Какие свойства сложения и умножения выражают записанные равенства

Переместительное свойство умножения
Сочетательное свойство умножения
Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42;

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a – b) = m · a – m · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a – b) · m = a · m – b · m.

Переход от умножения:

m · (a + b) и m · (a – b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b и m · a – m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b и m · a – m · b

к умножению:

m · (a + b) и m · (a – b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Математика Класс: 4 Дата проведения: 30.01.18 Урок № 96

Тема: Запись свойств сложения и умножения с помощью буквенных равенств. Формула нахождения значения выражения с двумя буквами.

Цель обучения (когнитивная): Создать учебную ситуацию для формирования математической грамотности через формирование умения записывать свойства сложения и умножения с помощью буквенных равенств. Развивать навыки устного счета, речь, память, творческую самостоятельность уч-ся. Воспитывать интерес к математике, культуру общения, чувство взаимовыручки

Цель личностного развития: формировать умение работать в паре и группе

Ожидаемый результат:

Ученик:

А – выполняет письменно деление на двузначное число

В – может решить уравнение

С – сможет составить буквенное выражение к задаче

Мотивационный этап.

На доске

Тренинг «Добрый клубок»

Цель: повышение работоспособности детей, создание позитивного настроения, повышение сплоченности группы.

Каллиграфическая минутка

Цель: формирование каллиграфического почерка

Устный счёт – работа с тестами – подготовка к ВОУД

1.Найдите частное 640 и 8.

2. 70 увеличить в 5 раз.

3.Найдите произведение 20 и 6.

4.Если к неизвестному числу прибавим 45, то получим 845. Найдите неизвестное число.

5.Первый множитель 9, второй -50. Найдите произведение.

6. 12 увеличить на столько же.

7.На сколько 100 больше 37.

8.5 умножить на 30.

9.Заяц за 3 ч пробегает 63 км. С какой скоростью бежит заяц?

10.Голубь летит со скоростью 50 км/ч. Какое расстояние пролетит голубь за 6 ч?

Сообщение темы и цели урока

Я узнаю… Я смогу… Я научусь

Дети встают в круг и передают по кругу клубок ниток, произнося при этом свое имя и слова приветствия ребенку, стоящему слева.

Прописывают цифры

Записывают число, классная работа

Индивидуально

взаимопроверка

Высказывания детей

Самооценка

«Сигналы рукой»

Самооценка

«5» -0 ошибок

«4»- 1 ошибка

«3»- 2 ошибки

НП

ОдО

КМ

УиЛ

ВО

ТиО

ИКТ

II.

Операционный этап.

А – Распределите выражения в два столбика. По какому признаку мы это сделаем?

(248 + 7309) + 96 = 248 + (7 309 + 96)

269 + 1050 = 1050 +269

(105 х 2) х 3 =105 х (2 х 3)

13 х 25 = 25 х 13

– Сформулируйте переместительное свойство сложения, умножения; Сочетательное свойство сложения, умножения.

– Зачем нужно знать свойства в математике?

Почему последнее выражение не вошло ни в один столбик?

Как по-другому можно решить это выражение?

В – Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, запишите выражения, равные данным

1, 3 гр. 2, 4 гр.

(112 + 44) х3; (7 +4) х 132

(16 + 18) х 25; (36+ 24) х 9

– Так как умножить сумму на число?

Чтобы умножить сумму двух чисел на какое-нибудь число, можно каждое слагаемое умножить на это число и сложить полученные результаты.

Физкультминутка

Работа по учебнику Стр. 67 – 69

Выполняют задания в соответствии с заданием

Работа в паре. Закрепление.

(72 + 28) х 7 = 100х7=700

(72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7= 504 + 196 = 700

– В каком случае пользоваться при вычислении распределительным свойством неудобно?

(72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7

Работа в группах

Решают уровень А – смена групп – проверка – коррекция

Решают уровень В – фронтальный разбор – решение записывают в группах

Решают уровень С– возвращаются в «домашнюю» группу – проверка – коррекция

Для детей с ООП (Тамирлан, Рустам, Андриан)

А – в группах

В – работа с учителем

«Сигналы рукой»

Взаимооценка

Самооценка

НП

ОдО

КМ

УиЛ

ВО

ТиО

ИКТ

III.

Рефлексия.

Карточки

стикеры

Контроль

А – вычисли письменно. Выполни проверку.

36856:68 8802 : 618

В – реши уравнение

11424: (х-12)=56

С – реши задачу

С одного аэродрома одновременно вылетели в противоположных направлениях самолёт и вертолёт. Скорость вертолёта Хкм/ч. Через У часов расстояние между ними стало Sкм. Чему равна скорость самолёта?

Закончи фразу :

Мне больше всего удалось…

Я получил от этого урока…

Я могу похвалить себя за …

Я могу похвалить …. за …

Д/з с. 30 № 4 + р/о

Индивидуальная работа

Для детей с ООП (Тамирлан, Рустам, Андриан)

Контроль

А – вычисли письменно. Выполни проверку.

36856:68 8802 : 618

В – реши уравнение

11424: (х-12)=56

Формативное оценивание

Оценивание стикерами своей работы

НП

ОдО

КМ

УиЛ

ВО

ТиО

ИКТ

Источник

Формируемые УУД

Организация

Устный счёт

Определить цель занятия

Повторить арифметические действия.

На доске: дата и название темы: «Свойства сложения и умножения »

На столах учащихся лежат бланки писем волшебнику, карточки – задания.

(учитель просит вначале урока открыть учебник на с. 66 «Вы узнаете»).

– Ребята, приближаются каникулы, у всех праздничное настроение, все ждут волшебника с его замечательными подарками. Но волшебник хочет знать: как мы учимся, хорошо ли знаем законы страны Математики, умеем ли мы считать, решать задачи. Сегодня вы получите бланки – задания, письмо волшебнику, чтобы ему стало ясно, чему мы научились, и как мы умеем узнавать новое.

Давайте вспомним пройденное.

Мы уже с вами изучили вопрос о том, как называются числа при сложении и умножении.

Вы уже знаете свойства сложения и умножения, связанные с единицей и нулем. Кто может их напомнить?

Изучают бланки писем.

Два учащихся выходят к доске и вставляют вместо пропусков верные знаки.

– Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число которое получается при сложении, называют суммой. Для любого числа а а+0+ а; 0+а +а .

Числа которые перемножают, называют множителями; результат умножения называют произведением. Для любого числа «а»

а1 = а;

а0=0; 1а = а; 0а=0.

Целеполагание, предметная рефлексия

(повторение ранее изученного)

Самоконтроль, самооценка и взаимопроверка

– Какие свойства сложения и умножения вы учили в начальной школе?

– От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

– От перестановки множителей произведение не меняется.

-Приведите примеры.

87+43=43+87;12+10+24=12+24+10=46

142 5=14(25)=140

– Слева на странице учебника 66 обозначена цель сегодняшнего занятия.

– Совершенно верно.

Читают рубрику.

Отвечают: Можно упрощать вычисления, используя свойства сложения и умножения.

Актуализации знаний и умений

Продемонстрировать необходимость знания точного определения

На доске записаны примеры

(100+23)+67, (472) 5

Ребята, а что если в примерах

поставлены скобки (100+23)+67, (472) 5 , как можно упростить вычисления в этих примерах.

Давайте прочитаем правило в учебнике стр. 66 вспомним сочетательное свойство сложения и умножения.

Решают примеры:

100+(23+67)=190

47(2 5)=4710=470

Читают учебник.

Формирование целостного мировоззрения.

Развитие познавательного интереса.

Работа с определениями

Анализ речевых конструкций

Заготовленные в лаборатории ЭП различного вида примеры на свойства сложения и умножения.

Пр №1, №2

44+189+56+92+11

471125

Смотрят и слушают.

Устная работа.

Сформулируйте переместительный закон сложения.
Сформулируйте переместительный закон умножения.
Сформулируйте сочетательный закон сложения.
Сформулируйте сочетательный закон умножения.

Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.

Объяснение материала

Научить упрощать выражения

Рубрика

«В фокусе» учебника стр. 66, виртуальная лаборатория «2»

Давайте заменим одинаковые числа одинаковыми буквами (а и в). Учитель записывает на доске буквенные выражения.(Флеш- определение ЭП стр. 66.)

С помощью паузы прослушаем определения каждого вида и отметим особенности. Кто может повторить?

Рассмотренные правила полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в выражения удобные для вычислений .

Записывают буквенные формулы. Повторяют, исправляются с помощью учителя, если есть ошибка.

Работа с определениям.

Анализ речевых конструкций

Закрепление

Физкульт –

минутка

(истинно- ложно)

Использование нового алгоритма и приведение аргументов

Применение ранее изученного.

Пользуясь, предложенным рациональным подходом вычисления (сумм и произведений) решим задания.

