Какие уравнения называют равносильными сформулируйте свойства

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Определение 1

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Определение 2

Уравнение f(x)=g(x) считается равносильным уравнению r(x)=s(x), если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Определение 3

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Определение 4

Если уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество корней, что и уравнение p(x)=h(x), то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Пример 1

Например, равносильными будут 4·x=8, 2·x=4 и x=2, поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x·0=0 и 2+x=x+2, поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x=x+5 и x4=−1, каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Пример 2

К примеру, таковыми будут x=2 и x2=4, поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям xx=1 и x2+5×2+5, потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0.

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0, во всех трех случаях. А пара уравнений x+y=5 и x·y=1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, x·2=32 будет следствием x−3=0, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) =0 будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.

Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения

Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.

Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.

Источник

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Примеры:

Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) – ни одно из них не имеет корней.
А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).

Равносильные преобразования уравнений – это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Основные равносильные преобразования уравнений:

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
(4x-1=7)
(4x=7+1)

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
(4x=8) (|:4)
(x=2)
(x(x^2+1)=x^2+1) (|:(x^2+1))
(x=1)
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
((x+1)^2=4)
(x^2+2x+1=4)
(5^{x+1}=25)
(5^{x+1}=5^2)
Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
(sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2)
(12x^2-28x+8=8)
Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
((x-5)^3=(2x+4)^3)
(x-5=2x+4)

Переход вида: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x)), если (a>1) и (a≠1).
(5^{x^2-2x}=5^{x-2})
(x^2-2x=x-2)

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)

(x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)	Запишем ОДЗ.
ОДЗ: (2-x≥0) (x≤2)	Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.
(x^2-2x+sqrt{2-x}-sqrt{2-x}-3=0 )	Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.
(x^2-2x-3=0)	Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета.
(x_1=3) (x_2=-1)	Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.
(↑) не подходит под ОДЗ	Запишем ответ.

Ответ: (-1 ).

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ.

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

a) (x+5=2x-3) (x-2x+5=-3)	b) (x^2+3x+sqrt{x}=sqrt{x}+4) (x^2+3x-4=0)
c) (frac{-x-1}{x^2-1}=0) (-x-1=0)	d) (x^3=27) (x=3)
e) (frac{1}{2}x^2+1=x^3-x) (x^2+2=2x^3-2x)	f) ( 2^{x+2}=2) (x+2=1)

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt{x}) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}=a^{g(x)}) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.

Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств

Скачать статью

Источник

Равносильные уравнения.

Равносильными уравнениями называются уравнения, имеющие одинаковое множество корней, или не имеющие корней.

Например,

а) каждое из уравнений имеет один корень, равный . Значит, эти уравнения равносильны;

б) каждое из уравнений не имеет корней. Значит, эти уравнения равносильны.

В процессе решения уравнений необходимо, по возможности, совершать преобразования, сохраняющие равносильность. Перечислим эти преобразования.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить (или отнять) один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Если невозможно совершить равносильные преобразования, то необходимо следить за областью допустимых значений уравнения. К таким уравнениям относятся иррациональные, дробно рациональные, логарифмические. Приведём примеры.

ОДЗ:

(Т.к. подкоренное выражение равно выражению в квадрате, то оно не будет отрицательным, именно поэтому включать подкоренное выражение в ОДЗ нет необходимости).

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Ответ: 1.

ОДЗ:

ОДЗ, значит, этот корень посторонний.

Ответ: 0.

ОДЗ:

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Ответ: 1.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При этом, второе уравнение может иметь корни, которые не являются корнями первого уравнения. Их называют посторонними корнями, которые необходимо выявить и отбросить.

Например, уравнение является следствием уравнения . Эти уравнения имеют один общий корень, но при этом первое уравнение имеет два корня: , а второе один корень: Это произошло вследствие расширения области определения исходного уравнения (возвели в квадрат).

Чтобы уравнения получались равносильными, необходимо определять область допустимых значений и отсеивать посторонние корни.

Итак,

Посторонние корни появляются вследствие расширения области определения.
Потеря корней может произойти вследствие деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную.

Следствия из определений равносильных уравнений и уравнений-следствий:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Равносильны ли уравнения:

Какое из двух данных уравнений является следствием другого:

Записать какое-нибудь следствие уравнения:

Докажите, что уравнение не имеет корней:
При каких значениях уравнения будут равносильны:
и
1. При каких значениях уравнения будут равносильны:
и
1. Решить уравнение:
  Решить уравнение:
  4

Источник

Краткосрочный план

Занятие по специальности, предмету: Математика

Раздел: Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Тема: Уравнения. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Свойства уравнения.

Колледж: колледж Агробизнеса

Дата:

Таныркулова С.К.

Группа: 12 ОП

Количество: отсутствующих – , присутствующих –

Цели обучения, которые будут достигнуты с помощью данного занятия

Обучающиеся будут знать понятие уравнения, корня уравнения, равносильных уравнений, смогут выработать алгоритм решения, смогут применять свойства уравнения при решении, смогут повторить, систематизировать и закрепить знания и умения по теме.

