Каким свойствами обладают основания призмы

У этого термина существуют и другие значения, см. Призма.

При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Элементы призмы[править | править код]

Свойства призмы[править | править код]

• Основания призмы являются равными многоугольниками.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

• Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен

(здесь s — длина стороны многоугольника).

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
• Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
• Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Виды призм[править | править код]

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].

Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.

Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).

Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.

Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.

Диаграммы Шлегеля[править | править код]

Симметрия[править | править код]

Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.

Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Обобщения[править | править код]

Призматические многогранники[править | править код]

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём n-мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).

По размерностям:

Однородные призматические многогранники[править | править код]

Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, …, t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, …, t}×{}.

По размерностям:

• Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
• Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
  • Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
• многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
• 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • Пример: додекаэдральная призма[en], {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
• …

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Скрученная призма и антипризма[править | править код]

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.

Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Связанные многогранники и мозаики[править | править код]

Симметрии[править | править код]

Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[en].

Соединение многогранников[править | править код]

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

Соединение четырёх треугольных призм[en], соединение восьми треугольных призм[en], соединение десяти треугольных призм[en], соединение двенадцати треугольных призм[en].

Соты[править | править код]

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:

• гироудлинённые альтернированные кубические соты[en],
• удлинённые альтернированные кубические соты[en],
• повёрнутые треугольные призматические соты,
• плосконосые квадратные призматические соты[en],
• треугольные призматические соты,
• треугольно-шестиугольные призматические соты,
• усечённые шестиугольные призматические соты,
• ромботришестиугольные призматические соты,
• плосконосые шестиугольные призматические соты,
• удлинённые треугольные призматические соты.

Связанные многогранники[править | править код]

Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.

Четырёхмерное пространство[править | править код]

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[en], включая:

См. также[править | править код]

• Параллелограмм
• Антипризма
• Параллелепипед

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
• Nonconvex Prisms and Antiprisms  (недоступная ссылка с 12-03-2018 [945 дней])
• Surface Area MATHguide
• Volume MATHguide
• Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
• Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella[en].
• Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.

Ïðèçìà — ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè.

Ïðèçìà — ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â

ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ

ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. Ëèáî (÷òî òîæå ñàìîå) — ýòî ìíîãîãðàííèê, îñíîâàíèÿìè êîòîðîãî

ÿâëÿþòñÿ ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè, à áîêîâûìè ãðàíÿìè — ïàðàëëåëîãðàììû.

Ïðèçìà ÿâëÿåòñÿ ðàçíîâèäíîñòüþ öèëèíäðà.

Ýëåìåíòû ïðèçìû.

Îñíîâàíèÿ (ABCDE, KLMNP) – 2 ãðàíè, ÿâëÿþùèåñÿ êîíãðóýíòíûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè, êîòîðûå ëåæàò â ïëîñêîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ äðóã äðóãó. Áîêîâûå ãðàíè (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – êàæäàÿ èç ãðàíåé, íå ñ÷èòàÿ îñíîâàíèé. Âñå áîêîâûå ãðàíè – ýòî ïàðàëëåëîãðàììû. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü – ñóììà áîêîâûõ ãðàíåé. Ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü – ñóììà îñíîâàíèÿ è áîêîâîé ïîâåðõíîñòè. Áîêîâûå ðåáðà (AK, BL, CM, DN, EP) – îáùèå ñòîðîíû áîêîâûõ ãðàíåé.

Âûñîòà (KR) – îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò ïëîñêîñòè, â íèõ ëåæàò îñíîâàíèÿ ïðèçìû. Îí

ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòèì ïëîñêîñòÿì.

Äèàãîíàëü (BP) – îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2 âåðøèíû ïðèçìû, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò îäíîé

ãðàíè.

Äèàãîíàëüíàÿ ïëîñêîñòü – ïëîñêîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç áîêîâîå ðåáðî ïðèçìû, à òàêæå

äèàãîíàëü îñíîâàíèÿ.

Äèàãîíàëüíîå ñå÷åíèå (EBLP) – ïåðåñå÷åíèå ïðèçìû è äèàãîíàëüíîé ïëîñêîñòè.  ñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ

ïàðàëëåëîãðàìì, ëèáî — ðîìá, ïðÿìîóãîëüíèê, êâàäðàò.

Ïåðïåíäèêóëÿðíîå (îðòîãîíàëüíîå) ñå÷åíèå – ïåðåñå÷åíèå ïðèçìû è ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé

áîêîâîìó ðåáðó ïðèçìû.

Ñâîéñòâà ïðèçìû.

• Îñíîâàíèÿ ïðèçìû – ýòî ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè.

• Áîêîâûå ãðàíè ïðèçìû èìåþò âèä ïàðàëëåëîãðàììà.

• Áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïàðàëëåëüíûå è ðàâíû.

• Ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû = ñóììå ïëîùàäè å¸ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è äâîéíîé

ïëîùàäè îñíîâàíèÿ.

• Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû:

S=P*l,

ãäå P — ïåðèìåòð ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ, l — äëèíà áîêîâîãî ðåáðà.

• Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðÿìîé ïðèçìû:

S=P*h,

ãäå P — ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ ïðèçìû, h — âûñîòà ïðèçìû.

• Ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ð¸áðàì ïðèçìû.

• Óãëû ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ — ýòî ëèíåéíûå óãëû äâóãðàííûõ óãëîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ

áîêîâûõ ð¸áðàõ.

• Ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ãðàíÿì.

• Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ ïðèçìû, íà âûñîòó.

Ôîðìóëà îáúåìà ïðèçìû: V = Soh ãäå V – îáúåì ïðèçìû, So – ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïðèçìû, h – âûñîòà ïðèçìû.

Ïðèâàëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ ïèðàìèäà.       

Ñâîéñòâà ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû.

• Îñíîâàíèÿ ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû – ýòî 2 îäèíàêîâûõ êâàäðàòà;

• Âåðõíåå è íèæíåå îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëüíû;

• Áîêîâûå ãðàíè èìåþò âèä ïðÿìîóãîëüíèêîâ;

• Âñå áîêîâûå ãðàíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé;

• Áîêîâûå ãðàíè ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèÿì;

• Áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû;

• Ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ðåáðàì è ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèÿì;

• Óãëû ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ – ïðÿìûå;

• Äèàãîíàëüíîå ñå÷åíèå ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì;

• Ïåðïåíäèêóëÿðíîå (îðòîãîíàëüíîå ñå÷åíèå) ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèÿì.

Ôîðìóëû äëÿ ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû.

Âèäû ïðèçì.

Ïðèçìà, ó êîòîðîé â îñíîâàíèè ëåæèò ïàðàëëåëîãðàìì, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì.

Ïðÿìàÿ ïðèçìà — ýòî ïðèçìà, ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè áîêîâûìè ðåáðàìè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ.

Îñòàëüíûå ïðèçìû ÿâëÿþòñÿ íàêëîííûìè.

Ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà — ïðÿìàÿ ïðèçìà, â îñíîâàíèè ó íåå ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê. Áîêîâûå

ãðàíè òàêîé ïðèçìû — îäèíàêîâûå ïðÿìîóãîëüíèêè.

Ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà, ó êîòîðîé áîêîâûå ãðàíè – êâàäðàòû (âûñîòà ðàâíà ñòîðîíå îñíîâàíèÿ), íàçûâàåòñÿ

ïîëóïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.

Äîïîëíèòåëüíûå ìàòåðèàëû ïî òåìå: Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû.