Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

09.11.2020
0
Главная › Какие свойства › Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных
Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных thumbnail

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

  • Сумма смежных углов равна 1800.
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

Варианты ответов:

  1. 1120
  2. 640
  3. 1160
  4. 680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600

Источник

Медве­д
[120K]

7 лет назад

Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Laliq­ue
[39.2K]

4 года назад

Изучая школьный курс геометрии, мы знаем что есть вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы довольно просто получить построением. Рисуем два луча, которые имеют точку пересечения. Теперь мы видим, что образовалось четыре угла. Те углы, которые будут симметричны относительно центра – именуют вертикальными.

У этих углов есть одно главное свойство: они равны по величине.

Знание этого равенства позволяет решить различные геометрические задачи

неуго­монна­я
[10.8K]

5 лет назад

Вертикальные углы. Нарисовали две скрещенные прямые. Углы напротив друг друга будут вертикальными. Они касаются в одной точке в вершине. Прямая дает сторону углу одному и сторону углу другому. Получается четрые всего угла. Пара противоположных углов является вертикальными.

Какие углы называются вертикальными свойство вертикальных

TextE­xpert
[106K]

3 года назад

Это два угла, имеющие одну вершину – у двух пересекающихся прямых отрезков это два противоположных угла, где сторона одного есть продолжение стороны другого угла. Естественно, что такие углы будут равны друг с другом.

Сashs­hi
[1.3K]

7 лет назад

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны. Так же они в сумме дают девяносто градусов. Что мешает вам просто открыть учебник – все еще загадка для меня.

Знаете ответ?

Источник

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало.

Лучи $OA$ и $OB$, образующие угол, называют сторонами угла, а точку $O$, из которой они выходят, — вершиной угла.

Обозначение угла

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Вместо слова «угол» можно использовать знак $angle $. Угол обозначают одной буквой или тремя: $angle O$ или $angle AOB$.

Как и любые геометрические фигуры, углы можно сравнивать.

Два угла называются равными, если они совмещаются при наложении.

$angle ABC=angle MNK$.

Два дополнительных друг другу луча образуют развёрнутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развёрнутого угла.

Углы измеряют в градусах. 

Градусом называют $dfrac{1}{180}$ долю развёрнутого угла.

Считается, что развёрнутый угол содержит $180$ градусов. Градус обозначают знаком $^{circ}$.

$angle AOB=180^{circ}$.

Прямым углом называют половину развёрнутого угла.

$angle AOC=90^{circ}$.

$blacktriangleright$ Пример 1. На рисунке найдите все развёрнутые углы и запишите их названия.

Решение: Развёрнутыми углами на рисунке будут являться только $angle DCG$ и $angle ACB$, так как стороны каждого из этих углов образуют прямую линию. А вот, например, $angle ECF$ не будет развёрнутым, так как его стороны не образуют прямую линию.

Ответ: $angle DCG$ и $angle ACB$.

Острым углом называют угол, величина которого меньше $90^{circ}$.

Тупым углом называют угол, величина которого больше $90^{circ}$, но меньше $180^{circ}$.

$blacktriangleright$ Пример 2. Помогите бельчонку Белле определить вид каждого из следующих углов:

a) $angle ABC=85^{circ}$;

b) $angle MNK=118^{circ}$;

c) $angle DEF=45^{circ}$.

Решение: Рассмотрим углы по порядку:

a) $angle ABC<90^{circ}$, значит, это острый угол;

b) $90^{circ}<angle MNK<180^{circ}$, значит, это тупой угол;

c) $angle DEF<90^{circ}$, значит, это острый угол.

Ответ: 

a) острый угол;

b) тупой угол;

c) острый угол.

$blacktriangleright$ Пример 3. Мистер Форд начертил прямоугольник. И задался вопросом, чему равны градусные меры его углов? Чему равна сумма этих градусных мер?

Решение: У прямоугольника все углы прямые, то есть $angle A=angle B=angle C=angle D=90^{circ}$. Значит, градусные меры углов прямоугольника равны по $90^{circ}$.

Найдем сумму градусных мер: $90^{circ}+90^{circ}+90^{circ}+90^{circ}=4cdot 90^{circ}=360^{circ}$. Значит, сумма градусных мер углов прямоугольника равна $360^{circ}$.

Ответ: градусные меры углов прямоугольника равны по $90^{circ}$; сумма градусных мер углов прямоугольника равна $360^{circ}$.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

$BD$ — биссектриса угла $ABC$.

Внутри развёрнутого угла $ABC$ проведем луч $BD$.

Он разбивает развёрнутый угол на два угла $ABD$ и $DBC$, которые называют смежными углами. 

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными углами. 

Сумма смежных углов

Сумма смежных углов всегда равна $180^{circ}$:

$angle ABD+angle DBC=180^{circ}$.

$blacktriangleright$ Пример 4. Луч $BD$ делит развёрнутый угол $ABC$ на два смежных угла $ABD$ и $DBC$ так, что угол $ABD$ на $40^{circ}$ больше угла $DBC$. Найдите градусные меры $angle ABD$ и $angle DBC$.

Решение: По условию, угол $ABD$ на $40^{circ}$ больше угла $DBC$, значит, $angle ABD = angle DBC+40^{circ}$.

Так как сумма смежных углов равна $180^{circ}$, получаем:

$angle DBC+angle ABD=180^{circ}$,

$angle DBC+angle DBC+40^{circ}=180^{circ}$,

$2angle DBC+40^{circ}=180^{circ}$,

$2angle DBC=180^{circ}-40^{circ}$,

$2angle DBC=140^{circ}$,

$angle DBC=70^{circ}$.

Значит, $angle DBC=70^{circ}$.

Найдем $angle ABD$: $angle ABD=70^{circ}+40^{circ}=110^{circ}$.

Ответ: $angle DBC=70^{circ}$; $angle ABD=110^{circ}$.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке углы $angle 1$ и $angle 3$, а также углы $angle 2$ и $angle 4$ представляют собой пары вертикальных углов.

Вертикальные углы всегда равны друг другу.

$blacktriangleright$ Пример 5. Енотик Пётр попросил Беллу найти градусные меры всех углов на рисунке, если известно, что $angle 2=35^{circ}$. Помогите Белле.

Решение:

$angle 4= angle 2=35^{circ}$ по свойству вертикальных углов.

$angle 1$ и $angle 4$ — смежные, значит:

$angle 1+angle 4=180^{circ}$,

$angle 1+35^{circ}=180^{circ}$,

$angle 1=180^{circ}-35^{circ}$,

$angle 1=145^{circ}$.

$angle 3= angle 1=145^{circ}$ по свойству вертикальных углов.

В итоге получили два угла по $35^{circ}$ и два угла по $145^{circ}$.

Ответ: $angle 2= angle 4=35^{circ}$;

$angle 1= angle 3=145^{circ}$.

Задачки от мистера Фокса

№1. Помогите мистеру Фоксу сравнить с углом $CAF$ углы $EAB$, $FAD$, $DAC$.

Угол $CAF$ и угол $EAB$ равны, так как они совпадают.

Углы $FAD$ и $DAC$ меньше угла $CAF$, так как они целиком расположены внутри него.

Ответ: $angle CAF$ равен $angle EAB$; углы $FAD$ и $DAC$ меньше угла $CAF$.

№2. Луч $BD$ — биссектриса угла $ABC$. Известно, что $angle ABD=25^{circ}$. Определите градусные меры углов $CBD$ и $ABC$.

Так как $BD$ — биссектриса угла $ABC$, то она делит угол $ABC$ на два равных. Значит, $angle CBD=angle ABD=25^{circ}$.

$angle ABC=angle CBD+angle ABD=25^{circ}+25^{circ}=50^{circ}$.

Таким образом, $angle CBD=25^{circ}$, $angle ABC=50^{circ}$.

Ответ: $angle CBD=25^{circ}$; $angle ABC=50^{circ}$.

№3. Найдите величину угла $DCO$, смежного с углом $ACO$, если $angle ACO=25^{circ}$.

$angle DCO+angle ACO=180^{circ}$,

$angle DCO+25^{circ}=180^{circ}$,

$angle DCO=180^{circ}-25^{circ}=155^{circ}$.

Значит, угол $DCO$, смежный с углом $ACO$, равен $155^{circ}$.

Ответ: $155^{circ}$.

Источник

Урок №7. Тема: «Вертикальные углы»

Цель:

  • обучающая– формирование знаний о вертикальных углах, изучить теорему о вертикальных углах;

  • развивающая– развитие речи, внимания, логического мышления;

  • воспитывающая– воспитание аккуратности в построении чертежей, трудолюбия.