Цели занятия

Обучающиеся смогут:

Все обучающиеся: знают понятие уравнения, корня, равносильных уравнений.

Большинство обучающихся: понимают и умеют использовать свойства уравнений, умеют ориентироваться при решении уравнений.

Некоторые обучающиеся: умеют проанализировать, обсудить и дать совет по решению уравнений.

Языковые цели

Студенты правильно произносят слова и выражения по данной теме и используют их в речи.

«при решении данного уравнения мы используем свойство…», «при переносе одного слагаемого из одной части в другую …», «при делении или умножении обеих частей уравнения …», «у равносильных уравнений …»

Предыдущее обучение

На предыдущих занятиях студенты изучили тему «Роль математики в подготовке конкурентоспособных специалистов». Знают буквенные, числовые выражения, вычисление, решение, уравнение, корень, переменная, постоянная.

ПЛАН

1.Орг. момент

(3 мин.)

2.Актуализация знаний.

мин.)

3.Объяснение нового материала

(35 мин)

4.Закрепление нового материала

(20 мин)

Закончите предложение: “Выражение 2х – 5 [3 4 + 5] является …” (буквенным/числовым)
Составьте выражение по условию задачи: “Карандаш стоит х тенге, а блокнот – 25 тенге. Сколько стоят 3 карандаша и 1 блокнот [1 карандаш и 2 блокнота]? (3х + 25 / х + 2 25)
Найдите значение полученного выражения при х = 10. (55 тенге/60 тенге)
Хватит ли Олжасу денег на всю покупку, если у него всего 58 тенге? (да/нет)
Решите уравнение
5х – 4 = 6
[3х + 2 = 8].
(х = 2)
Задания, приведённые в квадратных скобках, предназначены для второго варианта.

Студенты обмениваются тетрадями, проверяют друг у друга работы. Ответы проецируются на доску. (Слайд 3)

– Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

Ц.О. Обучающиеся будут знать понятие уравнении, корня, равносильных уравнении, смогут выработать алгоритм решения, смогут применять свойства уравнения при решении уравнений, смогут повторить, систематизировать и закрепить знания и умения по теме.

– Запишите тему нашего урока “ Уравнения. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Свойства уравнений.” (Слайд 1)

2) – Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое? (Слайд 4)

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

а) х + 2 = 1,3;

б) 3у – 4;

в) х = – 8,1;

г) 16 * 5 – 8 = 72;

д) 1.5 х + 2.8 = 5,8. (Слайд 5)

студенты объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

4) – Вспомните, пожалуйста, что называют корнем уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.(Слайд 6)

– Проверим ваши ответы. (Слайд 5)

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения устно:

а) 4 + 3х = 10;

б) (х – 5)(х + 1) = 11;

в) 6(3х – 1) = 12х + 6. (Слайд 7)

Студенты подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Определите, какие из чисел – 2, – 1, 0, 2, 3 являются корнем уравнения х2 + 3х = 10. (Слайд 8)

Задание выполняется студентами в тетради. Некоторые студенты по очереди делают соответствующие записи на доске.

Образец выполнения задания:

Корнем уравнения х2 + 3х = 10 число

а) -2 не является, так как (-2)2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = – 2, а -2 10;

б) – 1 не является, так как (- 1)2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, а – 2 10;

в) 0 не является, так как 02 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 22 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 32 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

7) – Продолжим работать дальше.

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3. (Слайд 9)

После самостоятельного выполнения задания некоторые студенты зачитывают получившиеся у них уравнения, группа определяет, правильно ли выполнено задание.

8) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет. (Слайд 10)

9) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) 3х = 5х;

б) 4(х + 1) = 4х +7;

в) 3х + 12 = 3(х + 4). (Слайд 11)

Студенты дают ответы, обосновывая их.

10) – Что называется модулем числа?

– Чему равен модуль положительного числа?

– Модуль нуля? Отрицательного числа?

– Может ли модуль числа равняться отрицательному числу?

Как вы думаете, имеют ли данные уравнения корни и, если имеют, то сколько:

а) = 7;

б) = 0;

в) = – 1;

г) = 2,5. (Слайд 12)

11) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение. Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями. (Слайд 13)

12) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50? (Слайд 14)

Студенты составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются группой.

13) – При решении уравнений используются свойства, которые вы учили в 6 классе. Давайте их вспомним. (Слайд 15)

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

14) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

а) 0,1х = – 5;

б) – 0,19 у = 3;

в) – 0,7х = – 4,9. (Слайд 16)

– Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b:

а) 8х + 15 = 39;

б) 16 – 2х = 10. (Слайд 17)

Решение примеров. № 4, №5 (2,4), № 6 (1,4)

Уровни мыслительных навыков

смогут применять

свойства уравнения

при решении.

Формативное задание:

Критерии оценивания

Н.В. Богомолов

Москва «Высшая школа» 1990

5. Домашнее задание.

(2 мин)

6.Итог урока

(10 мин)

Выучить основные понятия по пройденной теме.

1.Учебная рефлексия (Слайд 18)

Таблица ЗХУ

знаю

хочу узнать

узнал

2. Оценивание. Выставление оценок с комментированием самих студентов.

Источник