Какие свойства умножения использовались

Какие свойства умножения использовались thumbnail
  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Умножение
  5. Свойства умножения

1) Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не изменится.

3 • 4 = 12

4 • 3 = 12

Значит, 3 • 4 = 4 • 3

2) Сочетательное свойство: два соседних множителя можно заменить их произведением.

(6 • 2) • 5 = 6 • (2 • 5)

3) Распределительное свойство: при умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.

(3 + 10) • 7 = 3 • 7 + 10 • 7 = 91.

4) Чтобы умножить сумму на число, можно сначала выполнить сложение и полученный результат умножить на число:

(3 + 10) • 7 = 13 • 7 = 91.

5) Чтобы умножить число на произведение, можно сначала выполнить умножение в скобках, а затем умножить число на полученный результат:

4 • (3 • 5) = 4 • 15 = 60.

6) Чтобы умножить число на сумму, можно сначала выполнить сложение, а затем умножить число на полученный результат:

2 • (3 + 5) = 2 • 8 = 16

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Табличное умножение

Внетабличное умножение

Умножение суммы на число

Умножение на однозначное число в столбик

Умножение на числа, оканчивающиеся нулями

Умножение

Правило встречается в следующих упражнениях:

3 класс

Страница 46. Вариант 1. Проверочная работа 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 47. Вариант 2. Проверочная работа 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 83,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 91,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 101,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 105,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 106,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

4 класс

Страница 20,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 23,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 24,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 43,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 83,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 24,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 42,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Источник

  • Переместительное свойство умножения
  • Сочетательное свойство умножения
  • Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42;

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить  25  на  4  и получить  100,  а уже потом умножить  100  на  15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

m · (ab) = m · am · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

(ab) · m = a · mb · m.

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (ab)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · am · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · am · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (ab)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a

a и b – любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

                        Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения – ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Читайте также:  У какого элемента более ярко выражены металлические свойства

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде:

a·b·c=a·b·c

a, b, c – любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

 4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24

4·3·2=4·3·2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо. 

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

            Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Распределительное свойство относительно умножения

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. 

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b+c=a·b+a·c

a, b, c – любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.

4·3+2=4·3+4·2=12+8=20

С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. 

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

                 Распределительное свойство относительно умножения

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b-c=a·b-a·c

a, b, c – любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим “плюс” на “минус” и запишем:

4·3-2=4·3-4·2=12-8=4

С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1·a=∑i=1a1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1·a=a·1=a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.

0·a=0.

По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю. 

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Источник

Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами (множителями, сомножителями). Иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем; результат умножения двух аргументов называется их произведением.

Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения[1].

Так, для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение — чтобы умножить число на число надо сложить чисел :

.

Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-сомножителей не влияет на результат их умножения.
Например, умножение чисел и может быть записано как , так и (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число . Проверка через сложение:

,
.

Умножение также определено для целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел путём систематического обобщения[⇨].

Умножение других математических, физических и абстрактных величин (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.) не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность[⇨].

Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец[1].

Формы записи и терминология[править | править код]

Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.

Результат записывается с использованием знака равенства «», например:

(«шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо пишется . Как правило, знак умножения опускают, если одним из сомножителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: , , .

Традиционно при записи произведения нескольких сомножителей числа записывают перед переменными, а переменные перед функциями. Так, выражение будет записано как .

Свойства[править | править код]

Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах .

  • Умножение коммутативно, то есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения[2]:

Коммутативность:

  • Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения[2]:

Ассоциативность:

  • Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон[2]:

Дистрибутивность: Нейтральный элемент:

  • Умножение на идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: Нулевой элемент:

Операция умножения чисел, определённых на множествах , даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Читайте также:  По каким свойствам мы различаем вещества окружающий мир 4 класс

Выполнение умножения[править | править код]

При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).

Примерный алгоритм процедуры поразрядного умножения двух чисел

Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.

Пример пошагового умножения 3 ∙ 3 = 9 на числовой прямой.

«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:

где — последовательное сложение элементов.

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы[3]:

Таблица для умножения в десятичной системе счисления

*123456789
00
1123456789
224681012141618
3369121518212427
44812162024283236
551015202530354045
661218243036424854
771421283542495663
881624324048566472
991827364554637281

Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Умножение чисел[править | править код]

Натуральные числа[править | править код]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:

где: прямое произведение множеств — множество  , элементами которого являются упорядоченные пары   для всевозможных  . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа и  такие, что:

где ;

— количество цифр в числе ; — порядковый номером разряда (позиции), ; — основание системы счисления; множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:,,; тогда:

умножая поразрядно, получаем промежуточных результатов:

где: — значение переноса, — функция нахождения остатка от деления, — функция нахождения неполного частного.

