Какие свойства у эллипса

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 декабря 2020; проверки требуют 2 правки.

Эллипс, его фокусы и главные оси

Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток (эксцентриситета до 1)») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Определение[править | править код]

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

, причём .

Другие определения[править | править код]

Эллипс также можно определить как:

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружности на плоскость
пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Связанные определения[править | править код]

Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
Расстояние называется фокальным расстоянием.
Величина называется эксцентриситетом.
Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле , где — угол между радиусом и большой полуосью.
Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: . Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением
Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как для фокусов соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно .

Соотношения между элементами эллипса[править | править код]

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)

Координатное представление[править | править код]

Эллипс как кривая второго порядка[править | править код]

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и , где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ):

Соотношения

Если переписать общее уравнение в виде

то координаты центра эллипса:

угол вращения определяется из выражения

Направления векторов осей:

отсюда

Длины полуосей определяются выражениями

Обратное соотношение — коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса – можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку :

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:

Если ввести только угол, а центр эллипса оставить в начале координат, то

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в декартовой системе координат, коэффициенты (или, что то же самое, ) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. приведённая выше запись и

где , являются эквивалентными. Нельзя ожидать, что выражение

будет выполняться при любом .

Соотношение между инвариантой и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:

где — коэффициент при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:

Каноническое уравнение[править | править код]

Каноническое уравнение эллипса напрямую выводится из его определениия. Из определения ясно, что , где — фокусы эллипса; — любая точка эллипса. Допустим, что Тогда

При возведении этого выражения в квадрат, получаем

Снова возводим это выражение в квадрат и получаем

Обозначим . Тогда

Таким образом, поделив полученное выражение на , мы получаем что для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат[Комм. 1]. Отсюда же, выражая , можно получить

Соотношения[править | править код]

Для определённости положим, что .
В этом случае величины и — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса, можно вычислить:

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой :

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом :

Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид:

Условие касания прямой и эллипса записывается в виде соотношения .

Уравнение касательных, проходящих через точку :

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент :

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса, где касательная имеет угол с тангенсом, равным ):

Уравнение нормали в точке

Уравнения в параметрической форме[править | править код]

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где — параметр.

Только в случае окружности (то есть при ) параметр
является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах[править | править код]

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.
Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Вывод уравнения[править | править код]

Пусть r1 и r2 — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов.
Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол отсчитывается от направления на второй фокус.
Тогда из определения эллипса следует, что

Отсюда .
С другой стороны, из теоремы косинусов

Исключая из последних двух уравнений, получаем

Учитывая, что и , получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

Длина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ)

Длина дуги эллипса[править | править код]

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

где — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра[править | править код]

Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей ).
Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:
, где
Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей )
Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) погрешность составляет .
Погрешность всегда отрицательна.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

Точные формулы для периметра[править | править код]

Джеймс Айвори[1] и Фридрих Бессель[2]
независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

Альтернативная формула

где — Арифметико-геометрическое среднее 1 и ,
а — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.[3]

Площадь эллипса и его сегмента[править | править код]

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой[en], выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки и , можно определить по формуле[4]:

Если эллипс задан уравнением
, то площадь можно определить по формуле

Другие свойства[править | править код]

Оптические
- Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
- Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
Если и — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
- Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.
Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
Эксцентриситет эллипса, то есть отношение характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
- Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: ), то эллипс вырождается в окружность.
Экстремальные свойства[5]

где обозначает площадь фигуры .

Более того: равенство достигается в том и только в том случае, если ограничено эллипсом.

Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.

Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение[6]

Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше[⇦] эллипсографе.

Касательная, проходящая через точку , принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

Построение эллипса[править | править код]

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.

Инструментами для рисования эллипса являются:

эллипсограф
две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником[править | править код]

Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара
Эллипс Мандарта
Эллипс Штейнера

См. также[править | править код]

Кривая второго порядка
Парабола
Каустика
Эллипсоид
Эллипсограф
Гипербола
Окружность Аполлония
Овал Кассини

Комментарии[править | править код]

↑ Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение
описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.

Примечания[править | править код]

↑ Ivory, J. A new series for the rectification of the ellipsis (неопр.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1798. — Т. 4. — С. 177—190. — doi:10.1017/s0080456800030817.
↑ Bessel, F. W. The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825) (англ.) // Astron. Nachr. : journal. — 2010. — Vol. 331. — P. 852—861. — doi:10.1002/asna.201011352. — arXiv:0908.1824. Englisch translation of Bessel, F. W. Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (нем.) // Astron. Nachr. : magazin. — 1825. — Bd. 4. — S. 241—254. — doi:10.1002/asna.18260041601. — Bibcode: 1825AN……4..241B.
↑
Adlaj, Semjon (September 2012), An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <https://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf>
↑ Корн, 1978, с. 68.
↑ Фейеш Тот Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве//М., Физматгиз, 1958. 364 с.; глава II, § 4,6
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96, March 2012, 161—165.

Литература[править | править код]

Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.
Селиванов Д. Ф. Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.

Внешние ссылки[править | править код]

S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae (англ.)
Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers) (англ.), 2000—2005. — 20 c.
Видео: Как нарисовать эллипс

Источник

Главная >> Лекции >> Аналитическая геометрия >>Эллипс

Определение. Эллипс – это кривая, которая имеет уравнение . Это каноническое уравнение, в нем координатные оси совпадают с осями эллипса.

