Какие свойства у высоты

Там, где есть высота, есть и прямой угол.

А значит, и прямоугольный треугольник, который поможет тебе решить массу задач!

И простые подобия, и «хитрые подобия с косинусом», и другие свойства прямоугольных треугольников!

И самое главное – не нужно ничего запоминать.

Научись выводить и никогда не ошибёшься, сможешь всегда себя проверить и решить любую задачу!

Все в этой статье. Читай.

ШПОРА ПО ВЫСОТЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: ( displaystyle A{{H}_{A}}:B{{H}_{B}}:C{{H}_{C}}=frac{1}{BC}:frac{1}{AC}:frac{1}{AB}).

Способы вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:

• Через сторону и угол треугольника: ( displaystyle A{{H}_{A}}=ACcdot sin C=ABcdot sin B).
• Через все 3 стороны треугольника:( displaystyle A{{H}_{A}}=frac{2}{BC}cdot sqrt{pcdot (p-BC)cdot (p-AC)cdot (p-AB)}),где ( displaystyle p) – полупериметр треугольника: ( displaystyle p=frac{AB+BC+AC}{2}).
• Через сторону и площадь треугольника: ( displaystyle A{{H}_{A}}=frac{2S}{BC}).
• Через стороны треугольника и радиус описанной окружности:
  ( displaystyle A{{H}_{A}}=frac{ABcdot AC}{2R}),где ( displaystyle R) – радиус описанной окружности.

Давай нарисуем:

На этом рисунке ( displaystyle BH) – высота.

Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота?

Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Давай попробуем.

Применяем теорему Пифагора к треугольнику ( BCH):

( B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}), то есть ( 13=4+C{{H}^{2}}); ( CH=3).

А теперь теорема Пифагора для ( Delta ABH):

( A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}); то есть ( 40=A{{H}^{2}}+4); ( AH=6).

Теперь осталось только заметить, что ( AC=AH-CH=6-3=3).

Нашли!

А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:

Смотрим, как это бывает:

a) Сами высоты пересекаются:

• Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
• Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке.
  (Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности)

Высота треугольника –линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, содержащей эту высоту).

Немного о терминологии: основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

Первый «неожиданный факт»:

( displaystyle Delta AB{{H}_{A}}sim Delta ~CB{{H}_{C}})

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол ( displaystyle B) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

( Delta A{{H}_{C}}Hsim{ }Delta C{{H}_{A}}H)

Третий, по-настоящему неожиданный факт:

( Delta ABCsim Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}})

• Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол ( B).
• А во-вторых… Ты помнишь ещё первый “неожиданный” факт? Ну, что ( Delta A{{H}_{A}}Bsim Delta C{{H}_{C}}B)? Вспоминаем и применяем!

• Угол ( B) – общий;
• Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы: ( frac{{{H}_{C}}B}{BC}=frac{{{H}_{A}}B}{AB}).

Значит, мы получили, что:

Но самое интересное ещё впереди!

Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение ( frac{{{H}_{C}}B}{BC})?

Рисуем:

Значит, ( frac{{{H}_{C}}B}{BC}=cosangle B).

Потрясающе, не правда ли?

Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее – которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!