Какие свойства ты знаешь
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Тема: Объект и его свойства.
Цели:
- актуализировать знания по теме «Действия с
информацией»; - дать представление об объектах и их свойствах;
- развивать у учащихся интерес к предмету,
способность анализировать и сравнивать; - воспитывать дисциплинированность,
целеустремлённость и трудолюбие.
Тип урока: 1 ч – изучение нового
материала.
Средства обучения: презентация
«Объект и его свойства» (Приложение
1), учебник Матвеевой Н.В., Р.Т. – 4 класс
Структура урока, методы и затраты
времени
| Этапы урока | Содержание этапа | Время урока |
| Организация | Подготовка учащихся к уроку, проверка присутствующих на уроке | 0 – 3 |
| Мотивация | Объяснение темы, цели, плана проведения занятий | 4 – 5 |
| Актуализация знаний | 1. Какие действия с информацией ты знаешь? Перечисли. 2. Для чего люди представляют информацию на материальном носителе? Приведи пример из своей жизни. 3. Приведи пример преобразования информации из собственного опыта. 4. Приведи пример преобразования формы представления информации с изменением смысла. | 6 – 32 |
| Формирование новых понятий, сравнительная характеристика | Изложение нового материала – просмотр презентации «Объект и его свойства», конспектирование | |
| Закрепление полученных знаний | Ответы учащихся на вопросы преподавателя. Выполнение заданий в Р.Т. – №№1-7 | 33 – 36 |
| Подведение итогов урока Задание на дом | Контрольные вопросы по новому материалу. §3, РТ: №№8-10 | 37 – 40 |
КОНСПЕКТ ПО ТЕМЕ
Объект
Подумай и ответь на вопрос – ты сейчас
путешествуешь по Вселенной? Нет? Ты думаешь, что
сидишь в классе на уроке? А как быть с тем, что
здание школы стоит на Земле? А Земля – это
планета Солнечной системы, которая с огромной
скоростью мчится вместе с Солнцем и другими
планетами в бескрайнем космическом пространстве
Вселенной!
По сути, мы космические путешественники, так как
все мы именно сейчас, в эту минуту на
огромном космическом корабле по имени «Планета
Земля» путешествуем по Вселенной. Мы говорим о
Вселенной, значит она – объект нашего
внимания.
Всё то, на что мы обращаем наше внимание,
– любой предмет, человек, явление, событие –
будем называть объектом.
Рассмотрим это на примере. На рисунке
изображены петух и цыплёнок. Они «беседуют».
Здесь цыплёнок – объект внимания
петуха, а петух – объект внимания
цыплёнка.
! Объект – это общее название любого
предмета, живого существа, явления или события,
на которое направлено внимание (мысль).
Имя объекта. Всякий объект имеет имя.
Например: «вселенная», «компьютер», «гроза»,
«учебник информатики».
! Имя объекта может состоять из одного или
нескольких слов.
Свойства объекта
Объекты различают по их свойствам – форме,
цвету, размеру, вкусу, запаху, назначению и так
далее. Свойства объекта воспринимаются с помощью
органов чувств.
Ощущение, полученное, например, глазами, – это
зрительный сигнал. Мы говорим: объект светлый,
блестящий, круглый, большой, зелёный. Ухом мы
воспринимаем слуховой сигнал, о котором говорим:
громкий, шелестящий, звонкий. Кожей мы
воспринимаем тактильный сигнал (мокрый,
холодный, гладкий), языком – вкусовой сигнал
(горький, солёный, сладкий) и носом –
обонятельный сигнал (свежий, резкий, приятный).
! Органы чувств сигнализируют нам о
свойствах объекта.
Человеку и многим животным требуются и зрение,
и обоняние, и слух, и вкус, то есть им необходимо
получать сигналы от разных органов чувств. Мозг
воспринимает эти сигналы, обрабатывает, и тогда
человек принимает нужное ему решение.
Свойства имеют не только предметы и живые
существа, но и объекты, не являющиеся ими, но
обозначаемые именем существительным. Например,
любовь может иметь такие свойства: большая,
верная, бескорыстная. Радость может быть бурной,
искренней, бег – стремительным, быстрым, а
доброта – подлинной. Предложение тоже имеет свои
свойства: «выражать законченную мысль», «быть
вопросительным», «быть восклицательным», «быть
простым» или «быть сложным».
Существенные и несущественные свойства
Свойства объекта бывают существенными и
несущественными. В качестве примера рассмотрим
апельсин. Он круглый, оранжевый, ароматный,
полезный, вкусный, сочный. Важно ли для человека,
который хочет съесть апельсин, то, что он круглый
и оранжевый? Нет. В этой ситуации «круглый» и
«оранжевый» являются несущественными
свойствами. Для человека важно, что он вкусный,
сочный и полезный. В данном случае свойства
«вкусный», «полезный» и «сочный» — существенные.
Общие и отличительные свойства
Если сравнивать объекты и их свойства между
собой, то можно говорить о свойствах общих и
отличительных.
Общие свойства помогают объединять объекты
в группу (группа – это множество объектов, где
каждый объект является элементом этого
множества). Отличительные свойства помогают
отличить один объект от другого.
Например, свойство «защищать ноги» – это общее
свойство ботинок, сапог, сандалий и туфель. А вот
свойство «хранить тепло» – это отличительное
свойство зимней обуви, если сравнивать её с
летней.
! Всякий объект имеет свойства (признаки),
среди которых можно выделить существенные и
несущественные, общие и отличительные.
Описание объекта
Чтобы передать информацию об объекте, его
следует описать. Описать объект – значит
перечислить или отразить иным способом его
наиболее важные для данной ситуации свойства,
кроме того, следует назвать имя объекта, его
назначение и отношения с другими объектами.
Такое описание называют характеристикой
объекта.
Главное, что мы должны вспомнить
- Объект – это общее название любого предмета,
живого существа, явления или события, на которое
направлено внимание человека. - Объект имеет имя, назначение, свойства
(признаки) и отношения. - Все свойства объекта можно разделить на
существенные и несущественные, общие и
отличительные.
Знать
- Назови какой-либо объект реальной
действительности. Перечисли его свойства. - Назови имя объекта, на которое сейчас
направлено твоё внимание. Опиши этот объект
(перечисли его свойства). - Из скольких слов может состоять имя объекта?
Приведи свои примеры. - От чего зависит, если то или иное свойство мы
называем существенным? Приведи пример. - Приведи пример группы объектов с общим
свойством.
Источник
Основывается на сложении 2-х натуральных чисел. Сложение 3-х и больше чисел выглядит как последовательное сложение 2-х чисел. Кроме того, в силу переместительного
и , числа, которые складываются можно менять местами и заменять любые 2 из складываемых чисел их суммой.
Сочетательное свойство сложения
доказывает, что результат сложения 3-х чисел a, b
и c
не зависит от места скобок. Т.о., суммы a+(b+c)
и (a+b)+c
можно записать как a+b+c
. Это выражение называется суммой
, а числа a, b
и c
– слагаемыми
.
Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения
, равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d))
и a+((b+c)+d).
Т.е., итог сложения 4-х натуральных чисел a, b, c
и d
не зависит от места расположения скобок. В аком случае сумму записывают как: a+b+c+d
.
Если в выражении не расставлены скобки, а оно состоит из более,чем двух слагаемых, вы сами можете расставить скобки как вам больше нравится и, последовательно сложить по 2 числа, получив ответ. Т.е., процесс сложения 3-х и более чисел сводится к последовательной замене 2-х соседних слагаемых их суммой.
Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5
. Рассмотрим 2 способа из большого количества существующих.
Первый способ.
На каждом шаге заменяем первые 2 слагаемых суммой.
Т.к. сумма чисел 1
и 3
равна 4
, значит:
1+3+2+1+5=4+2+1+5
(мы заменили сумму 1+3 числом 4).
Т.к. сумма 4 + 2 равна 6, то:
4+2+1+5=6+1+5.
Т.к. сумма чисел 6 и 1 равна 7, то:
6+1+5=7+5
И последний шаг, 7+5=12
. Т.о.:
1+3+2+1+5=12
Мы произвели сложение, расставив скобки следующим образом: (((1+3)+2)+1)+5.
Второй способ.
Расставим скобки таким образом: ((1+3)+(2+1))+5
.
Так как 1+3=4
, а 2+1=3
, то:
((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5
Сумма 4-х и 3-х равна 7, значит:
(4+3)+5=7+5.
И последний шаг: 7+5=12.
На результат сложения 2-х, 3-х, 4-х и т.д. чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, записывания слагаемых. Т.о., при суммировании натуральных чисел можно изменять места слагаемых. Иногда это дает более рациональный процесс решения.
Свойства сложения натуральных чисел.
- Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить к нему единицу.
Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.
- При перестановке мест слагаемых сумма не меняется:
3 + 4 = 4 + 3 = 7 .
Это свойство сложения называется переместительным законом
.
- Сумма 3-х и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел.
Например: 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 = 12 ;
значит
: a + (b + c) = (a + b) + c .
Поэтому вместо 3 + (7 + 2)
пишут 3 + 7 + 2
и складывают числа по порядку, слева на право.
Это свойство сложения называют сочетательным законом сложения
.
- При прибавлении 0
к числу сумма равна самому числу.
3 + 0 = 3 .
И наоборот, при прибавлении числа к нулю, сумма равна числу.
0 + 3 = 3;
значит
: a + 0 = a ; 0 + a = a .
- Если точка C
разделяет отрезок АВ
, то сумма длин отрезков AC
и CB
равна длине отрезка AB.
AB = AC + CB.
Если
AC = 2 см
а
CB = 3 см,
то AB = 2 + 3 = 5 см
.
Можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел
. В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.
Навигация по странице.
Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Представим ситуацию: с первой яблони упало 1
яблоко, а со второй яблони – 2
яблока и еще 4
яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1
яблоко и еще 2
яблока, а со второй яблони упало 4
яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1
с суммой чисел 2
и 4
равен результату сложения суммы чисел 1
и 2
с числом 4
.
Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы
. Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c
, где a
, b
и c
– произвольные натуральные числа.
Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c
присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе ). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.
В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел .
Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.
Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком . Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел . Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел .
Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0
предметов), и в него помещают a
предметов, где a
– любое натуральное число. То есть, сложили 0
и a
предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a
.
Аналогично, если в ящике находится a
предметов и в него добавляют 0
предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a
предметов. Таким образом, a+0=a
.
Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу
. Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a
или a+0=a
, где a
– произвольное натуральное число.
Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a
.
Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю
. То есть, 0+0=0
.
Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел .
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Тема, которой посвящен этот урок, – «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.
Урок: Свойства сложения
Внимательно посмотрите на выражение:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?
Если мы перегруппируем числа по-другому:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.
Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.
В математике существует закон: Переместительный закон сложения
. Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?
Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.
Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.
6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)
Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Мы видим, что значение выражения осталось прежним.
Потренируемся еще на одном примере.
(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Значение нашего выражения осталось таким же.
Сочетательный закон сложения
: два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.
Теперь сумму 14 и 6.
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
Сделай дома
1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:
а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16
2. Вычислите результаты выражений:
а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1
3. Вычислите сумму удобным способом:
а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13
Свойства сложения – это первый шаг к ускорению счета. Ученик, владеющий всеми приемами быстрого сложения, имеет больше времени для сложных задач и проверки своего решения. Поэтому имеет смысл рассмотреть свойства сложения еще раз, чтобы правильно применять их на практике
Что такое сложение?
