Каким свойством обладает центр параллельных сил
Центр параллельных сил
точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил Fk при любом повороте всех этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты Ц. п. с. определяются формулами:
где xk, yk, zk — координаты точек приложения сил. Понятием Ц. п. с. пользуются при отыскании координат центров тяжести (См. Центр тяжести) тел.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.
Смотреть что такое “Центр параллельных сил” в других словарях:
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ — точка, через к рую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил Fk, при любом повороте всех этих сил ок. их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты Ц. п. с. определяются ф лами: где xk, yk … Физическая энциклопедия
центр параллельных сил — Геометрическая точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любом повороте этих сил вокруг точек их приложения, оставляющем силы параллельными друг другу и сохраняющем их параллельность и взаимную… … Справочник технического переводчика
центр параллельных сил — lygiagrečiųjų jėgų centras statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. center of parallel forces vok. Mittelpunkt der parallelen Kräfte, m rus. центр параллельных сил, m pranc. centre de forces parallèles, m … Fizikos terminų žodynas
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ — точка, через к рую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любом повороте всех этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Радиус вектор п п Ц. п. с. ri< радиус вектор точки… … Большой энциклопедический политехнический словарь
центр параллельных сил — Геометрическая точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любом повороте этих сил вокруг точек их приложения, оставляющем силы параллельными друг другу и сохраняющем взаимную ориентацию их… … Политехнический терминологический толковый словарь
ЦЕНТР — (лат. centrum, от греч. kentron). 1) средоточие, средина круга, шара и проч. 2) политическая партия в Германии, в качестве протеста против дальнейшего развития германского союза во имя независимости церкви от государственной власти. Словарь… … Словарь иностранных слов русского языка
ЦЕНТР — ЦЕНТР, центра, муж. (греч. kentron, букв. острие). 1. Точка сосредоточения каких нибудь отношений в фигуре (мат., мех.). Центр окружности или шара (точка пересечения их диаметров, равно удаленная от всех точек окружности или поверхности шара).… … Толковый словарь Ушакова
центр тяжести твердого тела — центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.] Тематики теоретическая… … Справочник технического переводчика
центр тяжести твёрдого тела — центр тяжести твёрдого тела; центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела … Политехнический терминологический толковый словарь
центр тяжести — твёрдого тела; центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела … Политехнический терминологический толковый словарь
Источник
Рассмотрим систему параллельных сил {F1, F2, …, Fn}. При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки (рисунок 1.5, а).
Эта точка называется центром параллельных сил.
Согласно теореме Вариньона, если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).
Рисунок 1.5
Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся этой теоремой.
Относительно оси x
Mx(R) = ΣMx(Fk), -yCR = ΣykFk и yC= ΣykFk /ΣFk.
Относительно оси y
My(R) = ΣMy(Fk), -xCR = ΣxkFk и xC = ΣxkFk /ΣFk.
Чтобы определить координату zC, повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда
Mz(R) = ΣMz(Fk), -zCR = ΣzkFk и zC = ΣzkFk /ΣFk.
Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид
rC = ΣrkFk /ΣFk.
Свойства центра параллельных сил:
1 Сумма моментов всех сил Fk относительно точки C равна нулю ΣMC(Fk) = 0.
2 Если все силы повернуть на некоторый угол α, не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой C.
Центр тяжести:
Строго говоря, различные точки имеют не параллельные силы тяжести, но учитывая малость размеров тел, находящихся на Земле, в сравнении с размерами Земли можно считать, что силы тяжести различных точек этих тел являются параллельными силами, и тогда для них справедливы уравнения * и **:
Центр тяжести всегда лежит на оси симметрии.
Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точкаС, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
3.Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .
5.Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Билет №8.
Источник
Центр тяжести
Центр параллельных сил
Центром параллельных сил называется такая точка на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, через которую проходит равнодействующая и в том случае, если все силы системы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, сохраняя параллельность сил.
Покажем существование центра параллельных сил на системе двух сил F1 и F2 (см. рисунок 1). На основании теоремы о сложении двух параллельных сил, направленных в одну сторону, определим равнодействующую этих сил и положение линии ее действия по формулам:
FΣ = F1 + F2; F1/F2 = BC/AC.