упр. 213, 214 ,219, 220, 224 (учебник). ЭП

Я скажу несколько математических предложений. Если предложение верно, то вы сидите, если оно ложно, вы встаёте и кто-то из вас объясняет, почему.

1.В записи числа «одна тысяча» три нуля.

2. В записи числа «один миллион» пять нулей.

3. Для записи натуральных чисел употребляются одиннадцать цифр.

4.Последующее натуральное число отличается от предыдущего на единицу.

5. В записи числа «один миллиард» девять нулей.

6. Вам известно только три класса многозначных чисел.

Оформляют решение в тетради213,214,219,220. Желающие выходят решать упражнения к доске.

224 устно

Формирование благоприятных условий для саморазвития.

Применение знаний в решении практической задачи.

Ребята, сейчас вы поработаете по задачнику – тренажеру №170,171, затем в парах выполните проверку решенных заданий.

Учащиеся выполняют самостоятельно упражнения, проверяют выполненную работу в парах.

Формирование морально-этического сознания

Демонстрация этапов проведения эксперимента

Применение ранее изученного, повторение в новой теме.

ПРИМЕР:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

На доске появляется Пример вычисления суммы чисел от 1 до 10 ЭП «флеш-анимация» Пр №4

Ребята, скажите, чему равна сумма чисел от 1 до 10? Попытайтесь найти сумму.

Учитель показывает, как можно было сделать проще вычисления, подводит к теореме Гаусса, просит записать, сумму чисел от одного до десяти дважды расположив во втором случае слагаемые в обратном порядке. Каждая пара чисел при этом дает 11, а всего таких пар10, значит, искомая сумма равна (11х10):2=55

Учащиеся пытаются найти сумму.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Учащиеся за учителем повторяют запись.

Формирование необходимости теоретического обоснования (объяснения) или практической проверки факта, утверждения, свойства.

Развитие навыка сотрудничества.

Рассуждение по алгоритму.

Рефлексия

Показать способ аргументирования, ссылкой на верный факт

На доске портрет Гаусса К.

А теперь сосчитайте сумму от 1 до 100

По аналогии решают поставленную задачу.(101 х 100):2=5050

Работа в парах.

Применение знаний в решении практической задачи.

Развитие познавательной активности.

Учитель дает историческую справку о великом математике Карле Гауссе и обращает внимание на стр. 55 «Интересно», стр. 67 –портрет ученого.

Выполните упражнение №218(а,в,д.)

Смотрят и читают, выполняют упражнение №218 (а,в,д.)

Сейчас вы будете работать в виртуальной лаборатории «Арифметические выражения» упр. №, 215,216

Учащиеся выполняют задания на компьютере

Использование нового алгоритма и приведение аргументов

Применение ранее изученного, применение в новой теме.

Актуализировать необходимость выполнения правдоподобных, точных вычислений

На доске изображён квадрат

Впишите в пустые клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат получился магическим

Учащиеся заполняют пустые клетки квадрата

Формированиерегуляторного опыта:

прогнозирование, оценивание.

Наблюдение, сравнительный анализ.

(этап не обязателен для всех)

Применение ранее изученного, повторение

-Ребята у вас на столах лежат тексты с задачами для 1 и 2 варианта

Проверьте себя, сможете ли вы решить эти задачи?

Решают задачи

Развитие морально-этического сознания на основе проверки.

Информирования о домашней работе

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

– На дом задание – заполнить бланк письма волшебнику

Записывают задание

(если на уроке разбирался)

Записывают задание на дом

ЭП Интерактивные модели в виртуальной лаборатории «Арифметические выражения» упр. № 214

№ 218 (б,г,е) выполнить проверку в интерактивных упражнениях ЭП

если на класс закуплены тетради-тренажеры.

Развитие навыков нахождения за закономерностей.

Знакомство с табличным способами систематизации.

Планирование и прогнозирование, самоопределение через выбор.

Рефлексии

Инициировать предметную рефлексию

На партах открыт стр 67 учебника, на экране тоже -рубрика «Вопросы и задания»

– На какой из вопросов «Вы узнаете» вы получили ответ сегодня на уроке, а на какие вопросы раздела «Вопросы и задания вы можете теперь ответить».

Из рубрики «Вопросы и задания»:

а) (13+48)+(17+12)=

б) 2(3 5) 6 =

а + в = в + а

ав = в а

(а + в) +с = а + (в + с)

(ав) с = а  (в с)

а) 90

б) 180

Давать оценку проделанной работе, оценивать, целесообразность, объяснять причины успехов и неудач.

