Какие свойства выполняются для длин отрезков

Математика

6 класс

Урок № 75

Длина отрезка

Перечень рассматриваемых вопросов:

• длина отрезка;
• единицы измерения длины;
• способы измерения длины отрезка;
• решение задач на вычисление длины отрезка.

Тезаурус

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Что такое отрезок?

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Как отрезки обозначаются на чертежах?

Отрезок можно обозначить двумя заглавными буквами – отрезок АВ. Или можно обозначить отрезок одной строчной буквой – отрезок с.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Длина может быть выражена натуральным или дробным числом.

Измерить отрезок – значит найти его длину.

Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Свойства длин отрезков:

– равные отрезки имеют равные длины;

– если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при её измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно выбрать единицу длины.

Такой единицей может быть длина произвольного отрезка. В мультфильме «38 попугаев» герои измеряли длину удава в попугаях.

Для определения длины отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается выбранная единица измерения.

Можно сравнивать длины отрезков, не имея под рукой линейки. Например, прикладывать к отрезкам один и тот же карандаш, ластик или использовать циркуль. Для этого нужно установить иглу в начало отрезка, провести дугу, пересекающую отрезок, затем, не меняя расстояния между иглой и карандашом циркуля, переставить иглу в точку пересечения и повторить действия.

В десятичной системе мер единицами измерения длины являются 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м и т. д.

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка. Измерения небольших отрезков удобно производить с помощью линейки.

Прикладываем линейку так, чтобы один конец отрезка совместился с нулём. Единичный отрезок 1 см отложился 7 раз, значит, длина отрезка АВ = 7 см.

Если единичный отрезок 1 см отложился n раз, и осталась часть меньшая 1 см, то откладываем отрезки равные 1/10 см. Длина отрезка СD = 8,7 см.

При необходимости можно продолжить откладывать по 1/100 части единичного отрезка и т. д.

Алгоритм измерения длины отрезков:

– выбрать какой-либо отрезок и принять его за единицу длины;

– от одного из концов отрезка отложить последовательно отрезки, равные единичному;

– если единичные отрезки отложились n раз и конец последнего совпал с концом измеряемого отрезка, то значение его длины равно n единиц длины;

– если отрезок или его часть меньше единичного отрезка, то нужно отложить отрезки, равные 1/10 части единичного отрезка;

– если десятые части единичного отрезка отложились ровно n раз, то длина измеряемого отрезка есть конечная десятичная дробь, в которой целая часть равна количеству целых единичных отрезков, а после запятой в разряде десятых стоит количество десятых частей единичного отрезка;

– при необходимости можно откладывать 1/100 часть единичного отрезка и т. д.

Таким образом, для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

И для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

На практике используют приближённое значение длин отрезков, например, с точностью 1/10 или 1/100 части единичного отрезка, но точность приближения зависит от поставленной задачи.

Рассмотрим фигуры, составленные из отрезков.

Возьмем на плоскости несколько точек и соединим их отрезками. Если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой, то линию называют ломаной.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются звеньями, а концы этих отрезков – вершинами ломаной.

Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.

Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой.

Замкнутая ломаная линия, у которой звенья не пересекаются между собой, называется многоугольником.

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите верный ответ.

Точка P лежит на отрезке AB. Известно, что отрезок AP больше отрезка PB на 3,6 см, а отрезок AB = 10,4 см. Найдите длину отрезка PB.

Решение:

Пусть PB = x, тогда AP = x + 3,6 см.

По условию AB = 10,4 см.

Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

PB + AP = AB.

Составим и решим уравнение:

x + x + 3,6 = 10,4,

2x + 3,6 = 10,4,

2x = 10,4 – 3,6,

2x = 6,8,

x = 3,4.

Значит, длина отрезка PB = 3,4 см.

Ответ: 3,4 см.

Тип 2. Множественный выбор

Выберите верные ответы.

Задача 2

Известно, что отрезок AС = 3,6 см, а отрезок BС = 7,5 см. Найдите длину отрезка АB, если все три точки лежат на одной прямой.

Варианты ответов: 3,9; 11,2; 4,8; 13,2; 16,5; 2,9.

Первый вариант решения

В этом случае АВ = АС + ВС = 3,6 + 7,5 = 11,2 (см).

Второй вариант

BC = AB + AC,

АВ = ВС – АС = 7,5 – 3,6 = 3,9 (см).

Значит, длина отрезка АВ может быть равна 11,2 см или 3,9 см. Выбираем эти варианты.

Ответ: 11,2; 3,9.

В геометрии длина – это величина, характеризующая протяженность отрезка.

Определение. Длиной отрезка называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:

1) равные отрезки имеют равные длины;

2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрезка. Результатом измерения длины отрезка х является неотрицательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.

Такое число всегда существует и единственно. Для каждого положительного дейст­вительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Из определения длины отрезка следуют известные свойства численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.

1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.

х = y <=> т(х) = т(у)

2. Если отрезок х состоит из отрезков х, и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х, и х2. Справедливо и обратное утверждение.

х = х1 х2 <=> т(х) = т(х1) + т(х2)

3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

4. Численное значение длины единичного отрезка равно единицы.

Рассмотрим процесс измерение длин отрезков. Из множество отрезков выбирают какой – нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е отложились п раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п, и пишут а = пе. Если же отрезки, равные е, отложились п раз и остался еще остаток, меньшее, то на нем откладывают отрезки равные е1= 1/10 ∙е. Если они отложились точно п1 раз, то тогда а = п1е и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1отложился п1 раз и остался еще остаток, меньшей е1, то на нем откладывают отрезки равные е2 = 1/100 ∙ е. Если представить этот процесс бесконечно продолжительным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единицы длина любого отрезка выражается положительными числами.

На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.

При решении практических задач используются стан­дартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.

Соотношение между ними:

1 километр (км) = 1000 метрам (м)

1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см)

1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)

1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм)

Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 385; Нарушение авторских прав

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Начальные геометрические сведения
5. Длина отрезка

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 27,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 29,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 38,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 322,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 801,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1276,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выра­жается положительным действительным числом и для каждого по­ложительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.

2. Если два отрезка равны, то равны численные значения их длин, и обратно: если равны численные значения длин отрезков, то равны и сами отрезки (при одной и той же единице длины).

3. При замене единицы длины численное значение длины уве­личивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая еди­ница меньше (больше) старой.

Примеры заданий для младших школьников, в которых раскры­ваются эти свойства:

1) — Измерь длину данного отрезка в сантиметрах.

— Какова его длина? (5 см)

— Начерти отрезок на 1 см длиннее.

— Какова длина второго отрезка? (6 см)

2)— Найди две одинаковые по длине полоски. Проверь наложе­нием.

— Измерь длину синей полоски в дециметрах. (3 дм)

— Чему равна длина красной полоски? (3 дм)

— Надо ли ее измерять? Почему?

3)— Измерь отрезок в дециметрах. (2 дм)

— Какова длина этого отрезка в сантиметрах? (20 см)

— Почему? (1 дм-10 см)

Кроме специальных упражнений учащимся начальной школы предлагаются задачи, в которых используются понятия длины, ее измерения, требуется перевод единиц. Школьников учат построе­нию вспомогательных моделей при решении задач, используя отрез­ки разной длины и пр.

Задание 52

Решите задачи, используя вспомогательные модели:

1. Вдоль прямой дороги растут 5 деревьев. Расстояние между со­седними деревьями 2 метра. Каково расстояние между крайними деревьями?

2. У Пеги было 2 карандаша, у Коли 4 карандаша, а у Миши столь­ко, сколько у Пети и Ноли вместе. Сколько всего было каранда­шей у мальчиков?

Площадь фигуры

Понятие о площади фигуры имеет любой человек, при этом из­вестны и свойства этой величины: площадь квартиры слагается из площадей всех ее повещений, одинаковые земельные участки име­ют одинаковую площадь.

Площадь — положительная величина, определенная на множес­тве плоских фигур так, что:

-равные фигуры имеют равные площади;

-если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.

Процесс измерения площади (рис. 83):

1) Выбирают единицу площади Е (обычно квадрат со стороной, равной единичному отрезку ё).

2) Сравнивают площадь фигуры с площадью единичного квад­рата Е.

3) Результат сравнения обозначают числом и называют числен­ным значением площади.

SF = х-Е, где х — численное значение площади.

Дошкольники могут встретиться с понятием площади и ее изме­рения, например, в такой игре, как «Пентамино» (рис. 84): «Пред­ставь, что это плоты. На одной клеточке помешается один человек. Какой плот может перевезти больше людей? Почему?