Он имеет два фокуса. Это такие две точки, сумма расстояний от которых до любой P(x,y) есть постоянная величина.

Чертеж

эллипс

F1 , F2 – фокусы . F1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина расстояния между F1 и F2;

a – большая полуось;

b – малая полуось;

r1 и r2 – фокальные радиусы.

Теорема. Фокусное расстояние c и полуоси связаны соотношением:

a2 = b 2 + c 2.

Доказательство: В случае, если М лежит на пересечении кривой с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если М – пересечение его с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянна, то , приравнивая, получаем:

a 2 = b2 + c 2

r1 + r2 = 2 a .

Сумма расстояний от любой точки до фокусов величина постоянная и равна 2а.

Эксцентриситет эллипса

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая равна отношению е = с/a и называется эксцентриситетом .

Т.к. с < a , то е < 1.

Определение. Величина k = b / a – коэффициентом сжатия , а величина 1 – k = ( a – b )/ a – сжатие.

Коэффициент сжатия и e связаны соотношением: k2 = 1 – e 2 .

Если a = b ( с = 0, e = 0), то эллипс превращается в окружность.

Если для М(х 1 , у 1 ) выполняется условие: , то она находится внутри линии эллипс, а если , то M находится вне его.

Теорема. Для произвольной М(х, у), принадлежащей кривой верны соотношения:

r 1 = a – ex , r2 = a + ex .

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2 a . Из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex . Теорема доказана.

Директрисы

С эллипсом связаны пара прямые, называемые директрисами . Они имеют вид:

x = а / e ; x = – а / e .

директрисы

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе линии эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось е.

Примеры

Соберем все формулы про эллипс вместе:

– уравнение эллипса;
координаты левого фокуса (-c,0) и прового (c,0);
связь a, b, и с a 2 = b2 + c 2;
e = c/a эксцентриситет;
r1 = a + ex, r2 = a – ex;
директрисы x = -a/e, x = a/e;

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через F1 и нижнюю вершину линии эллипс:

Решение:

Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
Координаты фокуса: с2 = а2 – b2 = 25 – 16 = 9; с = 3; F1 (-3; 0).
Прямая, проходящей через две точки:

Пример 2. Найти эллипс, у которого F1 (0; 0), F2 (1; 1), и большая ось равна 2.

Решение:

Уравнение эллипса имеет вид: . F1F2:

2*с = , а2 – b2 = с2 = 1/2

по условию 2а = 2, а = 1, b =

Ответ: .

Пример 3. Дана кривая 9×2 + 25y2 = 225. Найти: 1) показать, что это эллипс и найти его полуоси 2) эксцентриситет 3) директрисы.

Решение:

Разделим обе стороны на 225

сократим на 225

Следовательно, 1) полуоси a = 5, b = 3, 2) F1(-c, 0) и F2(c, 0) с определим из равенства b2 = a2 – c2, c2 = a2 – b2= 25 – 9 = 16, c = 4, поэтому левый фокус (-4, 0) и правый (4, 0).

3) e = c/a=4/5.

4) директрисы x = ±a/e =±5*5/4=±25/4.

Пример 4. Эксцентриситет эллипса e = 1/3, центр его совпадает с началом координат, F1 (-2;0). Вычислить расстояние от точки M1 с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

Решение:

Т.к. F1 (-2;0), то с = 2. Зная с и e = 1/3, определим а. e = c/a, a = c/e = 2*3=6. Директриса x = -a/e = -6*3 = -18. Точка M1 имеет координату х = 2. Следовательно, d = |-18|+2=20.

Пример 5. Определить точки эллипса x2/100+y2/36 =1, расстояние от которых до F2 равно 14.

Решение:

a = 10, b = 6, c2 = a2 – b2 = 100 -36 = 64 = 82. Найдем эксцентриситет e = c/a = 8/10 = 4/5. Используем формулу для r2 = a – ex, 14 = 10 – 4/5*x, отсюда х = -5. Подставим в исходное координату х и найдем у = ±√27 = ±3√3. Условиям задачи удовлетворяют точки (-5; 3√3) и (-5; -3√3).

Автор статьи Степанов Владимир

Источник

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

Их несколько:

имеются две оси и один центр симметрии;
при равенстве полуосей линия превращается в окружность;
все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);
c – половина фокального расстояния;
M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

Согласно определению,

MF1 + MF2 = 2a,

поэтому

После ввода ещё одного обозначения

b2 = a2 – c2

получается наиболее простой вид уравнения:

a2b2 – a2y2 – x2b2 = 0,

a2b2 = a2y2 + x2b2,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b < a) уравнение не изменится, однако, будет выполняться условие

Такое уравнение называется каноническим, то есть наиболее простым.

Каждое слагаемое в левой части не превосходит единицу.

При возрастании значения lxl уменьшается lyl и наоборот.

В случае (a > b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

если b > a, то

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

<br />

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

, где

(xo;y0) – крайняя точка сегмента.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

r = b.

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

R = a.

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

<br />

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Отмечаются вершины:

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

<br />

Источник