Какие свойства у параллелограмма

Первым делом проведем диагональ ( AC ). Получаются два треугольника: ( ABC ) и ( ADC ).

Так как ( ABCD ) — параллелограмм, то справедливо следующее:

( AD || BC Rightarrow angle 1 = angle 2 ) как лежащие накрест.

( AB || CD Rightarrow angle3 = angle 4 ) как лежащие накрест.

Следовательно, ( triangle ABC = triangle ADC ) (по второму признаку: ( angle 1 = angle 2, angle 3 = angle 4 ) и ( AC ) — общая).

И, значит, ( triangle ABC = triangle ADC ), то ( AB = CD ) и ( AD = BC ).

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: ( AB = CD ). Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что ( triangle AOB = triangle COD ) по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, ( BO = OD ) (напротив углов ( angle 2 ) и ( angle 1 )) и ( AO = OC ) (напротив углов ( angle 3 ) и ( angle 4 ) соответственно).

Рассмотрим подробнее. Почему ( AD || BC )?

( triangle ABC = triangle ADC ) по свойству 1: ( AB = CD ), ( angle 1 = angle 2 ) как накрест лежащие при параллельных ( AB ) и ( CD ) и секущей ( AC ).

Но если ( triangle ABC = triangle ADC ), то ( angle 3 = angle 4 ) (лежат напротив ( AD || BC ) (( angle 3 ) и ( angle 4 ) – накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ ( AC ).

По свойству 1 ( triangle ABC = triangle ACD ).

Из этого следует, что: ( angle 1 = angle 2 Rightarrow AD || BC ) и ( angle 3 = angle 4 Rightarrow AB || CD ), то есть ( ABCD ) — параллелограмм.

Второй признак верен.

( 2 alpha + 2 beta = 360^{circ} ) (поскольку ( angle A = angle C ), ( angle B = angle D ) по условию).

Получается, ( alpha + beta = 180^{circ} ). Но ( alpha ) и ( beta ) являются внутренними односторонними при секущей ( AB ).

И то, что ( alpha + beta = 180^{circ} ) говорит и о том, что ( AD || BC ).

При этом ( alpha ) и ( beta ) — внутренние односторонние при секущей ( AB || CD ).

Третий признак верен.

( BO = OD ); ( AO = OC ), ( angle 1 = angle 2 ) как вертикальные ( Rightarrow triangle AOB = triangle COD ), ( Rightarrow angle 3 = angle 4 ), и ( Rightarrow AB || CD ).

Аналогично ( BO = OD ); ( AO = OC ), ( angle 5 = angle 6 Rightarrow triangle AOD = triangle BOC Rightarrow angle 7 = angle 8 ), и ( Rightarrow AD || BC ).

Четвертый признак верен.

Общие сведения о фигуре

Параллелограмм — это четырехугольник на плоскости, у которого присутствует равенство противоположных сторон, причем они лежат на параллельных прямых. Ромб, прямоугольник и квадрат — его частные случаи. Из него состоят более сложные объемные фигуры. Например, параллелепипед и куб. Высота параллелограмма — отрезок, который является перпендикуляром, проведенным к нижней стороне геометрической фигуры.

Всего можно провести четыре высоты. Две из них можно провести из вершин углов, которые лежат в параллелограмме и являются тупыми. Другие две высоты проводятся из острых углов (находятся вне фигуры). Углы делятся на шесть типов: острые, прямые, тупые, развернутые, выпуклые и полные.

Первый тип, градусная размерность которого меньше 90, является острым. Если значение равно 90, то он является прямым, и соответствует второму типу. В случае, когда выполняется условие 90 < a < 180, то угол считается тупым. При равенстве a = 180 — развернутый. При неравенстве 180 < a < 360 — выпуклый (смежный с ним угол является острым). Полным называется угол, градусная мера которого соответствует 360.

Для решения задач и выполнения расчетов необходимо знать следующие аспекты: свойства и признаки параллелограмма, а также уметь находить его углы, стороны, диагонали, периметр и площадь. Кроме того, следует знать не только основные соотношения фигуры, которая вписана в окружность, но и в случае, когда окружность находится внутри нее.

Информация о признаках

Признаки позволяют выяснить принадлежность фигуры к параллелограмму. Например, существует произвольный четырехугольник, и нужно выяснить, является ли он параллелограммом. Необходимо отметить, что при условии совпадения хотя бы одного из признаков, этот четырехугольник является им. Проверку следует производить, руководствуясь следующими утверждениями:

• Параллельность и равенство двух любых сторон.
• Равенство противолежащих сторон.
• Углы, которые являются противолежащими, равны.
• Точка пересечения диагоналей (центр симметрии) делит их на два равных отрезка.
• При выполнении равенства (d — диагонали): (d1)^2 + (d2)^2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .

Последний признак можно записать для упрощения расчетов следующим образом: sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * (a 2 + b 2 ). Равенство можно упростить, поскольку противоположные стороны равны.

Основные свойства

Для решения задач и проектирования деталей необходимо знать основные свойства параллелограмма. Некоторые из них были получены при доказательстве и следствиях из теорем. К ним относятся следующие:

• Ромб, квадрат и прямоугольник — параллелограммы.
• Противоположные стороны одинаково равны и параллельны.
• Противолежащие углы равны.
• Суммарное значение градусной меры всех внутренних углов параллелограмма составляет 360.
• Сумма углов, прилегающих к одной из вершин, составляет 180 градусов.
• Диагональ делит фигуру на два треугольника, которые равны между собой по всем признакам.
• Две диагонали (одна — большая, а другая — меньшая) делят параллелограмм на две пары треугольников, которые равны между собой.
• Диагонали фигуры пересекаются, а точка пересечения делит их пополам (через нее можно провести среднюю линию, которая параллельна сторонам).
• Точка пересечения двух диагоналей является симметрией фигуры.
• Биссектрисы соседних углов пересекаются под углом в 90 градусов, а противоположных являются параллельными.
• sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * ((a)^2 + (b)^2).

Однако для выполнения расчетов признаков и свойств параллелограмма недостаточно. В некоторых случаях требуется вычислить периметр и площадь фигуры. Соотношения используются не только в учебных заведениях, но и в научных исследованиях. Простым примером является нахождение площади поперечного сечения проводника. Это может понадобиться для дальнейшего вычисления электрического сопротивления.

Определение периметра

Периметром (P) любой фигуры является сумма длин всех ее сторон. Следовательно, для параллелограмма найти это значение является несложным. Базовая формула периметра параллелограмма имеет следующий вид: P = a + b + c + d = 2 * (a + b). Кроме того, существуют и другие соотношения для нахождения этой величины:

1. Если известны одна из сторон и две диагонали.
2. Нахождение периметра через сторону, высоту и синус угла.

В первом случае соотношение для стороны «a» записывается следующим образом: P = 2 * a + sqrt [2 * (d1 * d1 + d2 * d2 — 2 * a^(2))]. Для «b» запись изменяется таким образом: P = 2*b + sqrt [2 * (d1^(2) + d2^(2) — 2 * b^(2))].

Во втором случае, когда известна сторона «а», угол BAD и высота Ha, периметр записывается формулой вида: P = 2 * [a + Ha / sin (BAD)]. Для стороны «b», угла BAD и высоты Hb равенство принимает следующий вид: P = 2 * [b + Hb / sin (BAD)]. Если проанализировать последние два соотношения, то величины «Hb / sin (BAD)» и «Hа / sin (BAD)» являются стороной «b» и «a» соответственно.

Вычисление площади

Площадь параллелограмма (S) — это пространство, которое ограничено его сторонами, и равно произведению одной из сторон на высоту, проведенную к одноименному основанию. Базовая формула нахождения значения S является следующей: S = a * Ha = b * Hb. Кроме того, существует два способа нахождения ее значения, когда известны следующие величины:

1. По сторонам и углу.
2. Две диагонали и синус углов f или g между ними.

Можно записать соотношение следующим образом: S = a * b * sin (BAD) = a * b * sin (ABC). В последнем случае математическая запись площади имеет следующий вид: S = 0,5 * d1 * d2 * sin (f) = 0,5 * d1 * d2 * sin (g). Кроме того, существует формула Герона, которая позволяет вычислить площадь параллелограмма. Для этого необходимо вычислить полупериметр (p) треугольника со сторонами a, b и d: p = P / 2 = (a + b + d). Формула имеет вид: S = sqrt[p * (p — a) * (p — b) * (p — d)].

Соотношения сторон и диагоналей

В некоторых задачах необходимо определить неизвестные длины сторон или диагонали. Можно попытаться вывести соотношения, однако эта процедура занимает некоторое время. Следовательно, проще воспользоваться уже готовыми формулами. Стороны параллелограмма можно определить четырьмя основными выражениями. При этом следует знать следующие величины:

1. Диагонали и угол.
2. Другую сторону и диагонали.
3. Высоту и значение синуса угла в градусах.
4. Площадь и высоту.

В первом случае для вычисления длины стороны «а», следует воспользоваться следующей формулой: a = [sqrt (d1 *d1 + d2 * d2 — 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2. Значение стороны «b» вычисляется немного иначе: b = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2.