Нетрудно увидеть, что точка С, лежащая на линии АВ, соединяющей точки приложения данных сил, является центром двух параллельных сил F1 и F2, так как при повороте их на один и тот же угол α отношение плеч ВС и СА не изменится, и равнодействующая также пройдет через точку С.
Если дана система параллельных сил, то равнодействующую этой системы можно найти, последовательно попарно складывая все силы. На линии действия равнодействующей системы параллельных сил также будет существовать точка, обладающая свойствами центра параллельных сил, т. е. если все силы системы вращать вокруг этой точки, равнодействующая этих сил все равно останется приложенной к этой точке.
Выведем формулы для определения координат центра системы n параллельных сил.
Пусть даны пространственная система n параллельных сил и равнодействующая этой системы. Выберем систему осей координат и обозначим координаты точки приложения сил данной системы и координаты точки приложения равнодействующей (см. рисунок 2).
Запишем моменты сил данной системы относительно оси y. Для того, чтобы легче представить, чему равен момент силы относительно оси, следует мысленно перенести силу вдоль линии ее действия до положения, когда точка приложения силы окажется в плоскости координатных осей (см. рисунок 2, сила F1’):
Мy(F1) = F1x1,
My(F2) = F2x2,
…………….
…………….
My(Fn) = Fnxn,
My(FΣ) = FΣxC.
Применим теорему о моменте равнодействующей относительно оси. Тогда:
FΣxC = F1x1 + F2x2 + …. + Fnxn, откуда
xC = (F1x1 + F2x2 + …. +Fnxn)/FΣ.
Записав моменты сил относительно оси x и вновь применив теорему о моменте равнодействующей, получим:
yC = (F1y1 + F2y2 + …. +Fnyn)/FΣ.
Для определения координаты zC повернем все силы системы вокруг их точек приложения в одну сторону так, чтобы силы стали параллельны оси y. При этом точка С не изменит своего положения, так как она является центром параллельных сил данной системы.
Запишем моменты всех сил относительно оси x и применим теорему о моменте равнодействующей, в результате получим:
zC = (F1z1 + F2z2 +….+Fnzn)/FΣ.
Равнодействующая системы параллельных сил равна их алгебраической сумме, т. е. FΣ = ΣFi.
Применив сокращенную формулу записи, получим формулы для определения координат центра параллельных сил в следующем виде:
xC = Σ(Fixi)/ΣFi; yC = Σ(Fiyi)/ΣFi; zC = Σ(Fizi)/ΣFi.
Заметим, что в полученных формулах силы и моменты сил берут со знаком согласно ранее установленным правилам (если вектор силы направлен по направлению координатной оси, сила считается положительной, и наоборот, а момент силы считается положительным, если его вращающее действие относительно точки направлено против часовой стрелки).
***
Определение положения центра тяжести
Уникальность центра системы параллельных сил заключается в том, что равнодействующая сил системы, приложенная в этом центре, не создает относительно него вращающего момента, поскольку плечо равнодействующей равно нулю. Полученные выше формулы для определения координат центра системы параллельных сил на практике чаще всего используют для нахождения центра тяжести различных тел и фигур.
Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Элементарной частицей тела называется такая малая частица, положение которой в пространстве определяется координатами одной точки.
Рассмотрим тело, состоящее из большого количества элементарных частиц. В реальности силы тяжести каждой частицы тела, направленные к центру Земли, образуют систему сходящихся сил (поскольку все они направлены к одной точке – центре масс нашей планеты, где и пересекаются), но для тел, размеры которых ничтожно малы по сравнению с размерами нашей планеты, с достаточной степенью точности можно считать эти силы системой параллельных сил.
Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц этого тела.
Очевидно, что силы тяжести частиц тела образуют относительно центра тяжести систему параллельных сил, равнодействующая которой не имеет вращающего действия. Это свойство равнодействующей, проходящей через центр тяжести тела, используют, например, для балансировки колес, валов, при расчетах конструкций на устойчивость и т. п.