Домашнее задание вариант 1. (Отсроченное, проектное.)

а) _________________________________________ б) _________________________ в) __________________________

б) Вини-Пух , Пятачок и Сова собираясь в поход хорошо подготовились. Вини-Пух купил 126 конфет, что на 10 больше, чем у Пятачка. У Совы 24 конфеты. Сколько конфет было взято в поход?

в) У волшебника было 220 шоколадных конфет, что в 3 раза меньше, чем карамели. Сколько всего конфет у волшебника?

По вертикали: а) В этом году музей посетит 475 ребят, что на 54 больше, чем в прошлом. Сколько ребят посетило музей в прошлом году?

Г В коробке находятся шары: красных- 240, а зеленых в 2 раза больше. Сколько всего шаров в ящике?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Мои пожелания волшебнику:___________________________________________________________________________________________

1. Мы хорошо знаем законы страны Математики

а) ___________________________________ б) _______________________ в) _____________________

б) Вини-Пух и Пятачок и Сова собираясь в поход хорошо подготовились. Вини-Пух купил 128 конфет, что на 12 больше, чем у Пятачка. Сова купила 64 конфеты. Сколько конфет взяли в поход?

в) У волшебника было 310 шоколадных конфет, что в 2 раза меньше, чем карамели. Сколько всего конфет у волшебника?

По вертикали: а) В этом году музей посетит 684 ребят, что на 73 больше, чем в прошлом. Сколько ребят посетило музей в прошлом году?

г) В коробке находятся шары: красных -220, а зеленых в 2 раза больше. Сколько всего шаров в ящике?

Когда отцу было 27 лет, сыну было тогда три года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу.

Дедка вдвое сильнее, Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Детка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с, Мышкой могут вытащить репку ,а без Мышки – не могут. Сколько надо позвать мышек, чтобы они смогли сами вытащить репку?

Источник

Ranina

Мастер

(1157)

12 лет назад

ну, первое:
От перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
второе: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
третье : : c(a + b) = ca + cb.

Сергей

Знаток

(432)

12 лет назад

а*в=в*а; а+в=в+а; – переместительное
а (в+с) =ав+ас – распределительное
(a + b) + с = a + (b + c); ab)с = a(bc) – Сочетательное

СергейЗнаток (432)

12 лет назад

Прошу прощения
(a + b) + с = a + (b + c); (ab)с = a(bc) – Сочетательный

Павел Чупраков

Знаток

(260)

4 года назад

a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
ab = ba (переместительный закон умножения).
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

Гала

Ученик

(222)

3 года назад

1 Переместительный закон сложения и умножения:
От перемены мест слагаемых сумма не меняется. (Значение суммы при перестановке двух слагаемых не меняется.) a + b = b + a = с
От перемены мест множителей произведение не меняется. (Значение произведения при перестановке множителей не меняется.) a x b = b x a = с
2 Сочетательное свойство сложения и умножения: Для любых чисел a, b и c верны равенства: (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc)

3 Распределительное свойство умножения: Для любых чисел a, b и c верны равенства: (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Точно также из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
Для любых чисел a, b, c и d, верно равенство: a(b + c + d) = ab + ac + ad

4 правило деления суммы на число:
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить: (а + b) : с = а : с + b : с

5 Правило вычитания числа из суммы: 1. Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а из полученного результата (разности) вычесть второе слагаемое. Например: 126 — (56 + 30) = (126 — 56) — 30 = 40. В общем виде: а — (Ь + с) = (а — Ь) — с. Правило 2. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое. Правило 2 можно использовать при вычислении натуральных чисел только в случае, если одно из слагаемых больше вычитаемого числа. Например: (71 + 7) — 51 = (71 — 51) + 7 = 20 + 7 = 27, но нельзя (71 + 7) — 51 = (7 — 51) + 71,так как разность (7 — 51) — ненатуральное число. В общем виде: (а + Ь) — с = (а — с) + Ь.
6 правило вычитание суммы из числа
а-(х+у) = а-х-у. Если перед скобкой стоит знак “-“, то знаки в скобке меняются на противоположный

Данил Ларионов

Ученик

(124)

3 года назад

Елисей Ивкин

Ученик

(127)

2 года назад

От перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
второе: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
третье : : c(a + b) = ca + cb.

Андрей Тульский

Ученик

(108)

2 года назад

Источник