Каким свойством должны обладать кролики фибоначчи
Вам, конечно же, знакома идея о том, что математика является самой главной из всех наук. Но многие могут с этим не согласиться, т.к. порой кажется, что математика – это лишь задачи, примеры и тому подобная скукотища. Однако математика может запросто показать нам знакомые вещи с совершенно незнакомой стороны. Мало того – она даже может раскрыть тайны мироздания. Как? Давайте обратимся к числам Фибоначчи.
Что такое числа Фибоначчи?
Числа Фибоначчи являются элементами числовой последовательности, где каждое последующее число образуется посредством суммирования двух предыдущих, например: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Как правило, записывается такая последовательность формулой: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2, n ≥ 2.
Числа Фибоначчи могут начинаться и с отрицательных значений «n», но в таком случае последовательность будет двусторонней – она будет охватывать и положительные и отрицательные числа, стремясь к бесконечности в двух направлениях. Примером такой последовательности может послужить: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула будет: Fn = Fn+1 — Fn+2 или же F-n = (-1)n+1Fn.
Создателем чисел Фибоначчи является один из первых математиков Европы средних веков по имени Леонардо Пизанский, которого, собственно и знают, как Фибоначчи – это прозвище он получил спустя много лет после своей смерти.
При жизни Леонардо Пизанский очень любил математические турниры, по причине чего в своих работах («Liber abaci» /«Книга абака», 1202; «Practica geometriae»/«Практика геометрии», 1220, «Flos»/«Цветок», 1225 год – исследование на тему кубических уравнений и «Liber quadratorum»/«Книга квадратов», 1225 – задачи о неопределенных квадратных уравнениях) очень часто разбирал всевозможные математические задачи.
О жизненном пути самого Фибоначчи известно крайне мало. Но достоверно известно то, что его задачи пользовались огромнейшей популярностью в математических кругах в последующие века. Одну из таких мы и рассмотрим далее.
Задача Фибоначчи с кроликами
Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.
Задача: определить количество кроликов через год.
Решение:
У нас есть:
- Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца
- Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)
- Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)
- Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)
Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: Fn = Fn-1 + Fn-2. Отсюда получается рекуррентная числовая последовательность (о рекурсии мы скажем далее), где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:
1 месяц: 1 + 1 = 2
2 месяц: 2 + 1 = 3
3 месяц: 3 + 2 = 5
4 месяц: 5 + 3 = 8
5 месяц: 8 + 5 = 13
6 месяц: 13 + 8 = 21
7 месяц: 21 + 13 = 34
8 месяц: 34 + 21 = 55
9 месяц: 55 + 34 = 89
10 месяц: 89 + 55 = 144
11 месяц: 144 + 89 = 233
12 месяц: 233+ 144 = 377
И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.
Здесь важно также заметить, что одним из свойств чисел Фибоначчи является то, что если сопоставить две последовательные пары, а затем разделить большую на меньшую, то результат будет двигаться по направлению к золотому сечению, о котором мы также скажем ниже.
Пока же предлагаем вам ещё две задачи по числам Фибоначчи:
- Определить квадратное число, о котором известно только, что если отнять от него 5 или прибавить к нему 5, то снова выйдет квадратное число.
- Определить число, делящееся на 7, но при условии, что поделив его на 2, 3, 4, 5 или 6 в остатке будет 1.
Такие задачи не только станут отличным способом развития ума, но и занимательным времяпрепровождением. О том, как решаются эти задачи, вы также можете узнать, поискав информацию в Интернете. Мы же не будем заострять на них внимание, а продолжим наш рассказ.
Что же такое рекурсия и золотое сечение?
Рекурсия
Рекурсия является описанием, определением или изображением какого-либо объекта или процесса, в котором есть сам данный объект или процесс. Иначе говоря, объект или процесс можно назвать частью самого себя.
Рекурсия широко используется не только в математической науке, но также и в информатике, массовой культуре и искусстве. Применимо к числам Фибоначчи, можно сказать, что если число равно «n>2», то «n» = (n-1)+(n-2).
Золотое сечение
Золотое сечение является делением целого на части, соотносящиеся по принципу: большее относится к меньшему аналогично тому, как общая величина относится к большей части.
Впервые о золотом сечении упоминает Евклид (трактат «Начала» прим. 300 лет до н.э.), говоря и построении правильного прямоугольника. Однако более привычное понятие было введено немецким математиком Мартином Омом.