Центр тяжести является геометрической точкой, которая может лежать вне тела (например, кольцо, изогнутое тело и т. п.). Центр тяжести будем обозначать точкой С.
Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил:
xC = Σ(Gixi)/ΣFi; yC = Σ(Giyi)/ΣFi; zC = Σ(Gizi)/ΣGi,
где Gi – сила тяжести каждой элементарной частицы тела;
xi, yi, zi – координаты частицы;
ΣGi – сила тяжести всего тела.
В случае однородных тел по таким же формулам можно определять координаты центра тяжести объемов, площадей и линий, представив Gi, как произведение удельной массы (удельной силы тяжести) тела на его объем:
Gi = γVi, где γ – удельная сила тяжести (для однородного тела γ – величина постоянная). Если подставить эти зависимости в выведенные ранее формулы, и сократить на постоянный множитель γ, получим координаты центра тяжести для объема однородного тела:
xC = Σ(Vixi)/ΣVi; yC = Σ(Viyi)/ΣVi; zC = Σ(Vizi)/ΣVi.
При помощи аналогичных преобразований можно вывести формулы для нахождения координат центра тяжести плоской фигуры (пластины), имеющей одинаковую толщину h по всей площади:
если Gi = γhAi, (здесь Аi – площадь элементарной площадки пластины), то
xC = Σ(Aixi)/ΣAi; yC = Σ(Aiyi)/ΣAi; zC = Σ(Aizi)/ΣAi.
Если тело, например, представляет собой однородную проволоку, постоянного поперечного сечения А (т. е. линию), то сила тяжести элементарной частицы, выраженная через длину li (после аналогичных математических преобразований) равна:
xC = Σ(lixi)/Σli; yC = Σ(liyi)/Σli; zC = Σ(lizi)/Σli.
Следует иметь в виду, что в механике различают два близких по смыслу понятия – центр тяжести и центр масс.
Центром масс (центром инерции, барицентром) в механике называют геометрическую точку, характеризующую движение тела или системы тел как единого целого. Т. е. центром масс при расчетах можно заменить систему или габаритное тело, представив их в виде точки, что во многих случаях позволяет упростить вычисления и расчеты.
В отличие от центра тяжести центр масс имеет смысл для любого материального тела или механической системы, в то время как понятие центра тяжести применимо только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле. Тем не менее, в лексиконе специалистов эти два понятия нередко имеют одинаковое смысловое значение.
***
Методы нахождения центра тяжести
Источник
ЛЕКЦИЯ 9
Центром параллельных сил точки на линии действия равнодействующей этих сил которая не изменяет своего положения при повороте всех сил вокруг их точек приложения на один и тот же угол в одном и том же направлении, точку О приложения равнодействующей системы 2-х параллельных сил является их центральное положение этой точки установлен следующим образом применим теоремы Вариньона о моменте равнодействующих сил для случая сложения 2-х параллельных сил не составил пару сил.
Предположим, что заданы две пары сил F1 и F2 , направлены в одну (рис. 9.1а), или в разные (рис. 9.1б) стороны.
Рассматриваемая система не приводиться к динамическому винту, не составляет пары сил и может быть приведена только к равнодействующей в некотором центре приведения. Положение этой точки находиться:
(9.1)
Вывод: система двух параллельных сил не составляющих пару сил имеют равнодействующую параллельную этим силам. Модуль равнодействующей равен суме модулей этих сил для сил одного направления и разности модулей этих сил для сил противоположного направления. Линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения заданных сил на части обратно пропорциональные модулям этих сил, внутренним образом для сил одного направлении и внешним образом для сил противоположно направленных.
При повороте линий действия заданной системы параллельных сил на один и тот же угол их равнодействующая поворачивается на тот же угол . Если при етом точку О пересечения линии действия равнодействующей с линией,проходящей через точки О1 и О2, выбрать как точку пересечения этой , то все линии действия равнодействующих при повороте заданной системы паралельных сил на любой угол вокруг их точек приложения.
Придадим (9,1) некоторый вид: выберем систему координат: (рис. 9.2)
В которой положения т. О а также точек приложения и определяется векторами .
(9.1)
Перейдем к системе сил приложенных в т. А1, А2, … Аn.
(рис. 9.3)
Равнодействующая R, приложена в т. С, для ее определения выберем систему координат в т.С, центром О, воспользуемся теоремой Вариньйона:
(9.2)
Проецируя на оси координат получaeм:
(9.3)
Cтатические моменты системы параллельных сил относительно координатных плоскостей ozy, ozx, oxy.
Центр тяжести твердого тела
Если твердое тело, размерами которого можно пренебречь по отношению с размерами Земли находится в поле сил тяжести (вблизи поверхности Земли) то с допустимой степень притяжения можно считать, что силы притяжения Землей отдельных сил (гипотеза о параллельности сил тяжести). Равнодействующая этих параллельных сил = весу тела, а цент этой системы параллельных сил называется центром тяжести тела. В твердом теле центр тяжести тела занимает определенное положение, которое не зависит от расположения тела в пространстве.
Пусть дельта – объём параллелепипеда с центром в точке Mi, а – сила тяжести, действующая на этот элемент с массой mi (рис 9.4)
Средней плотностью этого объёма называется отношение к .
Плотность в точке Mi тела получаем как lim средней плоскости:
Предположим, что в центре каждого параллелепипеда приложена сила тяжести модуль которого равна
Тогда силы тяжести образуют систему n-параллельных сил, центр которых определяется на основании формулы 9.2
Переходя в выражении к пределу при a , получаем:
(9.4)
Пределы сумм в этом выражении представляют собой пределы, распространенные по объёму.
(9.5)
В проекциях на координатные оси получаем:
(9.6)
Выражение 9.5 и 9.6 для определения положения центра тяжести неоднородного тела. Плотность однородного тела =const => P=gV, V=m:
dV=gdV, подставляя эти выражения в 9.3 находим Хс, Yс, Zс:
Положения центра тяжести однородного тела зависит от его геометрической формы и размера поэтому центр тяжести однородного тв. Тела можна назвать центром тяжести обьема тела. Интегралы в 9.7 называют статическими моментами обьема относительно координатных полскостей OYZ, OXZ, OXY.
Для плоской фигуры, когда плоскоая фигура может быть разбита на конечное число елементарных фигур. Координаты центра тяжести определяется формулами 9.8
(9.8)
Где Si – площади элементарных фигур на которое разбитая плоская тело.
Источник
Лекция 6
Краткое содержание: Центр параллельных сил. Параллельные силы распределенные по отрезку прямой. Центр тяжести твердого тела, поверхности и линии. Способы определения координат центра тяжести.
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.
Центр параллельных сил.
Для системы параллельных сил введем понятие центра параллельных сил.
На тело действует система параллельных сил , приложенных в точках . Выберем оси координат так, чтобы ось Оz была параллельна силам.
, ,
– проекция силы на ось Oz.
Точка С с координатами называется центром параллельных сил .
– проекция силы на ось Oz.
Свойства центра параллельных сил:
1. Сумма моментов всех сил относительно точки С равна нулю
2. Если все силы повернуть на угол , не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой С.
Параллельные силы распределенные по отрезку прямой.
а) общий случай
– интенсивность распределенной силы [Н/м],
– элементарная сила.
l – длина отрезка
Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности q(x) эквивалентна сосредоточенной силе . Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой
б) постоянная интенсивность
в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону
Центр тяжести.
Центром тяжести тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела.
Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
где
– вес единицы объема тела (удельный вес)
– Вес всего тела.
Для однородного твердого тела и формулы получают вид:
– Объем всего тела.
Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
где – вес единицы площади тела ,
– Вес всего тела.
Для однородной поверхности и формулы получают вид:
– Площадь поверхности.
Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
где – вес единицы длины тела ,
– Вес всего тела.
Для однородной линии и формулы получают вид:
– Длина линии.
Способы определения координат центра тяжести.
Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
3. Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.
Центр тяжести дуги окружности
Для дуги равной половине окружности , , ,
Центр тяжести площади сектора круга
Для площади равной половине круга , , ,
Источник