составляет 20 руб., сыра — 50 руб. Также, имея за плечами опыт экономиста, он определил, что функция полезности этих продуктов U=x⋅yU=xcdot yU=x⋅y. Теперь перед ним стоит задача, в каком объеме покупать творог и сыр, чтобы достичь максимальной полезности и потратить всю выделенную для этого сумму.

Решение

Находим предельные полезности.

MUx=yMU_x= yMUx​=y

MUy=xMU_y= xMUy​=x

Тогда

y20=x50frac{y}{20}=frac{x}{50}20y​=50x​

x=2,5yx=2,5yx=2,5y

С учетом максимальных трат на эти продукты Степана Сергеевича в размере одной тысячи рублей:

20x+50y=100020x+50y=100020x+50y=1000

50y+50y=100050y+50y=100050y+50y=1000

y=10y=10y=10

x=2,5⋅10=25x=2,5cdot10=25x=2,5⋅10=25

То есть он будет покупать 10 пачек сыра и 25 пачек творога.

Пример 2

Доход Клавдии Петровны составляет 7500 руб., из них 450 руб. она выделяет на покупку корма коту Барсику и собаке Джеку. Цена корма для котов составляет 20 руб. за 1 кг, а для собак — 15 руб. за кг. Составить уравнение бюджетного ограничения.

Решение

Если Клавдия Петровна всю сумму потратит на кошачий корм, то она купит

x=450/20=22,5x=450/20=22,5x=450/20=22,5 кг

Значит, прямая бюджетного ограничения будет проходить через точку (22,5;0)
Аналогично по собачьему корму

y=450/15=30y=450/15=30y=450/15=30 кг

То есть прямая проходит через (0;30)
Из математики мы знаем уравнение прямой, проходящей через две точки

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}x2​−x1​x−x1​​=y2​−y1​y−y1​​

x−22.50−22.5=y−030−0frac{x-22.5}{0-22.5}=frac{y-0}{30-0}0−22.5x−22.5​=30−0y−0​

y=30−4/3xy=30-4/3xy=30−4/3x

Тест по теме «Кривые безразличия и их свойства»

Кривые безразличия являются главным методологическим приемом, используемым в ординалистской теории полезности. Пальма первенства в их открытии принадлежит Ф. Эджуорту, который, правда, использовал эти кривые для доказательства положений кардиналистской теории. Прежде чем перейти к определению кривых безразличий, покажем принципы их построения. Предположим, потребитель имеет возможность потребить два блага, например, красное и белое сухое вино. Для него они являются одинаково полезными. Чтобы построить кривую безразличия при потреблении этих благ составим табл. 3.1, в которой сгруппируем возможные объемы потребления вина.

Таблица 3.1

Объем потребления благ

Затем построим геометрические точки, иллюстрирующие эти корзины потребительских благ (рис. 3.2). В результате видно, что точки Р, И, У, показывающие одинаковый объем потребления вина в 25 л в неделю, лежат на одной кривой безразличия, согласно предположению о ненасыщаемости. Другие точки соответствуют большим объемам потребительской корзины и, следовательно, представляют другие кривые безразличия.

Кривая безразличия

— представляет собой совокупность потребительских наборов, обеспечивающих одинаковый уровень удовлетворения потребностей.

Рис. 3.2. Построение кривой безразличия

Свойства кривых безразличия.

1. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон. Доказательство этого свойства опирается на предположение о не насыщаемости. Разобьем координатную плоскость, на которой построена кривая безразличия на квадранты.

Рис. 3.3. Отрицательный наклон кривых безразличия

Точки, лежащие во втором и четвертом квадрантах, могут принадлежать какой-либо кривой безразличия (обозначенной сплошной полужирной линией), так как являются одинаково полезными. Если посмотреть па точки, расположенные в третьем и первом квадранте, то видно, что они не могут иметь одинаковую полезность для потребителя. Пунктирная линия, соединяющая эти точки, не может быть кривой безразличия. Очевидно, что точки, лежащие в первом квадранте, более предпочтительны, чем в третьем, так как представляют собой наборы благ, в которых имеется больше количество благ X и У.