Приблизительно золотое сечение можно представить в качестве пропорционального деления на две разные части, к примеру, на 38% и 68%. Численное же выражение золотого сечения равно примерно 1,6180339887.
На практике золотое сечение используется в архитектуре, изобразительном искусстве (посмотрите работы Леонардо да Винчи), кино и других направлениях. На протяжении долгого времени, впрочем, как и сейчас, золотое сечение считалось эстетической пропорцией, хотя большинством людей оно воспринимается непропорциональным – вытянутым.
Вы можете попробовать оценить золотое сечение сами, руководствуясь следующими пропорциями:
- Длина отрезка a = 0,618
- Длина отрезка b= 0,382
- Длина отрезка c = 1
- Соотношение c и a = 1,618
- Соотношение c и b = 2,618
Теперь же применим золотое сечение к числам Фибоначчи: берём два соседних члена его последовательности и делим большее на меньшее. Получаем примерно 1,618. Если же возьмём то же самое большее число и поделим его на следующее большее за ним, то получим примерно 0,618. Попробуйте сами: «поиграйте» с числами 21 и 34 или какими-то другими. Если же провести этот опыт с первыми числами последовательности Фибоначчи, то такого результата уже не будет, т.к. золотое сечение «не работает» в начале последовательности. Кстати, чтобы определить все числа Фибоначчи, нужно знать всего лишь три первых последовательных числа.
И в заключение ещё немного пищи для ума.
Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи
«Золотой прямоугольник» — это ещё одна взаимосвязь между золотым сечением и числами Фибоначчи, т.к. соотношение его сторон равно 1,618 к 1 (вспоминайте число 1,618!).
Вот пример: берём два числа из последовательности Фибоначчи, например 8 и 13, и чертим прямоугольник с шириной 8 см и длинной 13 см. Далее разбиваем основной прямоугольник на мелкие, но их длина и ширина должна соответствовать числам Фибоначчи – длина одной грани большого прямоугольника должна равняться двум длинам грани меньшего.
После этого соединяем плавной линией углы всех имеющихся у нас прямоугольников и получаем частный случай логарифмической спирали – спираль Фибоначчи. Её основными свойствами являются отсутствие границ и изменение форм. Такую спираль можно часто встретить в природе: самыми яркими примерами являются раковины моллюсков, циклоны на изображениях со спутника и даже ряд галактик. Но более интересно то, что этому же правилу подчиняется и ДНК живых организмов, ведь вы помните, что оно имеет спиралевидную форму?
Эти и многие другие «случайные» совпадения даже сегодня будоражат сознание учёных и наводят на мысль о том, что всё во Вселенной подчинено единому алгоритму, причём, именно математическому. И эта наука кроет в себе огромное количество совсем нескучных тайн и загадок.
Источник
Биофизика (био– от др.-греч. βίος — жизнь, physis – природа) – это физика живой природы.
Если за биофизику условно принять науку, решающую биологические задачи с позиций математики и физики, то она родилась в XII-XIII веке, т.е ей 800 лет. В 1202 году Леонардо из Пизы, больше известный по прозвищу Фибоначчи опубликовал книгу “Трактат о счете”. В ней, наряду со всеми арифметическими и алгебраическими сведениями того времени, содержалась первая биологическая задача, решенная с помощью математики: сколько кроликов рождается в один год от одной пары?
Памятник Фибоначчи в Пизе
Задача о размножении кроликов. Числа Фибоначчи
В изолированное место поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год?
(Ответ: 233 пары).
Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
В честь учёного она носит название чисел Фибоначчи. Наглядно формирование последовательности можно показать следующим образом:
В этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:
Рекуррентная формула
Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой, зависят от начальных значений последовательности F₁ и F₂. Например, мы имеем F₁ = F₂ = 1 и для этого случая рекуррентная формула «генерирует» следующую числовую последовательность:
Если мы имеем: F₁= 0 и F₂ = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:
Наконец, если мы имеем: F₁ = 1 и F₂ = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:
Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами.
Одним из важных свойств последовательности является тот факт, что предел отношения
равен золотому сечению
Золотое сечение (золотая пропорция), — соотношение двух величин а и b, a > b, когда справедливо a/b = (a+b)/a.
Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой ɸ в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия.
Для практических целей ограничиваются приблизительным значением
ɸ = 1,618 или ɸ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.
Статуя Зевса Олимпийского
Фидий (греч. Φειδίας, ок. 490 до н. э. — ок. 430 до н. э.) — древнегреческий скульптор и архитектор, один из величайших художников периода высокой классики. Друг Перикла.
Исторически, изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку. Позже это понятие было распространено на произвольные величины и нашло широкое отражение в геометрии (спираль Фибоначчи) и в живой природе.
Спираль Фибоначчи
Прямоугольник с шириной и длиной равными соседним числам Фибоначчи называют «золотым» сечением. Если разбивать его на более мелкие «золотые» прямоугольники и разделить каждый из них дугой, то система приобретет форму спирали, у которой есть начало, но нет конца.
Спираль Фибоначчи в природе
В 19 веке ученые заметили, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т.д. «упакованы» по двойным спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа «правых» и «левых» спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34). Раковины улиток подчиняются последовательности Фибоначчи. Если вспомнить отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему и т. д., будет понятно, что моллюск точно следует математическому ряду Фибоначчи.
Спасибо за внимание! Ставьте лайки и подписывайтесь 🙂
Источник
Последовательность Фибоначчи представляет собой ряд чисел, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Последовательность начинается с и 1 – 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 и так далее до бесконечности.
Данная последовательность была названа в честь математика Леонарда Пизанского по прозвищу Фибоначчи, и впервые была представлена в “Книге Абака” в 1202 году. Сын купца, Фибоначчи много путешествовал и вел торговлю. Математика была очень важна для тех, кто работал в торговой индустрии, и поэтому его страсть к цифрам зародилась еще в молодости.
Знание о числах пришло к Фибоначчи в молодости – он изучал индо-арабскую арифметическую систему. Он написал много книг о геометрии, коммерческой арифметике и иррациональных числах. Также он помог разработать концепцию нуля.
Кролики Фибоначчи
Размышляя над математической проблемой о разведении кроликов, Фибоначчи впервые заметил особую последовательность. У вас есть пара кроликов – он и она. Сколько пар кроликов может родится через год, с учетом следующих условий:
✔ Нужно начать с кролика самца и кролика самки, которые только что родились.
✔ Кролики достигают половой зрелости через один месяц.
✔ Период беременности кролика – один месяц.
✔ После достижения половой зрелости самки рожают каждый месяц.
✔ Самка рожает одного самца-кролика и одну самку-кролика.
✔ Кролики не умирают.
Лучше всего это понятно на этом рисунке:
Через месяц первая пара еще не находится в половой зрелости и не может спариваться. Через два месяца кролики спариваются, но еще не приносят потомство, в результате чего остается только одна пара кроликов. Через три месяца первая пара родит еще пару, в результате получится две пары. На четвертый месяц исходная пара снова рожает, а вторая пара спаривается, но еще не дает потомства – остается общее количество в три пары. Это продолжается до тех пор, пока не пройдет год, по истечению которого останется 233 пары кроликов.
Спираль Фибоначчи
Числа Фибоначчи действительно появляются в природе повсеместно – от подсолнечника до ураганов и галактик. Семена подсолнечника, например, расположены в спирали Фибоначчи – они равномерно распределены, независимо от того, насколько велика семенная головка.
Спираль Фибоначчи представляет собой ряд связанных четвертей от кругов, нарисованных внутри массива квадратов с числами Фибоначчи для измерений. Квадраты идеально сочетаются из-за природы последовательности, где следующее число равно сумме двух предыдущих. Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к Золотому Соотношению, которое составляет приблизительно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе приближение. Спираль и полученный прямоугольник известны как Золотой прямоугольник.
Золотое сечение принято обозначать греческой буквой “фи”. Греческие архитекторы использовали соотношение 1:phi в качестве неотъемлемой части своих проектов, в том числе и при строительстве Парфенона в Афинах. Хотя это не было сознательно использовано греками или художниками, Золотой прямоугольник появляется и в “Мона Лизе” и других произведениях искусства эпохи Возрождения. Фи это также отношение стороны правильного пятиугольника к его диагонали. Полученная пентаграмма образует звезду, которая присутствует на многих флагах.
???? ???? ????