Для нахождения численного значения площади фигур часто пользуются не измерением, а вычислением, что удобно, но для это­го нужно знать формулы.

Задание 55

Сформулируйте определение объеме тепа, процессе его измере­ния и свойства (по аналогии с площадью).

В начальной школе в процессе изучения геометрического мате­риала у детей появляется представление о площади как о свойстве плоских геометрических фигур. Опыт сравнения площадей фигур «на глаз» и наложением, полученный в детском саду, получает свое применение при ознакомлении со свойствами площадей. С объемом жидких и сыпучих веществ знакомят уже дошкольников. В процессе переливания, пересыпания дети знакомятся с объемом, измеряя его условными мерками (ложками, стаканами и др.).

Задание 56

Придумайте задание для дошкольника, в процессе которого он будет измерять объем коробки.

Масса тела

Понятие о массе тела или вещества возникло из необходимости человека обменивать и продавать товары, продукты. Для измерения массы были придуманы рычажные весы и гири.

Масса— одна из основных физических величин, которая свя­зана с весом (силой, с которой тело давит на опору или оттягивает подвес в результате притяжения Земли). На различных широтах (на­пример, на полюсе и на экваторе) вес одного и того же тела отлича­ется. Масса же остается неизменной и является характеристикой только данного тела.

С математической точки зрения:

Масса– это положительная величина, определенная на мно­жестве физических тел так, что:

— масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

— массы складываются, когда тела соединяются вместе.

Замечание.

Весы получили свое название вследствие того, что на них измеря­ют вес предмета. Вес как сила измеряется в ньютонах и связан с мас­сой формулой F=mg, в статичном положении отличается от нее только коэффициентом 9,8 (ускорение свободного падения), что позво­ляет шкалу на весах сразу обозначить в килограммах, а не в ньютонах.

Масса характеризуется теми же свойствами, что длина и пло­щадь, только на множестве физических тел. Сравнение масс, дей­ствия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс.

Процесс измерения массы

1. Выбирают тело, масса которого принимается за единицу (предполагается, что можно взять и ее доли 0,1; 0,01 и т.д.).

2. На одну чашу весов кладут измеряемое тело, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы (гири) так, чтобы весы были уравновешены.

3.Считают численное значение массы гирь. Это и будет числен­ным значением искомой массы.

При развитии барического чувства («чувства тяжести»), при зна­комстве со способами определения массы на весах, дети уже дош­кольного возраста сталкиваются со свойствами массы, сравнением предметов по массе, действиями с численными значениями масс. Происходит это, например, при рассматривании рисунков или ре­альных предметов.

Рисунок 1: на левой чаше весов — 1 яблоко, на правой чаше ве­сов — 8 желудей, весы уравновешены.

Рисунок 2: на левой чаше весов — 1 груша, на правой чаше ве­сов – 6 желудей, весы уравновешены.

Вопрос: «Что тяжелее — яблоко или груша?»

Младших школьников знакомят с общепринятыми единицами массы: килограммом, граммом. Понятие массы используется в зада­чах.

Более подробно понятие массы изучается школьниками на уро­ках физики. В процессе математического развития дошкольников и на уроках математики в начальной школе происходит первоначаль­ное знакомство детей с массой в целях сенсорного воспитания и ис­пользования при решении арифметических задач.

Задание 57

Решите задачу: «Имеются рычажные весы и 3 гири 8 кг, 5 кг, 3 кг. Как одним взвешиванием отмерить 6 кг крупы?»

Промежутки времени

Окружающий нас мир существует во времени. Временные ха­рактеристики явлений (продолжительность, последовательность, частота, ритм, темп и др.) необходимы для описания любых процес­сов в природе. Понятие времени более сложное, чем понятие длины, площади, массы. Оно не имеет наглядности и познается опосредо­ванно. Вся жизнь человека связана со временем, с умением изме­рять, распределять, ценить время. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, ни увидеть, что создает осо­бые трудности в изучении.

В математике и физике время рассматривают как скалярную ве­личину, ее свойства похожи на рассмотренные ранее.

Дата добавления: 2016-11-20; просмотров: 1104 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

© 2015-2020 lektsii.org – Контакты – Последнее добавление