Каким свойством арифметических действий воспользовались при вычислениях

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

•  Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

• Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

•  Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

• Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Некоторые приемы устных вычислений, основанные
на законах и свойствах арифметических действий.

1.Замена нескольких слагаемых их суммой

a + b + c = a+(b +с)

274 + 305 + 95 + 125 = 274 + (305 + 95 + 125) = 274 + 525 = 799 (группу
слагаемых заключаем с суммой, полученной в
скобках, на основании сочетательного закона)

2. Перестановка слагаемых

а + b + с = (а +b) +с

3,18 + 2,09 + 5,82 = (3,18 + 5,82) + 2,09 = 11,09 (по
переместительному закону находим ту сумму двух
слагаемых, которую вычислить легче)

3. Замена нескольких множителей их
произведением

а * Ь * с * d = (а * Ь) * (с * d)

(на основании сочетательного закона заключаем
в скобки те множители, которые удобно умножить
устно)

4. Перестановка множителей

а * b * с * d * е = (а * d) * (Ь * е) * с

5 * 25 * 7 * 4 * 20 = (5 * 20) * (25 * 4) * 7 = 100 * 100 * 7 = 700000

(на основании сочетательного закона и
переместительного)

5. Умножение произведения на число

(а * b * с) * d = (а * d) * b * с = (d * b) * а * с =(d * с) * а * b

(0,25 * 46 * 0,3) * 0,2 = 0,25 * 46 * 0,3 * 0,2 = (0,25 * 0,2) * 46 * 0,3 = 0,5 * 46 *
0,3 = 2,3* 3 0 = 0,69

(на основании порядка действий, сочетательного
закона и переместительного)

6. Применение распределительного закона
умножения

(а + b) * с = ас + be, ас + be = (а + b) с

Упражнения

I n

• 117 + 3 + 51 + 39 + 61;
• 476 + 503 + 97 + 120;
• 2,35 + 5,65 + 1,05 + 4,95;
• 5,03 + 4,34 + 1,66 + 3;
• 5 + 305+172

2 n

• 15,1+0,009+1,01+0,9

3 n

• 4 * 25 * 75 * 8,
• 125 * 4 * 2 * 2 * 5,
• 250 * 4 * 3 * 5 * 2 ,
• 3,2 * 5 * 6,8 * 4

4 n

• A.11.2 25 * 20 * 4 * 5 * 3,
• 50 * 9* 10 * 3,
• 500 * 12 * 2 * 10 *5,
• 2,5 * 2,4 * 4 * 5 * 0,2.

Приемы, основанные на изменении результата
действия в зависимости от изменения компонентов

1 Округление слагаемых

(если одно из слагаемых увеличить (уменьшить) на
некоторое число, а другое слагаемое уменьшить
(увеличить) на это же число, то сумма не
изменится).

49996 + 5063 = (49996 + 4) + (5063 – 4) = 50000+ 5059 = 55059

2. Округление уменьшаемого или вычитаемого.

(если уменьшаемое и вычитаемое увеличить
(уменьшить) на одно и то же число, то разность не
изменится)

Упражнения 1п

• 5720 + 288;
• 499 + 1 07 + 40;
• 8000 + 4167 + 1075;
• 4,07 + 8,9;
• 1 5, 65 + 2,19.

2 п

• 5073 – 486;
• 6027 – 4508;
• 14059 – 2572;
• 18,08 – 17,73

Приемы умножения и деления на целое число

1. (Если один сомножитель увеличить в несколько
раз, а другой уменьшить во столько же раз, то
произведение не изменится)

• 65 = 5 = (65 – 10): 2 = 650 : 2= 325
• 706 * 500 = (706 : 2) * 1000 = 353 * 1000 = 353000

2. Чтобы умножить число на 25, 250 и т.д. нужно
данное число умножить на 100, 1000 и т.д., а полученный
результат разделить на 4.

• 15 * 250 = (15 * 1000) : 4 = 3750

3. Чтобы разделить данное число на 5, 50 и т.д.,
нужно это число умножить на 2 и полученное
произведение разделить на 10, 100 и т.д.

• 85 : 500 = (85 * 2) : 1000 = 164 : 1000 = 0,164

4. Чтобы разделить данное число на 25, 250 и т.д.
нужно это число умножить на 4 и полученное
произведение разделить на 100, 1000 и т.д.

• 54 : 25 = (54 * 4): 100 = 216 : 100 = 2,16

Применение приемов устного счета при
выполнении письменных работ (387 + 240 – 287) * 50 – (471 + 354 +
29 + 146): 25

Используем переместительный и сочетательный
законы сложения, приемы умножения на 50 и деление
на 25.

• ((387 – 287) + 240) * 50 – ((471 + 29 + ( 354 + 146)) : 25 = (100 + 240) * 50 – (500 +
  +500) : 25 = 340 : 2 *100 – 1000 : 25 = 17000 – 40 = 16960

Сложение столбцами

• Cумма цифр каждого разряда складывается
  отдельно.
• Цифра десятков в сумме предыдущего разряда
  складывается с цифрой единиц последующей сумы.