Понравилась статья? Вот еще:
Удивительные факты о числе Пи https://zen.yandex.ru/media/id/5ae194d5bcf1bc97d58f4283/udivitelnye-fakty-o-chisle-pi-5b1528c4c33bcc00a9d4533c
Вселенная это математика https://zen.yandex.ru/media/id/5ae194d5bcf1bc97d58f4283/vselennaia-eto-matematika-a-my-chast-matematicheskoi-struktury-5b224bbee987e100a99759d3
Скрытая природа фракталов https://zen.yandex.ru/media/id/5ae194d5bcf1bc97d58f4283/dizain-jizni-skrytaia-priroda-fraktalov-5b2125184826776dc0992851
Источник
После Фибоначчи осталось большое число задач, которые были очень популярны среди математиков и в последующие столетия.
Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.
Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.
Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.
В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов.
В конце месяца они спариваются.
Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).
Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается.
Итого – 3 пары кроликов.
Четвертый месяц: первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается.
Итого – 5 пар кроликов.
Число кроликов в n-ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента).
И все это описывается формулой, которую мы уже привели выше: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Таким образом, получаем рекуррентную* (пояснение о рекурсии – ниже) числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>
Продолжать последовательность можно долго:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>.
Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е.
13-ый член последовательности: 377.
Ответ: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.
Одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи очень любопытно. Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению (прочитать о нем подробнее вы сможете дальше в статье).
Говоря языком математики, «предел отношений an+1 к an равен золотому сечению».
*Пояснение о рекурсии
Рекурсия – определение, описание, изображение объекта или процесса, в котором содержится сам этот объект или процесс. Т.е., по сути, объект или процесс является частью самого себя. Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и массовой культуре. Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения. Для числа n>2 n-е число равно (n – 1) + (n – 2).[1]
а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10).
Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?
а) Обозначим через аn число способов подняться на лестницу из n ступенек, соблюдая условия задачи. Очевидно, a1 = 1, a2 = 2
Пусть Петя запрыгивает на лестницу из n > 2 ступенек. Если первый прыжок был на две ступеньки, то ему осталось запрыгнуть на n – 2 ступеньки, и число способов закончить подъем равно an–2. Если же первый прыжок был на одну ступеньку, то число способов закончить подъем равно an–1. Значит, an = an–1 + an–2.
Это равенство позволяет, зная a1 и a2, вычислять последовательно все an (при этом будут получаться известные числа Фибоначчи):
a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8, a6 = 13, a7 = 21, a8 = 34, a9 = 55, a10 = 89.
б) Каждую из 9 ступенек (кроме последней) Петя может либо перепрыгнуть, либо не перепрыгнуть независимо от того, на каких из верхних ступенек он останавливался. Поэтому количество способов спуститься по лестнице равно 29.
Ответ а) 89 способов; б) 512 способов.
Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?
Заменив первых двух птенцов на третьего, а шестого – на пятого и четвёртого, увидим, что общее количество каши в два раза больше, чем получили третий, четвёртый и пятый птенцы.
Но это в 4 раза больше, чем досталось пятому птенцу, значит, сорока-ворона сварила 10·4 = 40 г каши.
Ответ 40 г.
Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.
Предположим противное: ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Рассмотрим длины отрезков в сантиметрах по возрастанию:
l1 = l2 = 1 <= l3 <= l4 <= … <= l10 = 50.
Так как из трёх самых коротких отрезков нельзя составить треугольник, то
l3 >= l1 + l2 = 2.
Аналогично,
l4 >= l2 + l3 >= 1 + 2 = 3.
Далее,
l5 >= 2 + 3 = 5,
l6 >= 3 + 5 = 8,
l7 >= 5 + 8 = 13,
l8 >= 8 + 13 = 21,
l9 >= 13 + 21 = 33,
l10 >= 21 + 33 = 55.
Противоречие.[7]
1. Найдите число, которое можно разделить на 7. Кроме того, если разделить его на 2, 3, 4, 5, 6, в остатке получится единица.
2. Найдите квадратное число. О нем известно, что если прибавить к нему 5 или отнять 5, снова получится квадратное число.
Ответы на эти задачи мы предлагаем вам поискать самостоятельно. Свои варианты вы можете оставлять нам в комментариях к этой статье. А мы потом подскажем, верными ли были ваши вычисления.
Оставьте комментарий
Источник