2. Более высоко расположенная кривая безразличия отражает более высокий уровень общей полезности. Это свойство опирается на требования

предположений об упорядоченности и транзитивности. Согласно этому свойству каждая кривая безразличия отражает порядковую, а не абсолютную меру полезности набора потребительских благ. Иначе говоря, потребитель выберет набор благ, имеющих для него наибольшую полезность, не давая при этом количественной оценки этой полезности.

3. Кривые безразличия никогда не пересекаются. Данное свойство вытекает из предположения о транзитивности. Докажем это свойство кривых безразличия от противного. Предположим, что две кривые безразличия пересекаются (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Пересекающиеся кривые безразличия

В этом случае точка В будет безразлична Л, т.с. В – Л, в свою очередь С – А, тогда согласно аксиоме о транзитивности С должно быть безразлично В, или С ~ В. Однако этого не может быть, потому что В >- С в силу того, что В лежит на более высокой кривой безразличия. Следовательно, кривые безразличия не могут пересекаться.

• 4. Кривая безразличия может быть проведена через любую точку в пространстве используемых товаров. В итоге предпочтения человека для всех комбинаций продовольствия и одежды могут быть представлены как набор кривых безразличия, называемый картой кривых безразличия. Каждая кривая безразличия на этой карге демонстрирует потребительские наборы, которые между собой безразличны для потребителя.
• 5. Кривые безразличия выпуклы по отношению к началу координат. Данное свойство не может быть выведено непосредственно из аксиом рационального поведения потребителя. Оно выражает принцип, на основе которого происходит диверсификация потребления.

Для определения количества какого-либо товара, которым потребитель готов пожертвовать в обмен на получение большего количества другого товара, используется показатель, который называется предельная норма замены MRS (marginal rate of substitution). Эта категория измеряет полезность, которую потребитель придает одной дополнительной единице некоего товара относительно полезности другого товара. Чтобы лучше понять, что представляет собой MRS, нарисуем график, иллюстрирующий динамику изменения этого показателя.

При потреблении нескольких товаров потребители всегда должны балансировать при выборе между ними. Наиболее наглядно этот компромисс проявляется на примере кривых безразличия (рис. 3.5). Двигаясь от потребительского набора точки, изображенного точкой К, к набору Ь потребитель отказывается от 6 ед. товара у в пользу дополнительной единицы блага х, потому что ценит благо х выше, чем благо у. Это объясняется тем, что благо у находится в потребительской корзине в большем количестве, нежели благо х. Перемещаясь от набора Ь к потребительскому набору М, потребитель уже готов пожертвовать в пользу дополнительной единицы блага .г только 2 ед. блага у. Причина такой “скупости” заключается в том, что теперь благо у является более ограниченным, чем в предыдущем случае. Перемещение из точки М в N вызывает отказ только от 1 ед. блага у в пользу дополнительной единицы благах В результате мы видим, что чем больше потребляется блага х, тем от большего количества у должен отказаться потребитель.

Рис. 3.5. Предельная норма замещения

Кривые безразличия имеют выпуклую форму, что предполагает предпочтение потребителем сбалансированного набора товаров, набору, содержащему одно благо. Для определения объема некоторого количества блага, которым потребитель готов пожертвовать в пользу другого блага, используется показатель (мера) MRS, о которой шла речь выше (см. рис. 3.5).

Определяется MRS как максимальное количество блага у, от которого готов отказаться, чтобы получить дополнительную единицу блага х.

Так как отношение Ау/Ах является отрицательным по определению, в силу того, что у будет всегда убывать, в уравнение вводится минус перед правой частью, делающий значение нормы замещения положительным. Предельная норма замещения может принимать любые значения, например, быть постоянной величиной или равной нулю. Однако только в случае выпуклости кривой безразличия относительно начала координат MRS является убывающей величиной по мере замещения одного блага другим.

Это важно, потому что, во-первых, в ординалистской теории предельной полезности ключевой категорией является именно предельная норма замещения (MRS), которая заменяет собой понятие предельной полезности (Mil).

Кроме того, в ординалистской теории происходит замена закона убывающей предельной полезности на правило убывания предельной нормы замещения, что предполагает условие выпуклости кривых безразличия к началу координат.