При известных значениях диагоналей и одной из сторон, соотношение имеет более простой вид, чем в первом случае: a = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * b 2 ))] / 2 и b = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * a 2 ))] / 2.

Когда известны высоты и угол BAD, можно найти стороны a и b: a = Hb / sin (BAD) и b = Ha / sin (BAD). Если известны площадь и высота, то соотношение принимает следующий вид: a = S / Ha и b = S / Hb.

Диагональ параллелограмма — отрезок, который соединяет его противоположные внутренние углы. Фигура имеет две диагонали, одна из которых длинная (d1), а другая является короткой (d2). Их можно найти, используя 4 соотношения. Это возможно в том случае, когда известны следующие данные:

• Стороны и косинус угла ABC.
• Cos (BAD) и стороны.
• Одну известную диагональ и стороны.
• Площадь, диагональ и угол между d1 и d2.

В первом случае можно воспользоваться следующими формулами (теорема косинусов): d1 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (ABC)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (ABC)]. Во втором: d1 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (BAD)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (BAD)].

Когда известны две стороны и одна из диагоналей, то можно воспользоваться третьим случаем: d1 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d2)^2] и d2 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d1)^2]. В последнем случае равенства для нахождения диагоналей имеют такой вид: d1 = 2 * S / [(d2) * sin (f)] = 2 * S / [(d2) * sin (g)] и d2 = 2 * S / [(d1) * sin (f)] = 2 * S / [(d1) * sin (g)].

Параллелограмм и окружность

Существуют определенный тип задач, в которых речь идет о параллелограмме и окружности. Всего бывает два варианта: вписанная и описанная окружности. Следует отметить, что не всегда это возможно. Существуют определенные условия, при которых возможны такие операции. Кроме того, следует обратить особое внимание на дополнительные свойства, которые появляются при комбинации данных фигур. Можно не только чередовать комбинации, но и использовать одновременно.

Для решения сложного типа задач и выполнения расчетов, в некоторых случаях рекомендуется применять вписанные и описанные окружности. Например, при проектировании деталей, необходимо полностью подогнать ее размеры, поскольку они должны быть правильной формы. При помощи окружности (вписанной или описанной) можно выявить ряд дефектов, которые могут привести к некорректной работе механизма.

Круг и прямоугольник

Главное условие: любой четырехугольник можно вписать в окружность, когда сумма его двух противоположных углов составляет 180 градусов. У параллелограмма есть одно свойство: сумма углов, которые прилегают к любой из вершин, составляет 180 градусов. Кроме того, сумма всех его углов составляет 360, а, следовательно, сумму противоположных углов составляет 360 — 180 = 180 (градусов).

Однако при попытке описать около него окружность ничего не выйдет, поскольку есть одно свойство: противоположные углы у него равны. Ими могут быть тупые и острые. Сумма градусной меры тупых углов будет больше 180, а острых — меньше. Когда противоположные углы будут равны 90, то значит их сумма составит 180. В этом случае нужно рассматривать частный случай — прямоугольник. Появляется очень важное свойство: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения (центром окружности) делятся пополам, а также являются диаметрами окружности.

Для нахождения радиуса окружности, следует воспользоваться следующим соотношением (при условии, что известны стороны прямоугольника): R = [sqrt (a 2 + b 2 )] / 2 = d / 2. Величина «d» является диаметром.

Ромб и квадрат

В параллелограмм также можно вписать окружность. Однако для этого необходимо выполнение определенного условия. Оно заключается в следующем: суммы противолежащих сторон параллелограмма должны быть равны. Нужно отметить, что это выполняется только для ромба и квадрата.

Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны, а углы не равны 90 градусов. Квадрат — геометрическая фигура, у которой все стороны и углы равны. Из последнего определения можно найти значение градусной меры одного угла: 360 / 4 = 90. Последняя фигура является частным случаем ромба. Радиус окружности находится с помощью формулы: r = S / p = 0,5 * H. В этом соотношении переменные S, p и H — площадь, полупериметр и высота соответственно. Для нахождения S можно воспользоваться такими соотношениями:

• Известны длина стороны (а) и высота (H): S = a * H.
• Через диагонали d1 и d2: S = d1 * d2 / 2.

Полупериметром фигуры называется половина от значения ее периметра. Соотношение записывается таким образом: p = P / 2 = 4 * a.

Таким образом, знать основные свойства и признаки параллелограмма необходимо, поскольку от этого может зависеть не только качество сдачи экзаменов, решения задач, но и проектирование различных деталей.