Ход урока

  1. Организационный момент.

Приветствие учеников, формулировка темы и постановка целей урока.

  1. Проверка домашнего задания.

Ученик, у которого домашнее задание вызвало затруднение, выходит к доске и с помощью учителя и остальных учеников выполняет домашние номера.

№3.

Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.

Решение:

Пусть один угол – х, а другой 2х. Тогда составим и решим уравнение:

х + 2х = ,

3х=,

х=

Тогда второй угол равен

Ответ: и

3. Актуализация знаний.

– Какие углы называются смежными?

– Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

– Назовите, глядя на чертеж, смежные углы?

– Теорема о смежных углах?

  • Теорема: Сумма смежных углов равна 180 градусам.

  • Доказать теорему у доски (1 ученик)

  • Доказательство:

Пусть и ÐDON –данные смежные углы, луч OD проходит между сторонами OL и ON развернутого LON. Поэтому сумма и ÐDON равна развернутому LON,то есть, равна 180 градусам. Что и требовалось доказать.

Решить устно по рисунку №1а, 2а с.38.

4. Изучение нового материала.

– Повторив смежные углы, перейдем к изучению новой темы «Вертикальные углы».

– Какие же углы называются вертикальными?

Определение: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла.

– Рассмотрим тот же чертеж на доске:

– Если рассмотреть Ð LOD, то, продлив его стороны LO и OD, получим другой Ð NOS. И в результате ÐLOD и ÐNOS – вертикальные углы.

– Посмотрите на чертеж и назовите другую пару вертикальных углов?

– ÐSOL и ÐDON– вертикальные углы.

– Итак, на чертеже 2 пары вертикальных углов и 4 пары смежных углов.

– Как же построить вертикальные углы?

Дан угол АОВ, нужно построить вертикальный ему угол СОЕ.

– К доске выходит 1 ученик, а остальные ученики выполняют построение в рабочих тетрадях

Рис.2

– Получили ÐСОЕ, продолжив стороны АО и ВО:

Рис.3

– Теорема о вертикальных углах: «Вертикальные углы равны» (см. рис.1)

– Доказательство:

Пусть Ð LOD и Ð NOS –данные вертикальные углы. Угол Ð DON является смежным с Ð LOD и с Ð NOS. Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов LOD и NOS дополняет Ð DON до 180 градусов, то есть углы LOD и NOS равны. Теорема доказана.

5. Практическое применение новых знаний.

Задание №1.

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43° . Найдите величины остальных углов (образец оформления решения задач).

Рис.4

Дано: МК Ç PF = О

ÐМОF = 43°

Найти: ÐFOK, ÐKOP, ÐPOM.

Решение:

ÐМОF и ÐKOP вертикальные, значит, по свойству вертикальных углов, ÐМОF = ÐKOP , ÐKOP = 43°

ÐМОF + ÐFOK = 180°, так как они смежные. Отсюда ÐFOK = 180°- 43°=137°

ÐFOK и ÐPOM вертикальные, значит ÐFOK = ÐPOM ,

ÐPOM =137°

Ответ: 137°,43°,137°.

Решить №112(а, б) устно.

Решить письменно №120 (б).

6. Самостоятельная работа.

Решить №113.

7. Подведение итогов урока.

– Итак, вспомним, какие углы называются вертикальными?

– Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла.

– Как звучит теорема о вертикальных углах?

– «Вертикальные углы равны».

– Домашнее задание: п.4. Вопросы 3,4 с.33.

Решить №111, 110,120(а).

Источник

Смежные и вертикальные углы.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

Смежные углы.

Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .

hello_html_m45910e39.png

Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.

Определение.Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .

hello_html_m3fdfdc46.png

Дано: и – смежные

Доказать:

Доказательство.

По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,

ч.т.д.

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

hello_html_m1230ea70.png

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

hello_html_5ee6c92b.png

Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, – тупой; угол, смежный с тупым углом, – острый.

hello_html_m75792d36.png

Вертикальные углы.

Проведём две прямые и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.

hello_html_3a8d5934.png

Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

На рисунке луч является дополнительным к лучу , а луч – дополнительным к лучу . Значит, и – вертикальные. Аналогично, и – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.

ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.

Дано: и – вертикальные,hello_html_m4e95e3ce.png

и – вертикальные

Доказать: и

Доказательство.

1. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

2. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:

Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».

Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно.

Теорема доказана.

  1. Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.

hello_html_m47c7f980.png

  1. На прямой отмечена точка , из которой проведены два луча и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.hello_html_2bb8e24f.png

  1. Угол смежный с углом , равен . Найдите угол .

  2. Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?hello_html_ff484a8.png

  1. Углы и – смежные. Угол больше угла в 4 раза. Найдите угол .

  2. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы.

  3. Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?

  4. Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.

  5. Найдите угол, смежный с углами: .

  6. Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?

  7. Найдите смежные углы, если:

  1. один из них на больше другого;

  2. их разность равна ;

  3. один в 5 раз меньше другого;

  4. они равны.

12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:

  1. .

  1. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ?

  2. На рисунке . Найдите .hello_html_7c425e67.png

  1. Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов.

hello_html_m7cf2bd39.png

  1. На рисунке . Найдите .

  1. Углы и являются смежными. Угол равен . Найдите угол .

  2. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы.

  3. Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

hello_html_7c0d546b.png

hello_html_m5b2c16d0.png

  1. На рисунке . Найдите .

  1. Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.hello_html_3110380a.png

  1. Углы и – смежные, при этом угол меньше угла на . Найдите угол .

  2. Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?

  3. Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.hello_html_m6fe50d46.png

  4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы?

  5. Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны .

  6. Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них.

  7. Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов.hello_html_44bf40c.png

  8. На рисунке . Найдите .

  1. Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол?

  2. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них?

  3. Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были а) смежными; б) не смежными.hello_html_m59e15d08.png

  4. Найдите , если:

  1. на меньше, чем

  2. в 3 раза меньше, чем

  3. величины углов и относятся, как т.е.

hello_html_7e2d5148.png

  1. Даны пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

  2. Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.

  3. Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.

  1. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?hello_html_146433f7.png

  2. Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.

  3. Найдите , если:

  1. на меньше, чем

  2. в 2 раза меньше

  3. величины углов и относятся как т.е. hello_html_m7b77f3ba.png

  1. Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса , а луч – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

  2. Даны углы и . Какой может быть величина угла ?

  3. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?hello_html_2ad4ce9a.png

  4. Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были: а) смежными; б) не смежными.

  5. Найдите , если:

  1. на меньше, чем

  2. в 2 раза меньше

  3. величины углов и относятся как т.е. hello_html_m7b77f3ba.png

  1. Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

  2. Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.

  3. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .hello_html_m176228c4.png

  1. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.

  2. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .hello_html_641d0b99.png

  3. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла.

  4. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .hello_html_m1081ecd6.png

  5. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.

  6. Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы.

  7. Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы.

  8. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.

  9. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как .

  10. Прямые и пересекаются в точке . Внутри угла взята точка , а внутри угла – точка . .

  1. Найдите углы и .

  2. Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

  1. Развёрнутый угол делит плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной полуплоскости, а точка – в другой; .

  1. Равны ли углы и ? Ответ объясните.

  2. Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

  1. Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен .

  2. Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:

  1. один из них на больше другого;

  2. один из них составляет половину другого;

  3. сумма величин двух из них равна .

  1. Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.

  2. Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна .

  3. Дан угол со сторонами и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами и ? Какими являются углы со сторонами и ?

  4. На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .hello_html_1c48b88f.png

  1. На рисунке . Найдите углы .hello_html_m55f003e4.png

  2. Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.

  3. На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых.hello_html_607d03.png

  4. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна .

  5. Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если .

  6. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как .

  7. Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если .

  8. Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  9. Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  10. Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  11. Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  12. Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

  13. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

  14. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

  15. Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов.

  16. Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  17. Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  18. Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

  19. Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

  20. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

  21. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

  22. Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.

  23. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .

  24. Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.

  25. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .

  26. С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.

  27. С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.

  28. На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.hello_html_4c74009c.png

  29. Углы и – смежные. Угол на больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.

  30. Из точки выходят четыре луча и . Каждый из углов и является смежным с углом . Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.

  31. Углы и – смежные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.

  32. На рисунке и . Найдите угол 1.hello_html_4ceb3a7e.png

  33. Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна .

  34. На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.hello_html_6a9cae4f.png

  35. Углы и – смежные. Угол в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.

  36. Из точки выходят четыре луча и . Лучи и лежат на одной прямой, а углы и – смежные.

Предыдущая статья
Какие продукты взять для отдыха
Следующая статья
Какое название продуктов лучше
© А какой продукт?