К тому же, Дж. Хикс (один из создателей ординалистской теории) отказался от неизменной предельной полезности (MU) денег, что означало независимость MRS деньгами любого блага при изменении дохода потребителя. Проще говоря, при этом допущении спрос потребителя на конкретный товар не определяется его доходом, а только эффектом дохода и эффектом замещения, что давало Дж. Хиксу возможность анализировать изменения индивидуального спроса не только от изменения структуры пен, но и дохода потребителя.

Обычный вид кривых безразличия представлен кривой, выпуклой к началу координат. В этом случае MRS будет иметь убывающий характер. Однако встречаются и другие виды кривых безразличия, которые характеризуются другими значениями предельной нормы замещения. Например, если MRS = 0, то кривая безразличия будет иметь вид прямого угла (рис. 3.6). Данные кривые наглядно иллюстрируют жесткую взаимозаменяемость благ, как, например, горные лыжи и специальные лыжные ботинки к ним.

Рис. 3.6. Жесткая взаимозаменяемость благ

Другой пример “нестандартной” кривой безразличия может быть представлен набором благ, в котором каждое из благ абсолютно одинаково для потребителя, например, “Пепси-кола” и “Кока-кола”. В этом случае MRS = = const, а кривая безразличия примет линейный вид (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Совершенная взаимозаменяемость

Существуют кривые безразличия (рис. 3.8), где предельная норма замещения MRS является растущей. Рост предельной нормы замещения в этом случае отражает тот факт, что увеличение потребления какого-либо блага сопровождается не снижением, а ростом предельной полезности.

Рис. 3.8. Кривые безразличия для несовместимых благ

Иными словами, чем больше у потребителя одного блага, тем большим количеством этого блага он хочет располагать, так как его полезность для него увеличивается. Он готов жертвовать благом У в пользу блага X. В качестве примера рассмотрим случай с коллекционером монет. Представим, что потребительский набор состоит из денежных едениц (у) и коллекционных монет (х): очевидно, что увеличение коллекции будет характеризоваться растущей предельной полезностью. При этом нумизмат готов платить, т.е. отказываться от блага У (денег) в пользу роста количества коллекционных монет, т.е. блага X.

Рассмотренная ситуация показывает, что потребитель по существу лишил себя возможности выбора и поиск оптимального варианта выбора для него не является актуальным. Впрочем, такая ситуация является исключением из рационального потребительского поведения. Коллекционеров нельзя считать в этом случае “нормальными” потребителями.

Одной из особенностей рационального поведения является не насыщаемость его потребностей. Однако могут быть исключительные случаи, когда потребитель полностью удовлетворен каким-либо потребительским набором благ. Графически этот случай представлен на рис. 3.9. В виде кругов с единым центром (в точке насыщения с координатами У* и X*) и различными радиусами. Уровень полезности наивысший в точке насыщения и если объем благ будет отличаться от этой точки в ту или иную сторону, то потребитель ухудшит свое благосостояние, т.е. у пего будет или дефицит благ, или их избыток.

Рис. 3.9. Кривые безразличия для набора с точкой насыщения

В реальной жизни потребитель сталкивается не только с благами, но и антиблагами (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Кривые безразличия для блага и антиблага

Антиблаго — это такое благо, потребление которого принимается потребителем как ущерб для его общей полезности, увеличение которой потребитель связывает с сокращением потребления такого блага.

Предположим, что вы хотите общаться с человеком, который курит, а вы не курите. В этом случае в потребительском наборе будет присутствовать нормальное благо и антиблаго. Увеличение времени общения будет вынуждать вас быть в большей степени пассивным курильщиком. Предпочтительным будет в этом случае являться набор благ, в котором вы будете меньше времени находиться в прокуренном помещении, но при этом сократится время беседы с интересным вам человеком, равно как и наоборот. Рост потребления одного элемента набора будет сопровождаться увеличением другого, что может быть только при положительном наклоне кривой безразличия.

Кривые безразличия позволяют выявить потребительские предпочтения. Однако при этом не учитываются два важных обстоятельства: цены товаров и доход потребителей. Кривые безразличия лишь показывают возможность замены одного блага другим. Однако они не определяют, какой именно набор товаров потребитель считает для себя наиболее выгодным. Эту информацию даст нам бюджетное ограничение (линия цен), а также прямая расходов.