Каким свойством должны обладать натуральные числа а и б
Натуральные числа и их свойства
Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.
Нуль не относят к натуральным числам.
Свойства отношения следования
Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:
Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.
Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.
Свойство сложения натуральных чисел
Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль
Свойства умножения
Переместительное $acdot b=bcdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо
Свойства умножения относительно сложения и вычитания
Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$
Сравнение натуральных чисел
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $a
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если $a
Если $c
Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.
Округление натуральных чисел
Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.
Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д
При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$
При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д
Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.
Правило округления натуральных чисел
Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями
Источник
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 728105
Суррикат Мими
более месяца назад
Просмотров : 48
Ответов : 1
Лучший ответ:
Онтонио Веселко
если натуральное число делится на “а” и на “b”, то оно делится и на произведение “аbэто утверждение верно для взаимно простых чисел а и виначе вообще говоря неверно примеры 5 и 7 взаимно простые число 70 делится на 5 и на 7, делится на 35=5*7числа 6 и 8 имеют общий делитель 2,число 24 делится на 6 и на 8, но не делится на 48=6*8
более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Лучшее из галереи за : неделю месяц все время
Другие вопросы:
Зачетный Опарыш
знайти загальний вигляд похідних заданих функцій a) f(x)=cosx*(5x+2) б) f(x)=3*sin5x
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 4
Ответов : 1
Суррикат Мими
1)В треугольнике ABC cторона AB=3, BC=5, угол С =30 градусам. Найдите сторону АС?2) В треугольнике KLM сторона KL=10, угол M=45 градусам, угол K=60 градусам. Найдите сторону LM3)В треугольнике ABC cторона AB=4, угол В=45 градусам, угол С=30 граудсам. Найдите стороны ВС,АС и угол А.4) В треугольнике…
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 84
Ответов : 1
Васян Коваль
ширина прямоугольника 8 см а длина в 4 раза больше чему равна площадь прямоугольника
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 10
Ответов : 1
Пармезан Черница
ширина прямоугольника 44 см на сколько уменьшиться площадь этого прямоугольника если его длину уменьшить на 5
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 7
Ответов : 1
Таня Масян
Задача на избыток и недостаток, и цепочка,помогите ПОЖАЛУЙСТА( Пожалуйста завтра здавать,а я нечего не знаю(
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 13
Ответов : 1
Источник
Кабинет
©2020
©2020
Главная
- 0
Если натуральное число делится на a и на b, то оно делится и на произведение ab. Каким свойством должны обладать натуральные числа A и B чтобы это утверждение было верным Ответ объясните
Геннадий Саханцев
Вопрос задан 25 сентября 2019 в
1 – 4 классы,  
Математика.
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
1 Ответ (-а, -ов)
- По голосам
- По дате
- 0
Так как в этом утверждении произведение АВ есть знаменатель, а знаменатель не может равняться нулю то и каждое из чисел А или В не должно быть равно нулю. А≠0 ∨ В≠0
Отмена
Марат Атукин
Отвечено 25 сентября 2019
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
Ваш ответ
Источник
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- наибольший общий делитель пары чисел;
- признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.
Глоссарий по теме
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительная литература:
Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Целое число
Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.
Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.
Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).
Рисунок 1 – числовой луч
Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)
Рисунок 2 – числовой луч
Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).
Рисунок 3 – числовой луч
Делимость. Делитель и частное.
Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.
Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.
Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.
Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.
Свойства делимости.
Перечислим некоторые свойства делимости:
1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
6. Единственный делитель единицы – сама единица.
7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).
9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.
Взаимно простые числа.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.
НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.
Делимость суммы и произведения.
Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.
1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.
2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.
3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.
4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.
5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.
6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.
Деление с остатком.
Натуральное число n можно представить в виде:
n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)
где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).
Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).
Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.
Алгоритм Евклида.
Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.
Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел
где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
…
ИЛИ (остаток rk)
…
ИЛИ(остаток rn)
ИЛИ (остаток 0)
То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.
НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.
Признаки делимости.
Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.
Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:
0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.
Таблица 1 – Признаки делимости
Число n | Число a делится на число n тогда и только тогда, когда |
2 | последняя цифра числа a делится на 2 |
3 | сумма всех цифр числа a делится на 3 |
4 | число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4 |
5 | число a оканчивается цифрой 0 или 5 |
7 | знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7 |
8 | число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8 |
9 | сумма всех цифр числа a делится на 9 |
10 | число a оканчивается цифрой 0 |
11 | знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11 |
13 | знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13 |
25 | число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25 |
Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.
Метод математической индукции для доказательства делимости.
Схема метода:
1. Базис индукции.
Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.
2. Индукционное предположение.
Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.
3. Шаг индукции (индукционный переход).
Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.
4. Вывод.
Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача №1
Условие:
Найдите среди чисел пары взаимно простых.
65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26
Решение:
Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.
По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.
По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.
По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.
По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.
Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.
Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.
Получим возможные пары:
(65; 14)
(30; 273) или (30; 1001)
(110; 1001) или (110; 273)
(35; 26)
Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.
Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.
Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.
Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.
Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).
Задача №2.
Условие:
Найдите НОД(2457, 1473).
Решение:
Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.
Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:
2457 = 1 · 1473 + 984
1473 = 1 · 984 + 489
984 = 2 · 489 + 6
489 = 81 · 6 + 3
6 = 3 · 2
Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.
Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.
Задача №3.
Условие:
Определите, делится ли число 17943646 на 7.
Решение:
Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.
Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.
Задача №4.
Условие:
Докажите делимость + 6n – 10 на 18при любом натуральном n.
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.
1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:
+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0
Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.
2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.
3. Рассмотрим выражение при n = k +1.
+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4
Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:
+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.
Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:
+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – ?