Каким из указанных свойств обладает множество n натуральных чисел
Рассматриваемая теория натуральных чисел является теорией порядковых натуральных чисел. Идея порядка заложена в отношении “непосредственно следовать за”, которое, однако, затрагивает лишь соседние элементы. Сравнить два натуральных числа, не являющихся соседними, при помощи отношения “непосредственно следовать за” невозможно. Упорядочить множество натуральных чисел можно, задав на нем отношение «меньше».
Определение 5. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.
Свойства отношения “меньше”:
1. Для любого натурального числа а справедливо а < а ,.
2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.
3. Если а < b и b < с, то а < с.
4. Если а < b, то неверно, что b < а.
Свойство монотонности сложения
1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.
Свойство монотонности умножения
1) а < b ac < bc;
2) а > b ac > bc.
7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует такое натуральное число n, что пb> а.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства:
1) Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а<п<а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.
2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа.
3) Если М– непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа.
С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 – это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».
Вычитание и деление натуральных чисел
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.
Число а – bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b – вычитаемым.
Теорема 13. Разность натуральных чисел а – b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.
Доказательство (существования). Пусть разность а – b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.
Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а – b, т.е. разность а – b существует.
Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а – b = с₂, причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂: и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀
Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила:
1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
(а + b) – с = (a – с) + b.
2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.
а – (b + с) = (а – b) – с
Для того чтобы вычесть из числа разность двух чисел, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое и из полученного числа вычесть уменьшаемое.
а – (b – с) = (а + с) – b
Деление
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.
Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b×с = а.
Число а:b называется частнымчисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.
Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда.
Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.
Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а.
Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.
Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления:
1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
(а + b):с = а:с + b:с.
2) правило деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.
(а – b):с = а: с – b:с.
3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.
(а × b):с = (а:с) × b.
В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
Источник
Определение натурального числа
Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.
Вот, какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Что точно не является натуральным числом:
- Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
- Отрицательные числа: −1, −2, −3, −4.
- Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.
Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.
| Особенности натуральных чисел |
|---|
|
Какие операции возможны над натуральными числами
- сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
- умножение: множитель * множитель = произведение;
- вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или нуль;
- деление с остатком: делимое / делитель = частное (остаток);
- возведение в степень: ab, где a — основание степени, b — показатель степени.
Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart и попробуйте сами!
Десятичная запись натурального числа
В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.
Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.
Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность чисел может быть разной и некоторые даже могут повторяться.
077, 0, 004, 0931 — это неправильные примеры натуральных чисел, потому что нуль расположен слева. По правилам, так нельзя. Это и есть десятичная запись натурального числа.
Количественный смысл натуральных чисел
Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.
Представим, что перед нами банан????. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».
Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, из множества деревьев, любое дерево — единица, любой листок из множества листков — единица.
Представим, что перед нами 2 банана ????????Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:
| ???????????? | 3 предмета («три») |
| ???????????????? | 4 предмета («четыре») |
| ???????????????????? | 5 предметов («пять») |
| ???????????????????????? | 6 предметов («шесть») |
| ???????????????????????????? | 7 предметов («семь») |
| ???????????????????????????????? | 8 предметов («восемь») |
| ???????????????????????????????????? | 9 предметов («девять») |
Основная функция натурального числа — указать количество предметов.
Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «нуль». Напомним, что нуль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Нуль предметов значит — ни одного.
Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа
Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.
Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.
По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.
Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.
Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.
Вот, как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.
Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 единиц, 0 десятков и 6 сотен.
Точно также определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.
Многозначные натуральные числа
Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.
1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел.
Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.
Свойства натуральных чисел
Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:
| множество натуральных чисел | бесконечно и начинается с единицы (1) |
| за каждым натуральным числом следует другое | оно больше предыдущего на 1 |
| результат деления натурального числа на единицу (1) | само натуральное число: 5 : 1 = 5 |
| результат деления натурального числа на него самого | единица (1): 6 : 6 = 1 |
| переместительный закон сложения | от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4 |
| сочетательный закон сложения | результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) |
| переместительный закон умножения | от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 * 5 = 5 * 4 |
| сочетательный закон умножения | результат произведения множителей не зависит от порядка действий. Можно хоть так, хоть эдак: (6 * 7) * 8 = 6 * (7 * 8) |
| распределительный закон умножения относительно сложения | чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 * (5 + 6) = 4*5 + 4*6 |
| распределительный закон умножения относительно вычитания | чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 * (4 — 5) = 3*4 — 3*5 |
| распределительный закон деления относительно сложения | чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9:3 + 8:3 |
| распределительный закон деления относительно вычитания | чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 — 3) : 2 = 5:2 — 3:2. |
Разряды натурального числа и значение разряда
Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще, чтобы визуально разделить разные классы чисел.
Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.
Десятичная система счисления
Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.
Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.
Источник
Натуральные числа – это те числа, которые возникают при счете естественным путем. Например, 1, 2, 3, 4, … Особую позицию здесь занимает ноль. Согласно одному из подходов, натуральные числа появляются при подсчете предметов или их нумерации (первый, второй). Это традиционный поход и нулю в нем нет места. Но в некоторых областях математики 0 является натуральным числом.
источник: Яндекс
Если все натуральные числа расположить в порядке возрастания, и каждое последующее число будет больше предыдущего на 1, то они образуют натуральный ряд. Такой ряд бесконечен, во множестве натуральных чисел N не существует самого большого числа.
Натуральными числами НЕ являются: отрицательные и нецелые числа.
Классы и разряды
Все натуральные числа делятся на классы и разряды. Наверняка, многие слышали такие страшные слова, как квинтиллионы, секстиллионы и даже септиллионы. Все это разрядные единицы многозначных чисел.
Классы – это группы цифр, на которые разбиваются многозначные числа. Разбиваются они справа налево, в каждом классе по 3 цифры. Каждая цифра в классе, так же справа налево, обозначает единицы, десятки или сотни. Классы имеют свое название, самый первый – класс единиц, второй – класс сотен, девятый – класс септиллионов.
источник: Яндекс
Реклама
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать 100 000 ₽. Но круто, что есть гранты на учебу. Грант-на-вуз.рф – это возможность учиться на желанной специальности. По ссылке каждый получит бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽ – грант-на-вуз.рф
Все цифры в многозначном числе занимают свою позицию. Другими словами, имеют свой разряд, который считается справа налево.
источник: Яндекс
Единицы, десятки, сотни и так далее – все они являются разрядными единицами и разделяются на простые (единицы первого разряда) и составные (остальные единицы, такие как десятки, сотни и др.) Десять единиц одного разряда будут составлять одну единицу следующего разряда. Так 10 сотен составят 1 тысячу и будут являться единицами низшего разряда по отношению к единице высшего разряда – тысячи.
Свойства
Существует ряд основных свойств, сформулированных еще в XIX в. математиком Д. Пеано:
- Число 1 не следует ни за каким другим натуральным числом
- За каждым натуральным числом следует только 1 натуральное число, с разницей в единицу.
- Множество натуральных чисел содержит все натуральные числа, оно бесконечно и не имеет наибольшего числа.
На основе этих свойств выведены и другие:
- При выполнении сложения и умножения натуральных чисел, результатом будет являться натуральное число.
- Операции сложения и умножения следуют закону перестановочности (от перемены мест слагаемых/множителей, значение не меняется) и сочетательности (при прибавлении к одному числу суммы двух других чисел, сначала производится сложение одного числа, потом другого). Так же, умножение и деление подчиняются распределительному свойству, при котором a(b + c) = ab + ac, (a + b) : c = a:c + b:c.
- a < b, при условии, что a стоит раньше b в ряду натуральных чисел. А так же, обязательно существования такого натурального числа с, чтобы a + c = b.
- 2 натуральных числа (a и b) всегда находятся либо в соотношении a = b, либо a < b, либо b < a.
- При a < b и b < c справедливо условие a < c.
- Имея три натуральных числа a, b, c и зная, что a < b, можно утверждать, что a + c < b + c и ac < bc.
- Если a < b < c, и они являются натуральными числами, то будет верно неравенство b – a < c – a.
Реклама
Напоминаем про сервис грант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишь от 300 ₽ до 100 000 ₽, перейдя по ссылке грант-на-вуз.рф!
Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac — последние научные достижения и лучшие образовательные практики.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 — ЕВРОПЕЙСКОЕ ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Международная компания, оказывающая консультационные, сопроводительные и информационные услуги в сфере высшего образования в Европе. Официальный сайт – https://eurounis.com.
Хорошего дня и не болейте.
Источник