Для начала вспомним, что такое вообще сложение? Сложение это одна из первых операций, которые изучают в школе, а иногда даже в детском саду. Как правило, сложение объясняют на примере фруктов.
Если взять 3 груши и 2 яблока, сложить их в корзину, то груши это первое слагаемое, яблоки второе, а общее количество фруктов в корзине – сумма. Это определение нельзя назвать неправильным, но ученики растут, как растут и используемые числа. Сложно представить себе сложение сотен тысяч фруктов.
Поэтому в математике используют другое определение, которое гласит, что сложение это перемещение точки на числовой прямой в право.
Многие знания усложняются со временем. Так, если в начальной школе ученикам говорят, что отрицательный результат сложения это ошибка, то в 5 классе все уже знают, что такой ответ возможен. Так и с определением свойств сложения. Обычных фруктов просто не хватит для того, чтобы представить себе большие числа. Поэтому в старших классах уходят к теоретическим определениям.
Свойства сложения
Выделяют переместительное и сочетательное свойство. Переместительное свойство говорит нам о том, что от перемены мест слагаемых сумма не поменяется.
Сочетательное свойство утверждает, что в примерах, где два и более множителя, сложение может производиться в любом порядке. Главное в этом случае правильно сгруппировать слагаемые, чтобы ускорить вычисления, а не затруднить его еще сильнее. Самый простой вариант это смотреть на количество единиц в числе. В первую очередь нужно складывать те числа, сумма единиц в которых равняется 10, например 29 и 31 в сумме дадут 60.
После этого складывают целые десятки и только потом все остальное. Это наиболее простой и быстрый путь решение примеров на сложение.
На самом деле даже не каждый профессор сможет отличить применение сочетательного свойства от переместительного. Они крайне похожи, некоторые математики считают даже, что сочетательное свойство является продолжением переместительного. По той же причине учителя редко просят отличить применение в задаче одного свойства от другого. Нужно просто уметь пользоваться обоими.
Пример
Примеры сочетательного свойства сложения найти не трудно. Практически в каждом примере используется это свойство.
15*3+5-13-17-2-16-2 – для начала выполним умножение.
45+5-13-17-2-16-2 – теперь сгруппируем члены так, чтобы вычислить результат как можно быстрее. Для этого нужно вспомнить, что разность можно представить, как сумму отрицательных чисел. В нашем случае просто вынесем минус за знак скобок.
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16) – теперь выполним вычисления в скобках и найдем окончательный результат
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16)=50-30-0=0
Вот такой ответ получился у достаточно большого примера. Не стоит пугаться простых ответов вроде 0 или 1. Иногда составители примеров таким образом путают учеников.
Что мы узнали?
Мы поговорили о сложении, выделили сочетательное и переместительное свойства сложения. Поговорили о различиях этих свойств, а также о правильном применении сочетательного свойства сложения. Решили небольшой пример, чтобы показать применение сочетательного свойства на практике.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.6
. Всего получено оценок: 111.
Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц.
Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми
. А результат сложение число 7 называется суммой
.
Сумма
— это сложение чисел. Знак плюс “+”.
В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:
a+
b=
c
Компоненты сложения:
a
— слагаемое, b
— слагаемые, c
– сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7.
Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:
Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения
.
Переместительный закон сложения.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
В буквенной записи переместительный закон выглядит так:
a+
b=
b+
a
Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:
(1+2)+4=7
Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:
1+(2+4)=7
Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:
(1+2)+4=1+(2+4)
Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения
.
Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.
Сочетательный закон сложения.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
(a+
b)+
c=
a+(b+
c)
Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых. Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
(12+8)+(6+4)=30
Свойство сложения с нулем.
При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.
3+0=3
0+3=3
3+0=0+3
В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:
a+0=
a
0+
a=
a
Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:
Второй вариант таблицы сложения.
Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.
В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.
В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.
Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.
Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.
Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a
Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22
Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.
Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0 б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921
Источник