Умножение методом Ферроля.

Используется тождество:

1.(10а+в)(10с +d) = 100ас + 10(ad +вс) + Bd

37* 48 = 1776

а) 8*7 = 56 пишем 6, помним 5

б) 8*3 + 4*7 + 5=57 пишем 1, помним 5

в) 4*3 + 5 = 17 пишем 17

12*14=168

а) 2*4 = 8

б) 1*2+ 1*4 = 6

в) 1*1 = 1

125*23 = 2875

а) 3*5 = 15 пишем 5, помним 1

б) (3*2 + 2*5) + 1 =17 пишем 7, помним 1

в) (3*2 + 2*2) +1=8 пишем 8

г) 2*1 = 2 пишем 2

2. Используется тождество:

(10а+в)(10с +d) = 100а(а+ 1) + вс, где в + с = 10

13 * 17 = 221

а) 1* (1 + 1) = 2 пишем 2

б) 3 * 7 = 21 приписываем справа 21

204*206 = 42024 а) 20 * (20 + 1) = 420 пишем 420

б) 6 * 4 = 24 приписываем справа 24

3. Умножение чисел на 11

54*11 = 594

а) пишем 4

6) 4 + 5=9 пишем 9

в) пишем 5

124*11 = 1(1 + 2)(2 + 4) * 4 = 1364

Если одна из сумм соседних цифр окажется больше
9, то на соответствующим

месте записывают цифру единиц полученной
суммы, а к следующей сумме прибавляют 1.

Прибавляют единицу и к последней цифре
множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

58*11 = 638

а) пишем 8

б) 5 + 8 =13 пишем 3, помним 1

4. Умножение на числа вида аа

(Умножить данное число сначала на а, потом на 11)

123*55 = (123*5) * 11 = 615*11 = 6(6 + 1)(5 + 1) * 5 = 6765

42*111 = 4(4 + 2)(4+2) *2 4662

86*11 = 7548

а) пишем последнюю цифру 8

б) 6 + 8 = 14 пишем 4, помним 1

в) (6 + 8) + 1 = 15 пишем 5, помним 1

г) 6 + 1 = 7 пишем 7

Умножение однозначного или двузначного числа
на 37. Способ обоснован на равенствах
дистрибутивности и этими равенствами можно
упрощать процесс умножения во всех упомянутых
случаях.

6*37 = 37*2*3 =222

8 * 37 = (6 + 2) * 37 = 222 + 74 = 296

45 * 37 = (48 – 3 ) * 37= 12 * 4 * 37 – 3 * 37 = 16 *3 *37 – 3 *37 = 3 *37 (16 – 1)
=111*15 = 1665

5. Умножение на 5, 25, 125.

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и
результат умножить на 10, 100, 1000

46 * 5 = 46 : 2 * 10 = 230

48*25 = 48:4*100=1200

32 * 125 = 32:8*1000 = 4000

Еслимножитель не делится нацело на 2, 4, 8, то
деление производиться с остатком. Затем частное
умножают соответственно на 10, 100, или 1000, а остаток
– на 5, 25 или 125.

53 * 5 = 26 * 10 + 1 * 5 =265 (53 : 2 = 26 и 1 остаток)

43 * 25 = 10 *100 + 3 * 25 = 1075 (43 : 4 = 10 и 3 остаток)

6. Деление на 5, 25, 125. Умножить число
соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

220 : 5 = 220*2:10 = 44

1300 : 25 = 1300*4: 100 = 52

9250 : 125 = 9250*8: 1000 = 74

Иногда удобно менять порядок действий выполняя
сначала деление на 10, 100, 1000, а потом умножение.

7. Умножение на 9, 99, 999.

К первому множителю приписать столько нулей,
сколько девяток, во втором множителе и из
результата вычесть первый множитель.

289 * 9 = 2860 – 286 = 2574

23 * 99 = 2300 – 23 = 2274

18* 999=18000-18 = 17982

8. Возведение в квадрат двузначных чисел.

Используя свойство (50 + а)2 =100 * (25 + а) * а2

512 = 2601

а) 25 + 1 = 26 пишем 26

б) I2 = 1 приписываем 01

582 = 3364 а) 25+ 8 =33 б) 82 = 64

9. Использование формул сокращенного умножения
(формула разности квадратов)

212 – 202 = (20 + 21)(21-20) = 41

142 – 132 = (14 – 13)(14 + 13) = 27 1022– 552
= ?

(свойство можно использовать тогда, когда
данные числа отличаются лишь на 1)

Литература.

1. Е.А.Бугулов “Приемы быстрого счета”.
2. Журналы: “Математика в школе” №6, 1987г; №2, 1981 г.