Затем полученные промежуточных результатов складываем:

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел , с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

Целые числа[править | править код]

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел [4] вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .

Рациональные числа[править | править код]

Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда[5]:

Пример умножения:

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа[править | править код]

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[6] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их произведением называют число , определённое произведением последовательностей и :

вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

Таким образом произведением двух вещественных чисел   и  является такое вещественное число  которое содержится между всеми произведениями вида  с одной стороны и всеми произведениями вида  с другой стороны[7].

На практике для того, чтобы умножить два числа и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение произведения чисел берут произведение указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и . Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения , с точностью до 3-го знака после запятой:

График[править | править код]

На множестве пар вещественных чисел график функции умножения является проходящим через начало координат гиперболическим параболоидом.

График функции с(a,b)=a*b

Комплексные числа[править | править код]

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом .

Читайте также:  Какие полезные свойства пырея

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

где: , — мнимая единица.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости.

где: модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа в показательной форме, на комплексное число  сводится к повороту вектора, соответствующего числу , на угол   и изменению его длины в раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

где: — число e.

Экспоненциальная запись[править | править код]

В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где  — мантисса,  — характеристика числа, — основание системы счисления, . Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики:

Например:

Умножение произвольных чисел[править | править код]

При умножении чисел, принадлежащих разным множествам, например , необходимо произвести преобразование (приведение) одного из множителей к типу второго (если существует такая возможность). Для этого число из множества с меньшей мощностью «расширяется» в сторону числа из множества с большей мощностью: . В данном примере следует воспользоваться тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных и трактовать натуральное число как рациональное число . Исходное выражение превращается в умножение двух рациональных чисел: .

Умножение физических величин[править | править код]

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность), например, для длины — метр (м), для времени — секунда (с), для массы — грамм (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью[8], например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м обладает площадью, получаемой умножением длин сторон:

5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².

Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее[9].

Например, если умножить скорость равномерно и прямолинейно движущегося тела, равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «расстояние» и измеряется в метрах:

5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое количество (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, относительная плотность является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении величины с размерностью на безразмерную величину результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:

5 м · 3 = 15 м.

Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в футах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:

16,4 фута · 3 = 49,2 фута.

Умножение последовательностей[править | править код]

Произведение элементов последовательности может быть компактно записано с помощью специального символа умножения, восходящего к заглавной букве Π (пи) греческого алфавита, как показано в примере:

Снизу записывается символ свободной переменной (в данном случае ), называемой «индексом умножения», вместе с начальным значением (в данном случае 1). Сверху записывается конечное значение (в данном случае 4) в виде числа или переменной, либо символ бесконечности , если предполагается бесконечное произведение. Такую запись можно «развернуть» в выражение, в котором последовательно подставляются значения индекса умножения от начального до конечного значения:

где m и n есть целые числа или выражения, которые вычисляются в целочисленные значения.

Если значения индекса заданы некоторым множеством, то многократное произведение может быть записано с его помощью, например

.

Такая запись означает, что переменная «пробегает» все значения, принадлежащие множеству .

См. также[править | править код]

  • Бруски Женая — Люка
  • Деление
  • Возведение в степень

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Умножение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. 1 2 3 Так это свойство обычно называется в школьных учебниках
  3. ↑ Истомина, 2005, с. 165.
  4. ↑ Выгодский, 2003.
  5. ↑ Гусев, 1988, с. 20.
  6. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  7. ↑ Ильин, 1985, с. 46.
  8. Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста. brestschool7.iatp.by. Дата обращения 18 апреля 2016.
  9. Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин. lithology.ru, Литология.РФ. Дата обращения 18 апреля 2016.

Литература[править | править код]

  • Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (рус.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
  • Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
  • Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (рус.). — Просвещение, 1966. — 296 с.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (рус.). — Просвещение, 1988. — 416 с.
  • Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. (рус.). — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (рус.). — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
  • В.И. Игошин. КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
  • Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования. (рус.). — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.

Ссылки[править | править код]

  • Умножение: по-японски, по-итальянски и методом майя

Источник