Какие свойства сложения и умножения выражают равенства

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Например, пусть Используя условия III, IV и V, можно выписать следующую цепочку равенств:

таким образом,

ТЕОРЕМА 2.1. Сложение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b, с

Доказательство. Зафиксируем произвольные натуральные числа а и b. Тогда формула (1) определяет предикат от одной свободной переменной с, обозначим его . Доказательство проводится индукцией по натуральной переменной с.

Базис индукции: А(0) истинно, поскольку верно равенство

Индукционный шаг. Предположим, что для некоторого натурального истинно , т. е. верна формула

и докажем, что тогда истинно , т. е. верна формула

В самом деле,

Согласно принципу индукции, предикат истинен для любого натурального с. Поскольку при доказательстве фиксировались произвольные а и , то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется аддитивным моноидом натуральных чисел.

ЛЕММА 2.2. Для любых натуральных а и b

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по b. Зафиксируем произвольное натуральное число а.

Обозначим через предикат, определяемый формулой (1). Условимся в этой лемме и в дальнейшем в аналогичных случаях говорить, что является и обозначением соответствующей формулы.

Легко видеть, что верна формула

Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

и покажем, что верна формула . В самом деле,

(по аксиоме IV);

(по индуктивному предположению);

(по аксиоме IV).

Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального b. Так как при доказательстве фиксировалось произвольное значение а, то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

ТЕОРЕМА 2.3. Сложение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а, b

Доказательство проводится индукцией по b. Докажем сначала, что верна формула

Проведем индукцию по о.. Очевидно, формула верна при Далее, если для некоторого натурального числа

то

Следовательно, по принципу индукции, формула А (0) верна для любого а.

Зафиксируем произвольное а. Обозначим через А(b) предикат, определяемый формулой (1). Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

тогда

(по аксиоме IV);

(по индуктивному предположению);

(по аксиоме IV);

(по лемме 2.2),

т. е. верна формула . Согласно принципу индукции, формула верна для любого 6. Поскольку фиксировалось произвольное значение а, то формула (I) верна для любых натуральных а и 6.

ТЕОРЕМА 2.4 (ЗАКОН СОКРАЩЕНИЯ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, с

Доказательство (проводится индукцией по с; при этом фиксируются произвольные значения а и b). Рассмотрим формулу

Так как , то верно, что

т. е. верна формула А(0).

Предположим, что для некоторого натурального числа

и покажем, что тогда верна формула По аксиоме IV,

Далее, по аксиоме II,

Из того, что и (3) — верные формулы, следует, что верна формула

На основании (2) и (4) заключаем, что верна формула

Согласно принципу индукции, формула А(с) верна для любого натурального с. Так как а и b фиксировались произвольно, утверждение (1) верно для любых натуральных а, b, с.

СЛЕДСТВИЕ 2.5. Для любых натуральных а и b, если то

ТЕОРЕМА 2.6. Для любого натурального числа а либо либо существует такое натуральное число b, что

Доказательство. Рассмотрим формулу

Доказательство этой формулы проводится индукцией по а. Очевидно, формула верна при Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

Надо показать, что верна формула

Эта формула действительно верна, так как второй член дизъюнкции — истинная формула (при ). Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального а.

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Для любых натуральных а и b, если или то

Доказательство. Предположим, что . Тогда, по теореме 2.6, существует такое натуральное с, что . В силу аксиомы IV

По аксиоме следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 2.8. Для любых натуральных а и b, если а то

ТЕОРЕМА 2.9. Для любых натуральных выполняется одно и только одно из трех условий:

(для некоторого );

(для некоторого ).

Доказательство. Из следствия 2.5 вытекает, что не может выполняться более чем одно из трех условий.

В самом деле, если бы выполнялись условия , то что невозможно по следствию 2.5. Если бы выполнялись условия (а) и (7), то что невозможно. Если бы выполнялись условия , то что также противоречит следствию 2.5.

Теперь покажем, что выполняется хотя бы одно из условий . Фиксируем произвольное натуральное число а и обозначим через дизъюнкцию условий . Докажем индукцией по b верность формулы Верна формула . В самом деле, если , то либо либо а . Если где Следовательно, при выполняется условие (а) или условие

Предположим, что для некоторого числа верна формула

и покажем, что тогда верна формула . В самом деле, если выполняется условие (Р). Если выполняется условие (Р). Если же , то . В этом случае если то и, по аксиоме II, — выполняется условие (а). Так как , то, по теореме 2.6, существует такое, что . Если , то и из равенства по аксиоме II получаем — выполняется условие (y). Итак, в любом случае верна формула Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального b. Поскольку а фиксировалось произвольно, то утверждение теоремы верно для любых натуральных а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью двух натуральных чисел а и b называется такое натуральное число k, что

Из теоремы 2.9 следует, что разность двух натуральных чисел а и b существует в том случае, когда выполнено условие (а) (при этом или . В случае выполнения условия (Р) разность чисел а и b не существует.

Легко показать, что если разность чисел а и b существует, то она единственна. В самом деле, если , то откуда, по закону сокращения для сложения, следует, что .